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第八章 矩阵特征值和特征向量的计算

第八章 矩阵特征值和特征向量的计算. 主要知识点. 1 、 幂法 2 、 反幂法 3 、 平行迭代法 4 、 QR 算法 5 、 Jacobi 方法. 特征值与特征向量. 设 A 是 n 阶矩阵， x 是非零列向量 . 如果有数 λ 存在，满足 ， (1) 那么，称 x 是矩阵 A 关于特征值 λ 的 特征向量. 如果把 (1) 式右端写为 ，那么 (1) 式又可写为 :. (2). 记. 它是关于参数 λ 的 n 次多项式，称为矩阵 A 的特征多项式， 其中 a 0 =(-1) n ｜ A ｜.

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第八章 矩阵特征值和特征向量的计算

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  1. 第八章 矩阵特征值和特征向量的计算

  2. 主要知识点 1、幂法 2、反幂法 3、平行迭代法 4、QR算法 5、Jacobi方法

  3. 特征值与特征向量 设A是n阶矩阵，x是非零列向量. 如果有数λ存在，满足 ， (1) 那么，称x是矩阵A关于特征值λ的特征向量.

  4. 如果把(1)式右端写为 ，那么(1)式又可写为: (2) 记 它是关于参数λ的n次多项式，称为矩阵A的特征多项式， 其中a0=(-1)n｜A｜.

  5. 显然，当λ是A的一个特征值时，它必然是 的根. 反之，如果λ是 的根，那么齐次方程组(2)有非零解向量x，使(1)式成立. 从而，λ是A的一个特征值. A的特征值也称为A的特征根.

  6. Jacobi方法 理论上，实对称矩阵A正交相似于以A的特征值为对角元 的 对角阵. 问题是如何构造这样的正交矩阵呢? Jacobi方法就是通过构造特殊的正交矩阵 序列，通过相似变换使A的非对角线元素逐次零化来实现对角化的. 平面旋转矩阵与相似约化 先看一个简单的例子.

  7. 设 是二阶实对称矩阵，即a21=a12，其特征值为λ1，λ2. 令 使得 记 容易验证BT=B, 且

  8. 解之得: 当 时 当 时 并规定

  9. 经典的Jacobi方法 设A是实对称矩阵，记A1=A.Jacobi方法的基本思想是用迭代格式 Ak+1=QTkAkQk , k=1,2,… 构造一个相似矩阵序列，使｛Ak｝收敛于一个对角阵. 其中 Qk为平面旋转矩阵，其旋转角θk由使Ak的绝对值 最大元a(k)pq=a(k)qp=0 或按列依次使A的非对角元 零化来确定.

  10. 定理设A是n阶实对称矩阵，那么由Jacobi方法产生的相似矩阵序列｛Ak｝的非对角元收敛于0. 也就是说，｛Ak｝收敛于以A的特征值为对角元的对角阵. 记 其中Ek是Ak除主对角元外的矩阵.由平面旋转矩阵的性质 中,对于 ,有 因此,

  11. 又由假设, 因此, 这样,便有 从而,当

  12. 实用的Jacobi方法 • 循环Jacobi方法必须一次又一次扫描，才能使｛Ak｝收敛于对角阵 ，计算量很大. 在实际计算中，往往用一些特殊方法来控制扫描次数，减少计算量. 下面介 绍一种应用最为广泛的特殊循环Jacobi方法——阈Jacobi方法. 阈Jacobi方法首先确定一个阈值δ，在对非对角元零化的一次扫描中，只对其中绝对值 超过阈值的非对角元进行零化. 当所有非对角元素的绝对值都不超过阈值后，将阈值减少， 再重复下一轮扫描，直至阈值充分小为止. 减少阈值的方法通常是先固定一个正整数M≥n，扫描一次后，让 . 而阈值的下界是根据实际问题的精度要求选定的.

  13. 用Jacobi方法计算特征向量 • 假定经过k次迭代得到Ak+1=RTk…RT1AR1…Rk，(15) 这时Ak+1是满足精度要求的一个近似的对角阵. 如果记Qk=R1R2…Rk=Qk-1Rk，(16) 那么，Qk是一个正交矩阵，且(15)式又可表示为Ak+1=QTkAQk.当Ak+1的非对角元素充分小，Qk的第 j列qj可以看成是近似特征值a(k+1)jj相应的特征向量了.

  14. 在实际计算中，可以按(16)式在迭代过程中形成Qk，把Qk看成是Qk-1右乘一个平面旋转矩阵得到. 不妨记 Q0=I，Qk的元素按下式计算：

  15. 反幂法 • 反幂法可以求一个非奇异矩阵A的逆矩阵A-1的按模最小的特征值及相应的特征向量，又可以求A的一个近似特征值相应的特征向量. • 求按模最小特征值及相应特征向量的反幂法,又称为反迭代法.

  16. 求近似特征值的特征向量的反幂法 • 先对矩阵 进行LU分解，记 那么， (7) 下面介绍一种选取特殊的初始向量x0的反幂法——半迭代法.

  17. 假设 ,选取初始向量x0满足‖x0‖∞=1，这时z0=x0.对照(7)式中的第二个式子.可把z0看成满足Le=z0.(8) 这里，e=(1,1，…，1)T，而z0的各个分量的取值多少是无关重要的.这样，在第一个迭代步的计算中，只需求解(7)式中的上三角方程组Ux1=e. “半迭代法”的命名也由此而得.

  18. QR方法 两个基本定理 定理设A是n阶矩阵，其n个 特征值为 .那么存在一个酉矩阵U，使 UＨAU是以为 对角元的上三角矩阵. 定理设A是n阶实矩 阵，那么，存在一个正交矩阵Q，使QＴAQ为一个准上三角矩阵，它的对角元是A的一个特征值，对角元上的二阶块矩阵的两个特征值是A的一对共轭复特征值.

  19. 相似约化为上Hessenberg矩阵 对一般n阶矩阵，QR算法的每一个迭代步需要O(n３)次乘法运算.如果矩 阵阶数稍大，这个算法几乎没有实际的应用价值. 通常采用的方法是先将矩阵相似约化为上Hessenberg形式的矩阵，在此基础上应用QR迭代.这时，一个QR迭代步的乘法运算次数只需O(n２）次.

  20. 所谓上Hessenberg矩阵是指一个n阶矩阵A，如果当i>j+1时，aij=0，称A为上Hessenberg矩阵.例如：一个5阶的上Hessenberg矩阵具有如下的形式： 下面介绍QR方法时，都假设矩阵A是一个上Hessenberg矩阵.

  21. QR算法 • 设A是n阶矩阵且有QR分解A＝QR，(2) 这里，Q是酉矩阵，R是上三角矩阵.如果A是满秩并规定R有正对角元，这个分解是惟一的.

  22. 一、QR算法的基本思想 • 记A＝A１且有A１＝Q 1R1.将等号右边两个矩阵因子的次序交换，得A２＝R１Q１，且 ，(3) 即A２～A１. 不难证明: 即Ak+1～Ak～…～A１，矩阵序列｛Ak｝有相同的特征值. 记

  23. 容易得到 是Ak的一个QR分解 如果A是一个满秩的上Hessenberg矩阵，可以证明，经过一个QR迭代步得到的A2＝Q－１１A1Q１仍然是上Hessenberg矩阵. 因为上Hessenberg矩阵次对角线以下的元素全为0，因此，只要证明，当k→∞时，由迭 代格式(4)产生的矩阵Ak的次对角元趋向于零就可以了.

  24. 二、 QR算法的收敛性 • 定理设n阶矩阵A的n个特征值满足|λ１|>|λ２|>…>|λn|>0，其相应的n个线性无关特征向量为x1，x2，…，xn. 记X＝(x1,x2,…,xn), Y= X－１.如果Y存在LU分解，那么，由(4) 式产生的矩阵Ak基本收敛于上三角矩阵R.这里，基本收敛的含义指｛Ak｝的元素中除对角线以下的元素趋于零外，可以不收敛于R的元素.

  25. 三、 QR算法的迭代过程 • 1. 一个QR迭代步的计算 ①对l=1，2，…，n-1，构造n-1个平面旋转矩阵Pl,l+1,使A1的次对角元全部零化，实现A1的QR分解的计算， 这里,

  26. ②用Pl,l+1右乘(24)，所得结果也放回矩阵A相应的元素中.②用Pl,l+1右乘(24)，所得结果也放回矩阵A相应的元素中.

  27. QR算法的迭代控制 当迭代步数k充分大时，由迭代格式(4)产生的Ak的次对角元趋于0.在 实 际计算中，控制迭代次数常用的一种办法是，预先给定一个小的正数ε，在一个迭代步的计 算结束后，对l=n-1, n-2,…，1，依次判别次对角元的绝对值是否满足  或更严格的准则是 或不太严格的准则是 如果上面三个不等式中有一个成立， 把 看做实际上为零.

  28. 带原点位移的ＱＲ算法 • 由ＱＲ算法收敛性证明可以看出，ＱＲ算法的收敛速度 依赖于矩阵相邻特征值的比 值.为了加快算法的收敛速度，在迭代过程中，对矩阵Ak确定一个原点位移量sk，称Ak-skI为带原点位移量的矩阵，再对Ak-skI应用ＱＲ算法.这时，迭代格式改为 称为带原点位移的QR算法

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