การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่สิ่งที่ไม่แตกต่างกัน

1. การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่สิ่งที่ไม่แตกต่างกันการเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่สิ่งที่ไม่แตกต่างกัน ค32214 คณิตศาสตร์สำหรับคอมพิวเตอร์ 4

2. ตัวอย่าง • จงหาจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรในคำว่า ‘odd’ • วิธีทำ เนื่องจาก ‘odd’ มีตัวอักษร d ซ้ำกัน 2 ตัว จึงจัดเรียงได้ 3 แบบ ดังนี้ • odd, dod, ddo _________(1) • สมมติว่า ‘d’ ทั้งสองตัวนั้นต่างกัน โดยแทนด้วย d กับ D จะสามารถจัดเรียงตัวอักษรได้ 6 แบบดังนี้ • odD, doD, dDo, oDd, Dod, Ddo • จะเห็นว่าวิธีที่ 1 เป็นครึ่งหนึ่งของวิธีที่ 2

3. วิธีเรียงสับเปลี่ยนของที่ไม่แตกต่างกันวิธีเรียงสับเปลี่ยนของที่ไม่แตกต่างกัน • ให้ S เป็นสิ่งของ k สิ่งแบ่งเป็นของที่ซ้ำกัน n ประเภท โดยที่ • n1 เป็นจำนวนของสิ่งของที่ซ้ำกันประเภทที่ 1 • n2 เป็นจำนวนของสิ่งของที่ซ้ำกันประเภทที่ 2 • … • nk เป็นจำนวนของสิ่งของที่ซ้ำกันประเภทที่ k • จะได้จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนคือ n! • n1!n2!...nk!

4. ตัวอย่าง • จงหาจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรในคำว่า ‘banana’ • วิธีทำ เนื่องจาก ‘banana’ ประกอบด้วยตัวอักษร 6 ตัวและเป็นตัวอักษรที่ซ้ำกันอยู่ 3 กลุ่ม คือ • กลุ่มตัวอักษร a มี 3 ตัว • กลุ่มตัวอักษร b มี 1 ตัว • กลุ่มตัวอักษร c มี 2 ตัว • จะได้จำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรทั้ง 6 ตัว คือ • 6! = 6•5•4•3! = 6•5•4 = 60 วิธี • 1!3!2! 1!3!2! 2

5. ตัวอย่าง • มีเหรียญทั้งหมด 12 เหรียญ เป็นเหรียญสิบ 2 เหรียญ เหรียญห้า 3 เหรียญ เหรียญสอง1บาทเหรียญ และเหรียญบาท6เหรียญจงหาวิธีการเรียงเหรียญทั้ง 12 เหรียญ • วิธีทำ • จะได้จำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเหรียญทั้ง 12 เหรียญ คือ • 12! = 12•11•10•9•8•7•6! 2!3!1!6! 2!3!1!6! • = 12•11•10•9•8•7 = 55,440 วิธี 12

6. กฎการเลือกของ s ครั้งจาก t อย่าง • จำนวนวิธีเลือกของ S ครั้งจากของที่มีอยู่ทั้งหมด t อย่างคือ • C(s+t-1,s) • หรือ (s+t-1)! • (t-1)!s!

7. ตัวอย่าง • ต้องการแคะเหรียญจากกระปุก 5 เหรียญโดยในกระปุกมีเหรียญ 3 ชนิดคือเหรียญบาท เหรียญห้าและเหรียญสิบ เหรียญแต่ละชนิดมีมากกว่า 5 เหรียญ จงหาวิธีเลือกเหรียญที่แตกต่างกัน • วิธีทำ ในที่นี้ s=5 และ t=3 • จากหลักการเลือกของ =(s+t-1)! = (5+3-1)! (t-1)!s! 2!5! = 7! = 21 วิธี 2!5!

8. ตัวอย่าง • ร้านขนมโรงเรียนมีคุ้กกี้ต่างกันอยู่ 4 ชนิด จงหาวิธีจัดคุ้กกี้ต่างๆกัน 12 ชิ้น ลงในกล่อง • วิธีทำ ในที่นี้ s=12 และ t=4 • จากหลักการเลือกของ =(s+t-1)! = (12+4-1)! (t-1)!s! 3!12! = 15! = 455 วิธี 3!12!