第七节作用在曲面上的静水总压力

第五讲 第七节作用在曲面上的静水总压力作用在曲面上的静水压强方向不是相互平行的，不能简单地按平行力系求和的方法直接计算曲面的静水总压力。一般先计算其水平分力和竖直分力，然后再求合力。本节着重讨论工程中常见的静止液体中柱形曲面静水总压力的计算问题，然后再将其结论推广到三维空间曲面中去。与平面壁静水总压力的计算一样，这里只考虑相对压强引起的作用

如图，AB为母线垂直纸面的柱形曲面，母线长（即柱面长）为b，柱面左侧承受水压，水面与大气相通。将直角坐标系的原点o设在水面上，ox轴水平向左，oy轴平行于AB曲面的母线方向，oz轴铅直向下.如图，AB为母线垂直纸面的柱形曲面，母线长（即柱面长）为b，柱面左侧承受水压，水面与大气相通。将直角坐标系的原点o设在水面上，ox轴水平向左，oy轴平行于AB曲面的母线方向，oz轴铅直向下. 讨论水平分力、竖直分力及其合力的计算方法。一、水平分力Px 如图，在水深为h处的AB曲面上取一微元曲面ab，其面积为dA。则作用在其上的静水总压力为

设dA与铅直面的夹角为，则dP在水平方向的分力为设dA与铅直面的夹角为，则dP在水平方向的分力为为dA在铅直面yoz上式中的投影面积。因为所有微小曲面上的水平分力方向都相同，故作用在整个AB曲面上静水总压力的水平分力Px为为受压曲面AB在铅直平面上的投影面积对水平oy轴的静矩.故表明，作用于曲面上静水总压力的水平分力Px等于作用于该曲面在铅直平面上的投影平面Ax上的静水总压力。

二、竖直分力 如图作用在微元曲面ab上静水总压力的竖直分力为，为dA在水平面xoy上的投影面积。式中所以从图可知，上式中的hdAx为微元曲面ab上所托的液体体积a'abb'

所以为AB曲面上所托的液体体积(如图中的A'ABB' 部分). 水力学中称其为压力体，以Vp表示. 则该式表明，作用在曲面壁上静水总压力的竖直分力Pz等于充满于压力体的液体重量。可见，正确绘制压力体是计算竖直分力Pz的关键（1）压力体的绘制压力体是由以下三种面所组成的几何柱状体

① 底为受压曲面本身； ② 顶为自由液面或自由液面的延长面上的投影面； ③ 侧面为沿着受压曲面的边缘向自由液面或自由液面的延长面所作的铅直面。注意：当液面的相对压强不为零，即液面不是测压管水面时,确定压力体必须以测压管水面为准，而不能以液面为准。（2）压力体的虚实实压力P向下；虚压力体P向上。

（3）复杂曲面压力体的绘制 三、总压力P 1．P的大小 2．P的方向 P的方向是其作用线与水平面的夹角为

3．P的作用点 P的作用线与受压曲面的交点D即为静水总压力P的作用点。显然，P的作用线应通过Px与Pz的交点。对于工程实际中常见的圆柱形受压曲面，P的作用线必交于圆柱曲面的中心轴。上述柱形受压曲面的结论，可以应用于任意的三元受压曲面，不同的是，这时的水平分力不仅有Px还有Pz。所以，三元受压曲面静水总压力P的大小为因为平面也可以视为特殊的曲面，所以曲面壁静水总压力的先分解后合成的计算方法，也同样适用于平面壁静水总压力的计算。

【例2-8】溢流坝上的弧形闸门AB如图。弧面为圆柱形曲面，已知闸门半径R=4m，宽b=6m，圆心角α=30°，门轴ｏ与门顶A点在同一水平面上，坝顶B点的淹没深度H=4m。试求作用于该弧形闸门上的静水总压力P的大小及其作用点D的位置。【例2-8】溢流坝上的弧形闸门AB如图。弧面为圆柱形曲面，已知闸门半径R=4m，宽b=6m，圆心角α=30°，门轴ｏ与门顶A点在同一水平面上，坝顶B点的淹没深度H=4m。试求作用于该弧形闸门上的静水总压力P的大小及其作用点D的位置。【解】（1）水平分力Px （2）竖直分力Pz 式中: SABC=扇形SOAB三角形SOCB

（3）总压力P 作用点D的淹没深度为

【解】上游坝面为一折面，可将其视为一特殊曲面。【解】上游坝面为一折面，可将其视为一特殊曲面。【例2-9】某挡水坝如图。已知h1=6m，h2=12m，l1=5m，l2=12m，试求作用在单位宽度坝面上的静水总压力的大小、方向及该静水总压对ｏ点的力矩。水平分力为竖直分力为

合力为 P的作用线与水平面的夹角为根据几何关系，可进一步求得P的作用点D的淹没深度为 P对ｏ点的力矩为

四、作用在物体上的静水总压力——浮力 全部或部分浸入液体中的物体，除受到其自身的重力外，还始终受到一个竖直向上的浮力作用，如图。这一浮力实质上就是作用在浸入液体中的物体表面上的静水总压力。下面根据曲面壁静水总压力的计算方法，导出浮力的计算原理（即阿基米德原理）

1．水平分力 三元空间曲面静水总压力的水平分力，可进一步分解为沿平行于纸面方向和垂直于纸面方向的水平力。如图，当物体全部浸入液体时，与液体接触的表面可视为一封闭的或部分封闭的三元空间曲面。该曲面在左右两侧铅直平面上的投影面积相等，位置同高。故沿左右两侧作用在物体表面上的水平分力大小相等、方向相反，可以相互抵消。同理，物体表面沿垂直纸面方向受到的水平分力也为零。结论：浸入液体中的物体,其表面上静水总压力的水平分力为零。

2．竖直分力 如图，对于全部浸入液体中的物体，用与物体相切的铅直柱面，可将其表面分割为ACB和ADB上下两部分。分别画出这两部分表面的压力体后再叠加,可得该物体表面的压力体就是物体表面所围成的体积，并且为虚压力体。显然，对于部分浸入液体中的物体表面，其压力体也是浸入液体部分的物体体积，并且也是虚压力体。所以，浸入液体中的物体始终受到一个数值等于其排开液体的重量，方向竖直向上的静水总压力Pz,该压力又称为浮力。

浸入液体中的物体同时受到重力和浮力的作用，设液体密度为，物体重量为G、体积为V，则它在重力和浮力的共同作用下，可以有三种情况：浸入液体中的物体同时受到重力和浮力的作用，设液体密度为，物体重量为G、体积为V，则它在重力和浮力的共同作用下，可以有三种情况： • G>  gV，物体下沉至底，称为沉体； • G=  gV，物体可以在液体中任何位置保持平衡，称为潜体。 • G<  gV，物体将不断上浮，直至重力G与浮力Pz相等而使物体平衡为止，称为浮体。

第八节潜体与浮体的平衡及其稳定性 假设物体内部质量之不均匀，重心C和浮心D并不在同一位置。这时，潜体在浮力及重力作用下平衡的条件是：（1）作用与浮体上的浮力和重力相等，即G=ρgV; （2）浮力和重力对任意点的力矩代数和为零，即必须使重心C和浮心D位于同一条铅垂线上.图（a）一、潜体的平衡及其稳定 1. 潜体的平衡

2.潜体的稳定 处于平衡状态的潜体，受某种外来干扰使之脱离平衡位置时，潜体自身恢复平衡的能力. 重心位于浮心之下的潜体如图(b)、(c),是稳定平衡；重心位于浮心之上的潜体如图(d)、(e),是不稳定平衡。潜体平衡的稳定条件是重心位于浮心之下。

当重心与浮心重合时，潜体处于任何位置都是平衡的，称为随遇平衡。当重心与浮心重合时，潜体处于任何位置都是平衡的，称为随遇平衡。二、浮体的平衡及其稳定性 1. 浮体的平衡 2. 浮体的稳定性

小结： 1. 曲面静水总压力水平分力的计算； 2. 曲面静水总压力竖直分力的计算； 3. 压力体的绘制 4. 作用在物体上的静水总压力作业5 ：

第七节 作用在曲面上的静水总压力