第二篇 连续系统模拟

1. 第二篇 连续系统模拟

2. 4.4　一阶系统 • 系统的阶数就是系统状态变量的维数，或流位的个数。 在社会经济系统中可能出现数十甚至数百阶的情况。 • 系统动力学研究的是系统的结构与行为特征。复杂系统的结构是由一些基本的结构组合而成的，因此要从了解最典型，最基本的结构开始。 • 最典型、最基本的结构是一阶系统，它是只含一个流位的系统。

3. １．一阶正反馈系统 • 一阶正反馈系统就是只包含一个流位的正反馈系统。以下详细分析。 （１）指数增长 指数增长又称为一阶增长模型。 在连续时间形式下，用微分方程进行描述……..

4. 可得到下式： 假设当t>0时，x(0)= x0,则此微分方程的解为： k 称为增长率。它描述了指数增长的快慢。下图描述了不同k值下的指数增长曲线。

6. 可以看出，x随t的增加而趋于无穷大。而如何看待x增长的快慢程度呢？可以看出，x随t的增加而趋于无穷大。而如何看待x增长的快慢程度呢？ 我们知道　dx/dt≈△x/△t。 如果忽略近似关系，可有△x=(dx/dt)△t, 又如果△t很小，可以取△t=1（单位时间） 则有 △x =(dx/dt)△t=k•x•△t=k•x。 根据此式，可得到 k=△x/x

7. k 称为增长率。它描述了指数增长的快慢。 特别地，当t=T时 x(T)= x0eT/T =ex0 即x为原来的e倍。 T是k的倒数，这是一个重要的时间参数，称为时间常数。

8. 倍增时间 • 一阶正反馈系统还有一个重要参数,倍增时间(Doubling Time) • 状态量的值增长到原先的两倍所经过的时间称为倍增时间。 • 倍增时间用Td表示。根据倍增时间的定义，有 • 2x0 =x0exp(Td /T) 即 • Td /T=Ln2 即 • Td = (Ln2)T≈0.7T • 看前图

10. （２）指数增长的系统动力学描述①　因果关系图

11. ②　流图

12. ③　纯流率—流位关系图 纯流率—流位关系图又称为L—R图。 图示为一阶正反馈系统的纯流率—流位关系图。

13. 纯流率 • 纯流率—流位关系图以流位为横坐标，纯流率为纵坐标来表示两者的关系。此处的纯流率是指与某一流位相连的所有入流率与出流率的代数和。实际上也就是该流位的变化率或导数。 • 借助于纯流率—流位关系图可以在不求解（解析解或仿真解）方程的情况下来分析、讨论方程的解的一些重要性质，例如，系统有没有平衡点？ 平衡点是否稳定？

14. 借助于纯流率—流位关系图可以分析运动轨线并估计其界限。运动轨线用曲线表示，曲线上箭头表示运动的方向。借助于纯流率—流位关系图可以分析运动轨线并估计其界限。运动轨线用曲线表示，曲线上箭头表示运动的方向。 • 这里的纯流率—流位关系图只适用于一阶系统。但是它的某些思考方法可以用到更高阶系统的分析中去

15. 需要注意的是社会经济系统都是正系统，即状态变量恒为非负值。因此这些系统所对应的流率—流位关系图只有第Ⅰ和第IV象限。需要注意的是社会经济系统都是正系统，即状态变量恒为非负值。因此这些系统所对应的流率—流位关系图只有第Ⅰ和第IV象限。 • 同时又注意到：当纯流率>0时，流位逐渐增大；当纯流率<0时，流位逐渐减少。反映在流率—流位关系图中，在第Ⅰ象限中，流位沿轨线向右运动；而在第Ⅱ象限中，流位沿轨线向左运动。这是流率—流位关系图的一个重要性质。

16. 平衡点：平衡点有三种 • 一阶正反馈系统的流率—流位关系图中原点是平衡点，但是它不稳定，有一点正干扰将会导致状态远离平衡点至无穷。

18. (3) 一阶线性正反馈系统的一般情况 系统的微分方程为 dx/dt = kx - b k>0 求得方程的解为: x(t)=[x(0)-b/k] ekt＋b/k

19. 当b<0，而 x(0)>0 时, 系统行为是指数增长（[x(0)-b/k]>0） 当b=0,方程为dx/dt=kx,前面已经分析过,系统行为也是指数增长 当 b>0，则有： ① x(0)>b/k, 即 [x(0)-b/k]>0 系统行为是指数增长 ② x(0)=b/k , x(t)=b/k 　系统表现为恒值 ③ x(0)<b/k, 即 [x(0)-b/k]<0 系统行为是指数崩溃

20. 一阶线性正反馈系统一般情况下的流图、纯流率—流位关系图和系统行为。一阶线性正反馈系统一般情况下的流图、纯流率—流位关系图和系统行为。

21. ２．一阶负反馈系统 一阶负反馈系统就是只含一个流位的负反馈系统。 负反馈系统的共同特征是寻找目标。 （１）一般情况 一阶负反馈系统的微分方程是 dx/dt＝－kx +b (k>0) 因为k>0，所以系统运动轨线斜率为负。 方程的解析解为： x(t) = [x(0) - b/k]e-kt + b/k 根据参数b的情况，做讨论如下：

22. ①b=0 （指数衰减） 原方程成为dx/dt＝- kx (k>0) 方程解为： x(t) = x(0)e-kt 由于 △x ≈dx/dt△t= - kx·△t 当△t＝1（单位时间）时，有 k=∣△x∣/x 可见 k为衰减率，它描述了指数衰减的快慢。即K值越大，指数衰减就愈快。 同样，定义 1/k=Ｔ，其中Ｔ为时间常数。

23. 由方程可解出，当t=T时， x(t) = x(0)(1/e) 即x衰减为原来的1/e（约为0.37）倍，从理论上讲，x衰减至0，要经过无穷长时间。而在实际应用中，近似地认为经过３至５个周期（3T ~ 5T）后e 已经达到了零值。

25. 当状态x衰减至原来值的一半所需要时间称为半衰期。当状态x衰减至原来值的一半所需要时间称为半衰期。 半衰期用Th表示。根据定义，有 x(0)/2 = x(0)exp(- Th/T), exp (Th/T) = 2 Th/T = Ln2 Th = Ln2•T ≈ 0.7T

26. 不同衰减率下的指数衰减曲线 自然界中可观察到不少指数衰减的例子，例如，天然矿产越开采越少；放射性元素的放射性强度越来越低。放射性物质的衰减和非再生资源的开采等都是负反馈系统。 根据指数函数可判断曲线的走向，图中所示的情况也称为渐近衰减。

27. 一阶负反馈系统的因果关系图、流图和纯流率－流位图.一阶负反馈系统的因果关系图、流图和纯流率－流位图.

28. ②b<0 • 此时系统的行为模式与b=0时的模式相同。不同的是，此时状态x趋向一个负值 （b/k）。

29. ③b>0 系统的行为根据其初始值的不同，分别有以下不同的情况： a. x(0)>b/k, 即[x(0)-b/k]>0， 系统表现出渐近衰减行为。 b. x(0)=b/k, 即[x(0)-b/k]=0， 系统表现出恒值行为。 c. x(0)<b/k,即[x(0)-b/k]<0, 系统表现出渐近增长行为。 此时原方程的解析解为： x(t)=(b/k)-∣x(0)-b/k∣ e-kt

30. 一阶负反馈系统的行为 • 以上系统的行为的趋势和特点： 对于③的情况， x的最终值都是正值，且其值均为b/k，与初值无关。这表示了负反馈系统的一个重要性质，即负反馈系统的行为具有寻找目标的特性。

31. 由于社会经济系统为正系统，所以系统动力学特别地对b>0情况感兴趣。分析如下：由于社会经济系统为正系统，所以系统动力学特别地对b>0情况感兴趣。分析如下： 将原方程 dx/dt = -k x + b 改写为 dx/dt = k ((b / k )- x) ，其中的b / k正是系统的稳定平衡点，称为系统目标。 • 当系统状态x小于目标值，即(b/k)-x>0，导致x增长，趋向于目标。 • 当系统状态x大于目标值，即(b/k)-x<0，导致x减少，也趋向于目标。 • 当系统状态x等于目标值，即(b/k)-x=0，系统状态保持不变。

32. 在此处，k 可理解为比例系数，即目前状态与目标的偏差间的调整率，一般 0<k<1。 • 而1/k = T，Ｔ为时间常数（在调整偏差的场合，常称为调整时间）。例如库存系统中的库存调整时间。

33. 一阶负反馈系统因果关系图

34. 在决策过程中，检测出关于状态的信息，并将目前状态与目标进行比较，根据偏差作出如何行动的决策。在决策过程中，检测出关于状态的信息，并将目前状态与目标进行比较，根据偏差作出如何行动的决策。 • 在行动过程中，决策产生的行动将改变系统的状态，从而产生关于状态的信息。

35. 一阶负反馈系统的流图

36. 4.5 一阶系统中主导反馈环的转移 • １．一阶系统稳定性判据 • 非线性系统的平衡点也就是是非线性方程的解。非线性系统的平衡点的分布比线性情况下要复杂，它可以没有、有一个或任意有限个平衡点。 • 平衡点的性能是对系统最终行为的质的规定。它定性地确定了系统行为的模式。对一阶系统可以不求代数方程而直接利用流率—流位关系图找到平衡点并判别其稳定性。 • 流率—流位关系曲线（PR—LEV关系曲线）与横轴的交点即要找的平衡点。

37. 如何确定平衡点稳定性呢？ • 判据① 如果RP—LEV关系曲线在平衡点处的斜率为负，则该平衡点稳定。 参见相应图示。

38. 判据②　如果RP—LEV关系曲线在平衡点处的斜率为正，则该平衡点不稳定。判据②　如果RP—LEV关系曲线在平衡点处的斜率为正，则该平衡点不稳定。

39. 判据③　如果RP—LEV关系曲线在平衡点处的斜率为0，则该平衡点可能不稳定，也可能稳定。

40. ２．非线性与主导反馈环的转移 • 实际系统几乎都带有非线性的特征。系统的非线性是导致主导反馈环极性转移的根本原因。 • 复杂系统内存在相互作用的正的或负的多重反馈环,其中起主导作用的反馈环称为主导反馈环。 • 如果系统行为表现为指数增长（或指数崩溃）特性，则可以推断出系统中必定存在正反馈环，并且此正反馈环起着主导作用。 • 如果系统的行为表现寻找目标特性，则可以推断系统中必定存在负反馈环，并且此负反馈环起着主导作用。

41. 虽然系统行为是由多重反馈环相互作用共同产生的，但其模式却主要由主导反馈环决定。虽然系统行为是由多重反馈环相互作用共同产生的，但其模式却主要由主导反馈环决定。 • 主导反馈环也不是固定不变的，它们往往随着系统状态的变化而在反馈环中发生转移，由此产生了多种多样的复杂的系统行为。因此，我们不仅要研究正反馈环或负反馈环的作用，而且要研究主导反馈环转移的作用。

42. ３．主导反馈环由负反馈环向正反馈环转移实例（污染模型）３．主导反馈环由负反馈环向正反馈环转移实例（污染模型） 本实例分成线性和非线性两种情况介绍。 • (1) 线性污染吸收模型 • 某地区由于某些工厂排放污染物，假定每年以恒定速率排放。一般认为污染的吸收速率与某一时期环境中的污染量有关。污染量大，吸收速率也增加。模型的流图

43. 模型的流图

44. 变量符号说明： POL——污染量 （吨污染物） POLGR——年污染排放量（吨污染物/年） POLAR——年污染吸收量（吨污染物/年） PAT——污染吸收时间（年） DYNAMO方程： L POL.K=POL.J+(DT)(POLGR.JK-POLAR.JK) N POL=0 R POLGR.KL=CONST C CONST=10 R POLAR.KL=POL.K/PAT C PAT=1

46. 在图中，纯流率为 NPR=POLGR-POLAR。纯流率—流位关系曲线为一条直线，它与横座标交点为10（吨）。该平衡点稳定，由此可知污染量POL将从零值随时间渐近增至10（吨）

47. 线性污染吸收模型模拟结果输出曲线图

48. 由图可知，只要污染吸收时间PAT是常数，则不管年污染量排放量为何值，年污染吸收量总是能趋近该值的，从而污染量POL总是要达到一平衡值的。由图可知，只要污染吸收时间PAT是常数，则不管年污染量排放量为何值，年污染吸收量总是能趋近该值的，从而污染量POL总是要达到一平衡值的。 • 这是建立在如下假设之上，即大自然对污染的自净能力是无限的。 • 但实际上，当污染达到一定的程度时，大自然的净化能力会遭到破坏，即污染吸收时间不是常数，而是一个随污染程度变化的变量。因此引出了……

49. （2）非线性污染模型 本模型与前者的重要区别是污染吸收时间被处理为变量。即污染吸收时间PAT是污染指数POLR的非线性函数。 POLR 0 10 20 30 40 50 60 70 80 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- PAT .6 2.5 5 8 11.5 15.5 20 31 50

50. 污染吸收时间（PAT）的变化