240 likes | 812 Views
Analisis Numerik (S0262). Silabus Pendekatan dan kesalahan Langkah-langkah pekerjaan numerik Akar-akar suatu persamaan Sistim persamaan aljabar linear Integrasi Numerik Persamaan diferensial Numerik Pencocokan kurva
E N D
Analisis Numerik (S0262) • Silabus • Pendekatan dan kesalahan • Langkah-langkah pekerjaan numerik • Akar-akar suatu persamaan • Sistim persamaan aljabar linear • Integrasi Numerik • Persamaan diferensial Numerik • Pencocokan kurva • Buku Wajib: Chapra, S. C. and Canale, R. P., (1991). Metode Numerik Untuk Teknik (terj:Numerical Methods for Engineers)”, UI- Press, Jakarta.
S0262 Analisis numerik • PENDAHULUAN Adalah suatu fakta bahwa banyak kasus-kasus atau gejala fisika yang tidak dapat diselesaikan secara eksak Untuk hal seperti ini metode numerik dapat memberi jawaban. • Pekerjaan numerik meliputi langkah-langkah berikut: • Pemodelan : memformulasikan pekerjaan menjadi suatu sistim persamaan matematis • Pemilihan metode numerik yang sesuai • Membuat program • Mengeksekusi program • Analisa hasil Catatan: Metode Numerik selalu mengandung kalkulasi aritmatika yg sangat menjenuhkan Perlu dibanu dengan komputer.
S0262 Analisis numerik • KESALAHAN Dalam solusi secara numerik, hasil yang kita peroleh merupakan hasil pendekatan terbaik yang tidak lepas dari kesalahan, untuk itu nilai benar suatu besaran dapat ditulis sbb: a ã - Et Keterangan : a = nilai benar (pasti) ã = nilai approximasi (yang didapat dari pengukuran,perhitungan) Et = kesalahan total Kesalahan Numerik timbul dari penggunaan pendekatan (approximasi) untuk menyatakan operasi dan besaran matematika yang pasti.
S0262 Analisis numerik • KESALAHAN RELATIF Penulisan kesalahan dalam bentuk kesalahan relatif kadang-kadang menguntungkan untuk membandingkan kesalahan dengan besaran yang sedang dievaluasi. Kesalahan relatif t=Kesalahan/hargasebenarnya Kesalahan relatif approximasi: a= Kesalahan approximasi/harga approximasi Dalam pendekatan iterasi ( approximasi sekarang berdasarkan approximasi sebelumnya) a= (approximasi sekarang – approximasi sebelumnya)/approximasi sekarang Dalam proses iterasi kadang-kadang proses iterasi akan selesai jika | a|< toleransi (s) =(0,5 x 102-n) % n= angka signifikan
S0262 Analisis numerik • Sumber-Sumber Kesalahan • percobaan (experimental error) (kesalahan berasal dari percobaan, pengukuran dll) • pembulatan ( roundoff error)(akibat pembulatan dalam per-hitungan) • pemotongan ( truncation error) (kesalahan akibat penyederhanaan suatu algoritma perhitungan, pemotongan langkah-langkah dalam algoritma) • pemrogramman ( programming error)
S0262 Analisis numerik • Contoh: Perhatikan deret MacLaurin dibawah ini: Jika suku pertama dianggap sebagai pendekatan pertama, 2 suku pertama sebagai pendekatan kedua dst terhadap ex, berapa suku yang harus diikutkan supaya kesalahan relatif | a|< sdimana sekurang-kurangnya 3 angka signifikan. Dan Jika e0,5= 1,648721271, carilah kesalahan sebenarnya. Jawab: s =(0,5 x 102-3)%= 0,05 %
S0262 Analisis numerik • Contoh: e0,5= 1,648721271 Jawab: s =(0,5 x 102-3)%= 0,05 % Jadi minimal 6 suku pertama yang digunakan. Kolom 2: Harga deret untuk x= 0,5, Kolom 3= (Kolom 2)/1,648721271.
S0262 Analisis numerik • CARA PENULISAN BILANGAN BERHINGGA 1. Titik-tetap ( fixed- point system) ( jumlah decimal ditentukan) Contoh: 62,358; 0,013; dan 1,000. 2. Titik- mengambang ( floating- point system) dituliskan berdasarkan angka signifikan tertentu Contoh: 0,6238 * 103; 1,7130 * 10-13; 2000 * 104 • ANGKA SIGNIFIKAN Semua digit yang digunakan kecuali angka nol sebelah kiri angka bukan nol pertama yang menyatakan decimal Contoh: 4 digit angka signifikan 1,360 ; 1360 ; 0,001360
S0262 Analisis numerik • Kaidah Pembulatan • Pada pembulatan, digit yang tidak termasuk dalam angka sinifikan dibuang. Digit terakhir yang disimpan dinaikkan ke atas jika digit pertama yang dibuang≥5. Bila digit pertama yang dibuang=5 dan digit terakhir yang disimpan adalah ganjil maka digit terahir yang disimpan dinaikkan ke atas. • Pembulatan hasil akhir dari penjumlahan dan pengurangan harus sesuai dengan angka yang paling sihnifikan dari bilangan yang sedang dioperasikan. • Pembulatan hasil akhir perkalian atau pembagian harus sedemikian sehingga jumlah angka signifikan yang disimpan setara dengan jumlah angka signifikan terkecil dari besaran yang dioperasikan.
S0262 Analisis numerik • Kaidah Pembulatan • Contoh: • Pembulatan 5,6723 5,67 (3 angka signifikan) 10,406 10,41 (4 angka signifikan) 7,3500 7,4 (2 angka signifikan) 88,21650 88,216 (5 angka signifikan) 1,25001 1,2 (2 angka signifikan) • Penambahan/Pengurangan Evaluasikan: 2,2 – 1,768 2,2-1,768= 0,432 0,4 4,68 x 10-7+8,3x10-4-228x10-6= ….? ……. (6,0x10-4) • Perkalian/Pembagian 0,0642x 4,8= 0,30816 31 945/0,3185= 2967,0329672970