Czy wolno nam klonować stany koherentne?

1. Czy wolno nam klonować stany koherentne? Rafał Demkowicz-Dobrzański CFT PAN

2. Stany Koherentne • Kwantowy oscylator harmoniczny • Dobrze zlokalizowany w przestrzeni fazowej stan koherentny: p funkcja Wignera: x ewolucja:

3. Klonowanie oscylatora • Idealne klonowanie: stan wejściowy: odziaływanie sprzężenie z otoczeniem stan „pusty”: - powinno produkować doskonałe kopie - powinno działać dla wszystkich wejściowych stanów • Dlaczego klonowanie jest ważne: • pozwala zrozumieć co jest możliwe a co nie w przetwarzaniu kwantowej informacji • - może pomóc w rozpoznaniu stanu kwantowego • - ważne z punktu widzenia kryptografii kwantowej

4. Niemożliwość klonowania • Ewolucja unitarna w przestrzeni Hilberta stan wejściowy: odziaływanie sprzężenie z otoczeniem stan „pusty”: - dwa różne, nieortogonalne stany. Załóżmy że istnieje maszyna klonująca: Dzięki unitarności: Sprzeczność!

5. Niedoskonałe klonowanie • Niedoskonałe maszyny klonujące • Wierność - wiernie klonują tylko wybrane stany (wierne, nieuniwersalne) • wszystkie stany klonują tak samo, ale niedoskonale (niewierne, uniwersalne) • klonują pewne grupy stanów lepiej niż inne, ale niedoskonale (niewierne, nieuniwersalne) zredukowane macierze gęstości klonów: klonowanie symetryczne: wierność klonowania (fidelity):

6. |1 Sfera Blocha |0 Optymalne klonowanie qubitu • Qubit • Optymalne klonowanie qubitu (Buzek, Hillery 1996) stan wejściowy klon 1 wierność: stan pusty klon 2 • Optymalne klonowanie quditu wierność:

7. stan pusty |0 |Y stan wejściowy Klonowanie stanów koherentnych • Klonowanie optycznych stanów koherentnych może płytka światłodzieląca (50%)? klon 1 bardzo złe klonowanie stanów koherentnych: • niska wierność jak |a| duży klon 2 • różne stany koherentne klonowane z różną wiernością

8. Ancilla |0 a1new = a1+1/2(aA†+ a2) a2new= a1+ 1/2(aA†- a2) aAnew = a1†+ 2aA stan pusty |0 |Y stan wejściowy Klonowanie stanów koherentnych • Klonowanie optycznych stanów koherentnych może najpierw trzeba wzmocnić? (Braunstein et al., PRL 86, 4838 2000) wzmacniacz klon 1 klon 2 wierność dla wszystkich stanów koherentnych tak sama: • Czy to jest optymalne? (Cerf i Iblisdir, PRA 62, 040301 2000).

9. Spinowe stany koherentne H – skończenie wymiarowa przestrzeń Hilberta opisująca stany spinowe obiektu o całkowitym spinie j: d = dimH= 2j+1 |-j, |-j+1, ... , |j-1, |j - baza w H Spinowe stany koherentne otrzymuje się poprzez obroty stanu |-j (”stan podstawowy”) |q, f = R(q, f) |-j R(q, f) R(q, f) = exp[-iq (Jxsinf- Jycosf)] R(q, f) – obrót wokół osi n = [sinf, -cosf,0] o kąt q. W przypadku d = 2 (qubit) wszystkie stany czyste są spinowymi koherentnymi. Dla d  2 stany spinowe koherentne stanowią podzbiór w zbiorze wszystkich stanów czystych w H. Dla d   spinowe stany koherentne przechodzą w zwykłe stany koherentne.

10. Klonowanie spinowych stanów koherentnych • Optymalne klonowanie spinowych stanów koherentnych (Demkowicz-Dobrzański, Kuś, Wódkiewicz, quant-ph/0307061 (accepted in PRA)) Analityczne wartości wierności dla d=3, d=4: Numeryczne wartości wierności dla d  16 • Czy dla dużych d wierność dąży do 2/3?

11. Klonowanie spinowych stanów koherentnych • Ocena zachowania asymptotycznego Dopasowanie funkcji: F  0.681 Asymptotycznie: Wierność klonowania stanów koherentnych > 2/3 ! Navez i Cerf (nieopublikowane) – znaleźli urządzenie klonujące z F=0.682

12. Czy potrafimy wytworzyć stan koherentny światła? • Jaki stan światła produkuje laser?