Parallèles.

1. Parallèles. • On appelle parallèles, des droites situées dans un même plan et n’ayant aucun point commun. • Théorème: Deux droites perpendiculaires à une troisième sont parallèles. • Corollaire: Par un point hors d’une droite on peut mener une parallèle à cette droite.

2. Parallèles. • Postulat d’Euclide: Par un point donné on ne peut mener qu’une seule parallèle à une droite donnée. • Corollaires: • Si deux droites sont parallèles, toute droite qui rencontre l’une d’elles rencontre aussi l’autre. • Deux droites parallèles chacune à une troisième droite sont parallèles entre elles.

3. Parallèles. • Théorème: Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

4. Parallèles. • Corollaire: Les perpendiculaires élevées sur deux droites concurrentes sont aussi concurrentes.

5. Parallèles. • On nomme sécante toute droite qui coupe une figure géométrique.

6. Parallèles et sécantes. E • Deux droites coupés par une sécante forment 8 angles; 4 angles entre les deux droites se nomment internes ou intérieurs ; les 4 autres sont externes ou extérieurs. • On appelle angles alternes-internes deux angles non adjacents de part et de l’autre de la sécante (ex. m et p, n et q). • On appelle correspondants deux angles non adjacents, un externe et l’autre interne, situés du même côté de la sécante (ex. p et m’, n et q’, m et p’, q et n’) A B n’ m’ m n D p q q’ p’ C F

7. Parallèles et sécantes. E • Théorème: Si deux droites parallèles AB et CD sont coupées par une sécante EF • Les angles alternes-internes sont respectivement égaux; • Les angles correspondants sont respectivement égaux. • Preuve: • Par le point O, milieu de EF menons une droite GH, perpendiculaire à AB. • Les triangles rectangles OHE et OGF ayant l’hypoténuse égale et un angle aigu égal sont égaux. • Donc Tm = Tm’. • Les angles opposés par sommet sont égaux, donc Tm = Tm’ = Tn = Tn’. A G F m’ B m O n E C D n’ H

8. Angles aux côtés parallèles ou perpendiculaires. C • Théorème: Deux angles TBAC et TB’A’C’ qui ont leurs côtés respectivement parallèles: • Sont égaux s’ils sont de même sens; • Sont supplémentaires s’ils sont de sens contraires; C’ D B A B’’ B’ A’ C’’

9. Angles aux côtés parallèles ou perpendiculaires. B1 • Théorème: Deux angles TBAC et TB’A’C’ qui ont leurs côtés respectivement perpendiculaires: • Sont égaux s’ils sont de même sens; • Sont supplémentaires s’ils sont de sens contraires; B’ C C1 C’ B A A’

10. Angles aux côtés parallèles ou perpendiculaires. • Théorème: Deux segments parallèles compris entre deux droites parallèles sont égaux. • Corollaire: Deux droites parallèles sont partout également distantes. • Problème: Mener par un point A une parallèle à une droite CD.

11. Polygones. • Un polygone est la figure formée par une ligne brisée simple fermée. Les segments AB, BC, … sont les côtés du polygone, les points A, B, … sont les sommets. Le polygone a autant de sommets que de côtés. • Noms de polygones: triangle (3 côtés), quadrilatère (4), pentagone (5), hexagone (6).

12. Polygones. • Une diagonale d’un polygone est une droite qui joint deux sommets non consécutifs. • Le périmètre d’un polygone est la somme des longueurs de ses côtés. • Un angle intérieur d’un polygone est formé par deux côtés issus d’un même sommet. Un angle extérieur est formé par un côté quelconque et le prolongement du côté adjacent.

13. Polygones réguliers. • Polygone est dit régulier s’il a tous ses angles égaux et tous ses côtés égaux.

14. Somme des angles d’un triangle. • Théorème: La somme des angles d’un triangle quelconque ABC est égale à un angle plat. • Corollaires: • Chaque angle d’un triangle est le supplément de la somme de deux autres. • Si deux triangles ont deux angles égaux, il ont le troisième angle égal. B a’’ c’ a’ b c a C A

15. Angles d’un triangle rectangle. • Théorème: La somme des angles d’un triangle quelconque ABC est égale à un angle plat. • Corollaires: • Chaque angle d’un triangle est le supplément de la somme de deux autres. • Si deux triangles ont deux angles égaux, il ont le troisième angle égal. A c’ b’ b c M B C

16. Somme des angles d’un polygone. • Théorème 1: La somme des angles d’un polygone convexe à n côtés quelconque est égale à (n-2)*180o. • Théorème 2: La somme des angles d’un polygone quelconque à n côtés est égale à (n-2)*180o. A c’ b’ E B b c M C D

17. Quadrilatères. Parallélogramme. • Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles • Théorème: Dans un parallélogramme les côtés opposés sont égaux • Réciproque: Tout quadrilatère convexe qui a ses côtés égaux est un parallélogramme. • Théorème: Dans un parallélogramme les angles opposés sont égaux. • Réciproque : Tout quadrilatère qui a ses angles opposés égaux est un parallélogramme. • Théorème: Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. http://home.nordnet.fr/~rdassonval/parall.html http://home.nordnet.fr/~rdassonval/rdparallelogramme.html

18. Rectangle. Losange. Carré. • Un rectangle est un quadrilatère dont les angles sont égaux et par suite droits. • Un losange est un quadrilatère dont les côtés sont égaux. • Un carré est un quadrilatère dont les côtés sont égaux et les angles sont égaux. • Le rectangle, le losange et le carré sont les parallélogrammes. • Théorème: Les diagonales d’un rectangle sont égales. • Réciproque: Si les diagonales d’un parallélogramme sont égales, ce parallélogramme est un rectangle • Théorème: Les diagonales d’un losange se coupent à angle droit. http://instrumenpoche.sesamath.net/IMG/lecteur_iep.php?anim=triangle_hauteurs_compas.xml http://home.nordnet.fr/~rdassonval/rdlosange.html • Réciproque : Si les diagonales d’un parallélogramme se coupent à angle droit, ce parallélogramme est un losange. • Théorème: Dans un carré, les diagonales se coupent en leur milieu et à angle droit.

19. Trapèze. • Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles. • Ces deux côtés sont les bases du trapèze. • La distance entre deux droites contenant les bases est la hauteur du trapèze. • Un trapèze est rectangle s’il a deux angles droits. • Un trapèze est isocèle si les côtés non parallèles sont égaux.

20. Trapèze. • Théorème: Si par le milieu d’un côté d’un triangle on mène une parallèle à un autre côté, cette droite passe par le milieu du troisième côté, et elle est égale la moitié du côté auquel elle est parallèle. C E D F B A

21. Trapèze. • Théorème: Dans un trapèze, la droite qui joint les milieux des côtés non parallèles est parallèle aux bases et en égale la demi-somme. • FG = (AB + CD) / 2 D C M G F A B

22. Droites remarquables d’un triangle. • Théorème: Si par chaque sommet d’un triangle on mène la parallèle au côté opposé, on obtient un nouveau triangle dont les milieux des côtés sont les sommets du premier triangle. C D E B A F

23. Droites remarquables d’un triangle. • Théorème: Les trois hauteurs d’un triangle concurrent en un même point. • Théorème: Les médianes d’un triangle concurrent en un même point situé aux deux tiers de chacune d’elles à partir du sommet. • Théorème: Les bissectrices d’un triangle concurrent en un même point.