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珠海市第二中学

珠海市第二中学. 和圆有关的比例线段. （第二课时）. 割线定理及切割线定理. 授课教师： 陈伟强. 教材分析：. 关于教材的地位和作用

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Presentation Transcript

  1. 珠海市第二中学 和圆有关的比例线段 （第二课时） 割线定理及切割线定理 授课教师： 陈伟强

  2. 教材分析： 关于教材的地位和作用 《和圆有关的比例线段》一节，是在研究了《直线与圆的位置关系》的基础上继续研究两条相交直线与圆相交（切）所截得的比例线段，从而得出三个重要的定理（相交弦定理及推论、割线定理、切割线定理）。它是前面知识的深化和应用，是平面几何中的重要内容之一；同时，本节又是圆与直线型的知识脉络的交汇点，在解决角相等、三角形相似、线段相等、线段成比例等问题时有着重要作用。由于本节定理的综合性、连贯性、运动性，决定了本节内容也是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力以及用运动变化的观点来观察分析问题的鲜活教材，对培养学生的探索精神和创新能力都有着重要意义。

  3. 关于教学内容 • 《和圆有关的比例线段》第二课时的主要内容是 • 割线定理、切割线定理的引出、证明和初步应用。 • 因为本节课是前一节课《相交弦定理及其推论》 • 的继续，所以本人对定理的引出改变了教材中直接 • 给出定理的做法，对两个定理出现的先后顺序也作 • 了调整，并分别命名为“割线定理”和“切割线定理”。 • 这样处理，是着眼于引导学生用运动变化的观点逐 • 步发现定理，也让学生感到自然，心理上好接受。

  4. 教学目标: ①．能说出割线定理、切割线定理。 ②．理解定理的证明思路。 ③．能结合图形对定理进行再认。 ④．能初步应用定理解决相关问题。 ⑤．通过定理的引出、证明，提高学生 分析问题及解决问题的能力。 ⑥．通过定理的比较，培养学生用运动 变化的观点探究和圆有关的比例线段。

  5. 教学重点： 通过模拟演示、推理论证，领会定理 及证明的实质，以及定理在新情境中 再认。同时尝试用运动变化的观点观察 分析问题的思想方法。 难点：定理在新情境中再认及应用。 关键：掌握定理的基本图形，对图形 进行合理的拆、分、补。

  6. A D P C B 一、情境－－－引入 以问题为出发点，承接上一节课的 情境发问，为的是激发兴趣和求知欲。 提问：两条直线相交于圆内一点P， 被圆截得两条相交弦AB、CD， 则有结论：________________.

  7. 相交弦定理 A D P C . . AP BP=CP DP B 圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。

  8. 相交弦定理的推论 C P A B 2 D CP =AP BP . 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

  9. 提出猜想: 相交弦的交点由圆内运动到圆上 定理还成立吗？到圆外呢？ 动画演示

  10. PA PB=PC PD . . 二、新知－－－探索 动画演示 提出问题: 已知：相交弦定理是两弦相交于 圆内一点．如果两弦延长交于圆外 一点P，那么该点到割线与圆交点 的四条线段PA，PB，PC，PD的长 之间有什么关系？(如图) B A P 此时等积式是否仍然成立？ D C

  11. 已知：如图点P是⊙O外一点，PAB，PCD是割线。 求证：PA·PB=PC·PD 证明： B A O P D C

  12. PA PB=PC PD . . 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到两条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 B A P D C

  13. B A P D C 提问：上图割线定理的基本构图， 此图中共有____条线段,分别是_________, 结论中的“积相等”涉及的线段是________， 若要把定理的结论用图中的任意四条线段 表示出来，则应该是__________________。 （设计意图：让学生理解定理的实质， 掌握基本构图和基本关系式）

  14. 2 PA =PC PD . 进一步猜想: 动画演示 B PA位置还可以怎样变化， 能否得到新的结论？ A P 提问：让点A沿圆周向点B运动直至重合，此时PA与圆的位置关系是_____, 割线PBA变成圆的____, 线段PA与线段PB重合, 割线定理的结论仍成立吗? 为什么? D C 通过运动变化 A(B) P D C 此时等积式是否仍然成立？

  15. 已知：如图点P是⊙O外一点，PA是切线， A是切点，PCD是割线。 求证：PA2=PC·PD 证明： A(B) P C D

  16. 切割线定理 2 PA =PC PD . 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 A(B) P C D

  17. 三、比较辨析 －－－建构系统 （设计意图：旨在培养学生用运动变化的观点 来观察分析问题，打通知识的前后联系， 构建知识系统。）

  18. 四、尝试练习 －－－评价反馈 如图：过圆外一点P，引圆的割线PAD、PBC， 与圆分别交于A、D，B、C；引切线PN，N为切点， 连AC、BD，相交于点M。请判断下列结论的正误。 ⑴ PA·PB=PC·PD （ ） ⑵ PA·PD=PB·PC （ ） ⑶PN2=PA·PD （ ） ⑷PN2=PB·PC （ ） ⑸AM·MC=BM·MD （ ） ⑹AM·AC=BM·BD （ ） ⑺PN2=PB·BC （ ）

  19. D 五、变式训练 －－－培养能力 例题 已知：如图，⊙O的割线PAB交⊙O 于点A、点B，PA=6㎝，AB=8㎝，PO=10.9㎝， 求⊙O的半径。 分析：先请学生回答，按割线定理是否有结论： PA·PB=PC·PO， 然后剖析原因。对照基本构图，找出解决办法： 延长PO交⊙O于点D， 再利用割线定理，列方程加以解决。

  20. 练习： 然后完成课本 P114 第2题和第3题

  21. 归纳小结 ： 以师生对话的方式回顾本节课所学的两个定理， 以及它们与前面所学定理的联系，应用定理中的 应注意的问题。 布置作业： P117 第4题 P118 第5题 P118 第6题

  22. 谢谢各位老师的指导！ 再见！

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