หน่วยที่ 1 ฟังก์ชัน ลิมิต ความต่อเนื่อง และจำนวนเชิงซ้อน

1. หน่วยที่ 1ฟังก์ชัน ลิมิต ความต่อเนื่อง และจำนวนเชิงซ้อน ผู้เขียน อ.ปิยพร นุรารักษ์

2. ตอนที่ 1.1 ฟังก์ชัน

3. นิยาม ความสัมพันธ์ f เป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อ ถ้า (x, y ) และ (x,z) เป็นสมาชิกของ f แล้ว จะได้ว่า y = z ให้ f เป็นฟังก์ชันใดๆ และ (x,y) เป็นสมาชิกของ f จะเรียก y ว่าเป็นค่าของฟังก์ชัน f ที่ x และเขียน โดยที่ x คือ ตัวแปรอิสระ (independent variable) y คือ ตัวแปรตาม (dependent variable)

4. การพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชันหรือไม่ สามารถพิจารณาได้โดย วิธีที่ 1การพิจารณาโดยอาศัยบทนิยาม วิธีที่ 2การพิจารณาจากกราฟ

5. วิธีที่ 1การพิจารณาโดยอาศัยบทนิยาม • ความสัมพันธ์ r จะเป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อ • สมาชิกตัวหน้าแต่ละตัวของคู่อันดับใน r ไม่ซ้ำกัน หรือ • ความสัมพันธ์ r จะไม่เป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อ • สมาชิกตัวหน้าแต่ละตัวของคู่อันดับใน r ซ้ำกัน ขณะที่สมาชิกตัวหลังต่างกัน

6. วิธีที่ 2การพิจารณาจากกราฟ • ถ้ามีเส้นตรงที่ขนานกับแกน y(แนวตั้ง) • ตัดกราฟของความสัมพันธ์ มากกว่า 1 จุด แล้ว • ความสัมพันธ์นี้ ไม่เป็นฟังก์ชัน หรือ • ถ้าไม่มีเส้นตรงที่ขนานกับแกน y • ตัดกราฟของความสัมพันธ์มากกว่า 1 จุด แล้ว • ความสัมพันธ์นี้ เป็นฟังก์ชัน

7. ตัวอย่าง กำหนดให้ความสัมพันธ์ r1 = {(3,4),(5,6),(7,8)} และ r2 = {(3,4),(3,5),(7,8)} จงพิจารณาว่า r1, r2เป็นฟังก์ชันหรือไม่ โดย 1)พิจารณาโดยอาศัยบทนิยาม 2)พิจารณาจากกราฟ

8. 1)พิจารณาโดยอาศัยบทนิยาม1)พิจารณาโดยอาศัยบทนิยาม วิธีทำ r1 = {(3,4),(5,6),(7,8)} เป็นฟังก์ชันเพราะทุกๆ คู่อันดับไม่มีสมาชิกตัวหน้าซ้ำกัน r2 = {(3,4),(3,6),(7,8)} ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะตัวหน้าของคู่อันดับใน r2ซ้ำกัน ขณะที่ตัวหลังต่างกัน

9. 2)พิจารณาจากกราฟ r1 = {(3,4),(5,6),(7,8)} เป็นฟังก์ชันเพราะทุกๆ คู่อันดับไม่มีสมาชิกตัวหน้าซ้ำกัน

10. r2 = {(3,4),(3,6),(7,8)} ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะตัวหน้าของคู่อันดับใน r2ซ้ำกัน ขณะที่ตัวหลังต่างกัน

11. โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน ถ้า ความสัมพันธ์ f เป็นฟังก์ชันแล้ว โดเมนของ f คือ เรนจ์ของ fคือ บทนิยามf จะเป็นฟังก์ชันจากเซต X ไปเซต Y ก็ต่อเมื่อโดเมนของ f เท่ากับ X และ เรนจ์ของ f เป็นสับเซตของ Y เราจะเขียน แทนฟังก์ชัน f จากเซต X ไปยังเซต Y

12. Y X f f(x1) f(x2) f(x3) x1 x2 x3 ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง บทนิยามf เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (one to one function) ก็ต่อเมื่อถ้า x1, x2 X และ f(x1)= f(x2) แล้วจะได้ x1 = x2

13. ฟังก์ชันผกผัน เนื่องจากฟังก์ชันเป็นความสัมพันธ์ ดังนั้นเราสามารถหาความสัมพันธ์ผกผันของฟังก์ชันใดๆ ที่กำหนดให้ได้เสมอ โดยที่ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันอาจมีคุณสมบัติเป็นฟังก์ชันหรือไม่เป็นฟังก์ชันก็ได้ ข้อสังเกต เราพบว่าฟังก์ชัน f จะมีฟังก์ชันผกผัน เมื่อ f เป็นฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง และจะได้ว่าฟังก์ชัน f-1 เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วย

15. ฟังก์ชันพีชคณิต เป็นฟังก์ชันที่ค่าของฟังก์ชันเขียนในรูปสัญลักษณ์ทางพีชคณิตที่ประกอบด้วยค่าคงตัว ตัวแปร และเครื่องหมาย บวก ลบ คูณ หาร กรณฑ์ หรือยกกำลัง เช่น

16. ฟังก์ชันพีชคณิตที่นำมาใช้ในวิชาแคลคูลัสได้แก่ฟังก์ชันพีชคณิตที่นำมาใช้ในวิชาแคลคูลัสได้แก่ 1.ฟังก์ชันพหุนาม (polynomial functions) 2.ฟังก์ชันตรรกยะ (rational functions)

17. ฟังก์ชันพีชคณิตที่นำมาใช้ในวิชาแคลคูลัสได้แก่ฟังก์ชันพีชคณิตที่นำมาใช้ในวิชาแคลคูลัสได้แก่ 1.ฟังก์ชันพหุนาม (polynomial functions) โดยที่ เป็นจำนวนจริง และ ซึ่งเรียกว่า สัมประสิทธิ์ของพหุนาม และ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ เราจะเรียก f ว่าเป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรี n

18. 2.ฟังก์ชันตรรกยะ (rational functions) คือ ฟังก์ชันที่เขียนอยู่ในรูปผลหารของฟังก์ชันพหุนาม ถ้า f(x) เป็นฟังก์ชันตรรกยะ จะได้ว่า โดยที่ P(x) และ Q(x) เป็นฟังก์ชันพหุนาม และ Q(x) ≠ 0

19. ฟังก์ชันอดิศัย (transcendental functions) คือฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพีชคณิต เช่น 1. ฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล 2. ฟังก์ชันลอการิทึม 3. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชัน sin, cos, tan, sec, cosec หรือ cot

20. ตอนที่ 1.2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

21. ทฤษฎีบท ฟังก์ชัน f(x)มีลิมิตที่ x=a เท่ากับ L ก็ต่อเมื่อลิมิตซ้ายและลิมิตขวาของ f ที่ a หาค่าและมีค่าเท่ากับ Lนั่นคือ ก็ต่อเมื่อ

22. ตัวอย่าง จงพิจารณาลิมิตที่ x= 0, 1, 2, 3, 4

23. ความต่อเนื่องของฟังก์ชันความต่อเนื่องของฟังก์ชัน บทนิยาม ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ x = a ก็ต่อเมื่อ เงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริงทุกข้อ 1.f(a)หาค่าได้เป็นจำนวนจริง 2. 3. หาค่าได้เป็นจำนวนจริง

24. ตัวอย่าง จงทดสอบความต่อเนื่องที่ x= 1, 2, 3 f ไม่ต่อเนื่องที่ x = 1 เพราะว่า f(1) = 1 หาค่าได้ แต่ f ไม่ต่อเนื่องที่ x = 2 เพราะว่า f(2) = 2 หาค่าได้ แต่ f ต่อเนื่องที่ x = 3 เพราะว่า f(3) = 2 หาค่าได้ และ

25. ตอนที่ 1.3 จำนวนเชิงซ้อนเบื้องต้น

26. ในระบบจำนวนจริง ถ้า แล้ว เสมอ ดังนั้นสมการ เช่นหรือ จึงไม่สามารถหาคำตอบได้ในระบบจำนวนจริงจึงต้องสร้างจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนจริงขึ้นมา ซึ่งเราเรียกว่า จำนวนจินตภาพ (imaginary number) โดยกำหนดให้และ และเรียกจำนวนที่อยู่ในรูป a+bi เมื่อ ว่า จำนวนเชิงซ้อน

27. จำนวนเชิงซ้อน (complex number) เขียนแทนด้วย z และในบางครั้งสามารถเขียนแทนด้วยคู่ลำดับ (a,b) โดยจะได้ว่า z = a + bi เรียก a ว่า เป็นส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน z b ว่า เป็นส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z

28. การดำเนินการของจำนวนเชิงซ้อนการดำเนินการของจำนวนเชิงซ้อน 1. การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อน ให้ z1 = a + bi และ z2 = c + di z1 = z2ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d 2. การบวกจำนวนเชิงซ้อน ให้ z1 = a + bi และ z2 = c + di z1 + z2 = (a+c) + (b+d)i 3. การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนจริง ให้ z = a + bi และ k เป็นจำนวนจริงใดๆ kz = ka + kbi

29. 4. การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนเชิงซ้อน ให้ z1 = a + bi และ z2 = c + di z1 z2 = (a + bi)( c + di) = (ac-bd)+(ad+bc)i 5. การหารจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนเชิงซ้อน ให้ z1 = a + bi และ z2 = c + di และ

30. 6. ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน a + bi ให้ z = a + bi ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนของ z คือ 7. คอนจูเกต (conjugate) ของจำนวนเชิงซ้อน z คือ ถ้า จะได้

31. กำหนดให้ ตัวอย่าง จงหา