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主題 : 模擬題與其他問題

主題 : 模擬題與其他問題. 模擬題 其他問題 倒水問題 貼郵票問題 四則運算 例題講解 : H.92.3 多變形的辨識 歷年題目. 模擬題. 殺人問題 曆法轉換 Robot 撲克牌 猜數字 Life Game Loop Detection. 例 : A.305 Joseph. 有 k 個好人 (1 ~ k) 與 k 個壞人 (k+1 ~ 2k) 排成一圈，從編號 1 開始數，每次殺第 m 個人，請問要讓所有壞人比所有好人先死的 m 最小為多少？ 0 < k < 14. k = 3. ×. 2. 2. 3. 1.

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主題 : 模擬題與其他問題

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Presentation Transcript

  1. 主題: 模擬題與其他問題 • 模擬題 • 其他問題 • 倒水問題 • 貼郵票問題 • 四則運算 • 例題講解: H.92.3 多變形的辨識 • 歷年題目

  2. 模擬題 • 殺人問題 • 曆法轉換 • Robot • 撲克牌 • 猜數字 • Life Game • Loop Detection

  3. 例: A.305 Joseph • 有 k 個好人 (1 ~ k) 與 k 個壞人 (k+1 ~ 2k) 排成一圈，從編號 1 開始數，每次殺第 m 個人，請問要讓所有壞人比所有好人先死的 m 最小為多少？ • 0 < k < 14

  4. k = 3 × 2 2 3 1 3 1 × × × 4 6 4 6 × 5 5 m = 5 m = 4

  5. 解題技巧 • 在讀入 k 之前，先把 k = 1 ~ 13 的答案算出來並紀錄，接下來不管讀入任何 k 都直接查表印出答案即可 • 直接模擬 • 若 m % 2k  k 則此 m 不是答案，因為第一步就殺到好人 • 一步一步模擬直到所有壞人殺光或殺到好人為止

  6. 例: A.602 What day is it? • 給予日期 (m d y) 請問此日期的 weekday8 10 2004  Tuesday • 閏年規則: 若年份是 4 的倍數，且不為 400 的倍數則是閏年 • 曆法修正: 因為閏年修正的關係，所以 1752/9/02 的下一天是 1752/9/14

  7. 解題技巧 • 直接模擬 • 檢查給予的日期是否合法 • 看看今天的 weekday 往回推 • 小心閏年規則與曆法修正日期

  8. 例: A. 10500 Robot maps • 給一個 n × m 的地圖，地圖上有空格與障礙物，1  n, m  10 • 給予機器人的起始位置 (必定是空格)，每次機器人會先讀取上下左右格子的資訊，接下來移動到第一個沒走過的格子(檢查順序是由上方開始順時針方向 )，一直到週圍都已走過或是障礙物為止 • 輸出機器人所偵測到的地圖

  9. ? ● ? ? ? ? ● x ? x ? ? ● ? ● ? x ? x ? ? ? ? x ? ? ? ? ? ● x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ● x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

  10. 例: A.131 The psychic poker player • 手上有五張牌，桌上有五張牌，可以換一次牌(從手上丟掉任意k 張，從桌上依序拿取 k 張)，請問最大可以換到什麼牌 • 手上: 2H 2S 3H 3S 3C桌上: 2D 3D 6C 9C 10H最好的換法: 換兩張2H 2S 3H 3S 3C2H 2S 3H 3S 3C 2D 3D × ×

  11. 解題技巧 • 從換 0 張到換 5 張 • 不換牌 • 所有丟掉 1 張牌的可能組合 + 依序拿進 1 張 • 所有丟掉 2 張牌的可能組合 + 依序拿進 2 張 • … • 比較牌組大小時先比數字再比花色

  12. 例: A.296 Safebreaker • 猜 4 位數字遊戲，給予數行 (1~10) 猜數字的過程，請判斷有唯一解，無解，還是不只一組解 • xxxx A/B: xxxx 是這回合猜的數字，A 表示數字對且位子也對的數目，B 代表數字對但是位置不對的數目

  13. 9793 0/12384 0/26264 0/13383 1/02795 0/00218 1/0 • 答案: 3411

  14. 解題技巧 • 開一個大小為 10000 的陣列，對於每一組猜測都把不可能的數字標記掉 • 最後看剩幾組數字沒標記 • 0組: 無解 • 1組: 唯一解 • 多於 1 組: 不只一組解

  15. 例: A.457 Linear cellular automata • 給 40 個細菌培養皿，每個培養皿有自己的細菌濃度 (從 0 到 3)，與濃度轉換公式 • 每天每個培養皿會根據昨天自己的濃度、左右兩個培養皿濃度及轉換公式得到新的濃度:denday j+1[i] = 公式(denday j[i] + denday j[i1] + denday j[i+1]) • 請列出所有培養皿從第 1 天到第 50 天的狀態

  16. 轉換公式: 0→1 1→1 2→2 3→0 4→1 5→3 6→3 7→2 8→2 9→0 0 0

  17. 解題方法 • 仔細閱讀題目敘述與假設 • 第一天第 20 個培養皿濃度是 1，其他皆為 0 • 假設在第 1 個左邊與第 40 個右邊各有一個濃度一直為 0 的培養皿 • 按照題目敘述與轉換公式逐日模擬並輸出

  18. 例題: W.96.1 20-30-40 • 給予一副牌，按照順序發成三疊 • 在發了任一張牌後，若任何一疊中，有(1)底部一張與最上面兩張 (2) 底部兩張與最上面兩張 (3) 底部連續三張加起來點數為 10、20 或 30，則把這三張牌拿起來進入手上牌疊 • 若某疊牌拿起三張後仍符合上述條件，則一直拿到不符合條件為止 • 若有某一疊的牌完全被拿光了，則以後不在往這疊發牌 • 請輸出最後結果: (1) 三疊牌都清空了 (2) 手上牌疊空了 (3) 進入無窮迴圈

  19. 進階技巧 – loop detection • 需要偵測是否有迴圈出現 • 方法一: 模擬比對 • 每跑出一個新狀態，就從頭開始再跑一次看是否出現過同樣的狀態 • 方法二: 紀錄狀態 • 把所有出現過的狀態記錄下來比對

  20. 模擬比對 // 這 function 用來模擬從狀態 a 發一張牌後的情況 state DispatchOneCard(state a); // 主要用來直接模擬比對的迴圈 while (not_win_lose) { now_state = DispatchOneCard(last_state); step++; CheckWinLose(now_state); pre_state = init_state; for (i = 1; i<step; i++){ if (pre_state == now_state) return; else pre_state = DispatchOneCard(pre_state); } }

  21. 紀錄狀態 • 可能的狀態數目在記憶體範圍內，則用列舉法 • 列舉所有可能的狀態，標記出現過的狀態 • 可能的狀態數目超過記憶體容量 • 狀態可以比較大小: 用 search tree紀錄所有出現過的狀態 • 狀態較難比較大小: 使用 hash value來加速尋找重複的狀態

  22. Search tree • 一開始， search tree 是空的，第一個出現的狀態成為 root • 每一個 tree node 上會代表一個狀態 • 在這個 node 的 subtree 中 • Left subtree: 比這個狀態小 (字典順序或編碼順序) 的狀態 • Right subtree: 比這個狀態大的狀態

  23. 例: ABCD 的組合 開始沒有狀態  tree 是空的 ACBD 產生狀態 ACBD，加入 tree 產生狀態 ABCC，加入 tree ABCC BADA 產生狀態 BADA，加入 tree 產生狀態 CCCB，加入 tree ACDD CCCB 產生狀態 BADB，加入 tree 產生狀態 ACDD，加入 tree BADB 產生狀態 ABCC，loop!!!

  24. Hash • 用一個多對一的 hash function h(x) 來把狀態 x 對應到既定範圍內的數字 • 不同的狀態可以對應相同的數字 • 同一個狀態必須對應同一個數字 • 每出現一個狀態，就檢查相同 hash value 的狀態裡是否有一樣的狀態

  25. 例: 0123的所有組合 • H(s1s2s3s4) = s1 + s2 + s3 + s4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1220 狀態 0002, H(0002) = 2 狀態 1220, H(1220) = 5 0002 0110 狀態 0010, H(0010) = 1 狀態 0110, H(0110) = 2 0010

  26. 儲存相同 hash value 的狀態 • 用 link list • Sorted list: insert 較慢，但搜尋較快 • Unsorted list: insert 快，但搜尋要看完 list • 用 search tree • 程式較複雜 • 效率介於上述兩者之間 • 建議用 hash + unsorted lists

  27. 倒水問題: A.571 Jugs • 給兩個罐子及其容量 A 與 B (A , B 互質)，允許的動作是把某罐子清空或倒滿水，把某個罐子的水倒到另一個罐子裡直到一邊空了或滿了為止 • 給予一目標 N，請問最少的動作次數才能倒出 N 來

  28. 解題技巧 • 存在一組最佳解，不是 A 一直注滿 B 一直倒空，就是 B 一直注滿 A 一直倒空 • Hint: 一個罐子不會發生又被注滿又被倒空的情形

  29. 例: A = 5, B = 3, N = 4  注滿A  從 A 倒 B  清空B  從A 倒 B  注滿A  從A 倒 B  4 出現!!! B A

  30. 作法 • 把 A 注滿 • 從 A 倒 B • 若 B 滿，清空 B • 若 A 沒了，注滿 A • 檢查是否出現 N ，若無則重複以上步驟 • 把 A 與 B 的角色對調並重複上述步驟，取動作次數較少的即為答案

  31. 貼郵票問題: A.165 Stamps • 給 h 與 k (h + k  9)，h 是總共可以貼的郵票張數，k 是面額種類，請幫忙決定用怎麼樣的面額，使得從 1 開始到 N 的所有數字都可以貼出來，並且 N 最大 • 例: h = 3, k = 2，則 1 與 3 可以貼出最大的 N面額 = {1, 2}, 可貼出 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 面額 = {1, 3}, 可貼出 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} 面額 = {1, 4}, 可貼出 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12}

  32. 解題技巧 • 暴法展開填表法 • 用暴力法展開所有可能的幣值 • 若已知面額，則可用填表法來得知 N 面額 1 1 一定要 面額 1, 2 面額 1 2 要不要 面額 1, 2, 3 面額 1, 2 面額 1, 3 面額 1 3 要不要

  33. 實作技巧 • 在 recursive 過程中使用一陣列來記錄現在能貼的數字與最小使用張數，在加入新的面額後可以很快得知新的結果 N 1 2 3 4 5 6 面額 1,2 最小 張數 1 1 2 2 3 3 N 7 8 9 1 2 3 4 5 6 面額 1, 2,3 最小 張數 3 3 1 1 1 2 2 2

  34. 如何避免無窮的 recursive? • 已經使用 h 種面額時不再往下長 • 在決定面額 m 時，若先前決定的最大 N 為 m–1，則面額 m 非使用不可 • 例: 若在決定面額 6 時，之前所用的面額只能湊出 1, 2, 3, 4, 5，則面額 6 非用不可，不然往後因為面額都比 6 大，不可能湊出 6 • tree 的高度  k2h

  35. 四則運算式 • 一般我們使用的四則運算式稱之為 infix 表示法，因為運算元是在運算子中間5 + 8  3 – ( 4 / 2 ) + 9 • infix 比較不適合用電腦做運算，因為有運算順序 (先乘除後加減) 與括號，使得我們要記錄之前的運算元與運算子

  36. Posfix 表示法 • 運算元在運算子之後，沒有運算順序與括號的問題，較適合電腦運算，只需一 stack 來記錄運算子 • 規則: 看到運算元則對之前兩個運算子做運算，結果會成為新的運算子infix: A + B  C – ( D / E ) + 9posfix: ABC+DE/–9+

  37. 實作 • 用一 stack 存放，由左至右 scan 運算式 • 運算子: push • 運算元: pop 兩個運算子運算，push結果 例: ABC+DE/– C B T1 = B  C push(A) push(B) push(C) T1 = B  C push(T1) T2 = A + T1 push(T2) A T2 = A + T1

  38. Infix 轉換 posfix (無括號) • 用一 stack 存放運算元，由左至右 scan • 運算子: 直接輸出 • 運算元: 若運算順序小於等於 stack 最上面的運算元，則 pop 並輸出到大於為止，然後就 push 此運算元 infix: A+BC–D/E  pop(), pop(+) push(–) push() 輸出 A push(+) 輸出 B 輸出 C – +  DE/– + A B C Posfix:

  39. Infix 轉換 posfix (有括號) • 一樣由左至右 scan • 遇到左括號，push • 遇到右括號，pop 直到左括號為止 (括號不用輸出)，也不用 push 右括號 • 其餘同上一頁，在 pop 過程中遇到左括號則停止 pop / + Infix: A  ( B/C + D) (  D Posfix: A B C + / 

  40. 例: H.92.3 多邊形的辨識 • 一有 105點的圖形，每個點按規則編號，給數個點，判斷這數個點是否構成直角三角、正方、長方、平行四邊或六角形 15 10 14 6 9 13 3 5 12 8 1 2 4 7 11

  41. 範例 28 6, 13, 15  直角三角形 27 21 1, 2, 5, 3  正方形 26 15 20 10 14 19 25 19, 25, 26, 20  平行四邊形 24 6 9 13 18 11, 16, 23, 24, 18, 12  六邊形 3 5 12 17 23 8 8, 12, 18  不是直角三角形 22 1 2 4 7 11 16

  42. 標示座標 • 按照順序幫每個點標示座標 • 按斜列順序標示 4 3 2 1 0 第 3 斜列的第一點 (4) 座標: (2, 0) 第二點 (5) 座標: (1, 1) 第三點 (6) 座標: (0, 2) 15 10 14 6 9 13 第 i 斜列的第一點座標: (i–1, 0) 第二點座標: (i – 2, 1) 第三點座標: (i – 3, 2) ( x 座標遞減, y 座標遞增) 3 5 12 8 1 2 4 7 11 0 1 2 3 4 x座標

  43. 解題技巧 • 因為圖形中沒有 / 方向的線段，因此任何合法的圖形必定存在一左上點(x 座標最小，y 座標最大) 28 27 21 26 15 20 10 14 19 25 24 6 9 13 18 3 5 12 17 23 8 22 1 2 4 7 11 16

  44. 直角三角形 • 以左上點為基準點，有兩種可能 • 因為斜線的斜率是 1，所以是等邊直角三角形 (x+a, y) (x, y) (x, y) (x, y–a) (x+a, y–a) (x+a, y–a )

  45. 正方形與長方形 (x+a, y) (x, y) (x+b, y) (x, y) (x, y–a) (x+a, y–a) (x, y–a) (x+b, y–a)

  46. 平行四邊形 (x, y) (x+a, y) (x, y) (x+b, y–b) (x, y–a) (x+b, y–b) (x+a+b, y–b) (x+b, y–b–a)

  47. 六邊形 (x, y) (x+a, y) (x, y–b) (x+a+c, y–c) (x+a+c, y–b–c) (x+c, y–b–c)

  48. 歷年題目 • 練習題 • A.402M*A*S*H • http://acm.uva.es/p/v4/402.html • A.10315 Poker Hands • http://acm.uva.es/p/v103/10315.html • A.727 Equation • http://acm.uva.es/p/v106/10600.html • A.571 Jugs • http://acm.uva.es/p/v5/571.html • A.165 Stamps • http://acm.uva.es/p/v1/165.html • 挑戰題 • A.180Eeny Meeny • http://acm.uva.es/p/v1/180.html

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