第六章动荷载 · 交变应力

第六章动荷载 · 交变应力 §6－1 概述 §6－2 构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力计算 §6－3 构件受冲击荷载作用时的动应力计算 §6－4 交变应力下材料的疲劳破坏·疲劳极限 §6－5 钢结构构件及其连接的疲劳计算

第六章动荷载·交变应力 §6－1概述前面各章中研究了在静荷载作用下，构件的强度,刚度和稳定性问题。本章研究动荷载问题。动荷载：荷载随时间作急剧的变化，或加载过程中构件内各质点有较大的加速度。本章研究以下几种动荷载问题： Ⅰ. 构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力问题； Ⅱ. 构件受冲击荷载作用时的动应力； Ⅲ.构件在交变应力作用下的疲劳破坏。

第六章动荷载·交变应力 §6－2 构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力计算动静法的应用 Ⅰ.构件作加速运动时，构件内各质点将产生惯性力，惯性力的大小等于质量与加速度的乘积，方向与加速度的方向相反。 Ⅱ.动静法：在任一瞬时，作用在构件上的荷载,惯性力和约束力，构成平衡力系。当构件的加速度已知时，可用动静法求解其动应力。

第六章动荷载·交变应力 例 6－1一钢索起吊重物M（图a），以等加速度a提升。重物M的重量为P，钢索的横截面面积为A，不计钢索的重量。试求钢索横截面上的动应力sd 。解：设钢索的动轴力为FNd ，重物 M 的惯性力为（↓）（图b），由重物M的平衡方程可得 (1) 令（动荷因数） (2) 则 (3)

第六章动荷载·交变应力 钢索横截面上的动应力为（4）式中，为静应力。由（3）,（4）式可见，动荷载等于动荷载因数与静荷载的乘积；动应力等于动荷载因数与静应力的乘积。即用动荷因数反映动荷载的效应。

第六章动荷载·交变应力 例 6－4已知梁为16号工字钢，吊索横截面面积 A＝108mm2,等加速度a =10 m/s2，不计钢索质量。求：1,吊索的动应力sd; 2,梁的最大动应力sd, max。解： 1.求吊索的sd 16号工字钢单位长度的重量为 qst=20.5×9.81=201.1 N/m • 吊索的静轴力为

第六章动荷载·交变应力 • 吊索的静应力动荷因数为吊索的动应力为 2. 求梁的sd ,max • C 截面上的弯矩为

第六章动荷载·交变应力 查表16号工字钢的弯曲截面系数为梁的最大静应力为 • 梁的最大动应力为

y qd(x) w x A l qd(x) FNd(x) x h l 第六章动荷载·交变应力例均质等截面杆AB，横截面面积为A,单位体积的质量为r，弹性模量为E。以等角速度w 绕 y 轴旋转。求AB杆的最大动应力及杆的动伸长（不计AB杆由自重产生的弯曲）。解：惯性力的集度为 AB 杆的轴力为 B

第六章动荷载·交变应力 x = 0 时， AB杆的最大动应力为（与A无关） AB杆的伸长量为（与A无关）

第六章动荷载·交变应力 例 6－2已知等角速度w，圆环的横截面面积为A，材料的密度为r。求圆环横截面上的正应力。解：沿圆环轴线均匀分布的惯性力的集度（图b）为

第六章动荷载·交变应力 由圆环上半部分（图c）的平衡方程得横截面上的正应力为

第六章动荷载·交变应力 例 6－3直径d =100 mm的圆轴，右端有重量 P =0.6 kN,直径D=400 mm的飞轮，以均匀转速n =1 000 r/min旋转（图a）。在轴的左端施加制动力偶Md（图b），使其在t＝0.01s内停车。不计轴的质量。求轴内的最大切应力tdmax。

第六章动荷载·交变应力 解：由于轴在制动时产生角加速度a，使飞轮产生惯性力矩Md（图b）。设飞轮的转动惯量为I0，则Md=I0a，其转向与a相反。轴的扭矩Td=Md。轴的角速度为角加速度为其转向与n的转向相反。

第六章动荷载·交变应力 飞轮的转动惯量为 N·m·s2 飞轮的惯性力矩为轴的最大动切应力为

第六章动荷载·交变应力 §6－3 构件受冲击荷载作用时的动应力计算图a表示重量为P的重物，从高度h 处自由落下，当重物与杆的B端接触的瞬间速度减少至零，同时产生很大的加速度，对AB杆施加很大的惯性力Fd，使AB 杆受到冲击作用。重物称为冲击物，AB 杆称为被冲击物，Fd称为冲击荷载。

第六章动荷载·交变应力 由于冲击时间极短，加速度很难确定，不能用动静法进行分析。通常在以下假设的基础上用能量法作近似计算。 Ⅰ. 不计冲击物的变形，且冲击物和被冲击物接触后不回弹； Ⅱ. 不计被冲击物的质量，被冲击物的变形在线弹性范围内； Ⅲ. 不计冲击过程中的能量损失。

第六章动荷载·交变应力 由机械能守恒定理可知：冲击过程中，冲击物所减少的动能Ek和势能Ep等于被冲击物所增加的应变能，即 ( a ) 重物减少的势能为 ( b ) Dd 为重物的速度降为零时，B端的最大位移，称为动位移。重物的动能无变化 (c) AB杆增加的应变能为 (d)

第六章动荷载·交变应力 由，得 (e) 将（e）式代入（d）式，得 (f) 将（b）,（c）和（f）式代入（a）式，得 (g) 由于（图c）（B端的静位移），（g）式化为 (h)

第六章动荷载·交变应力 解得 (i) 其中（ 6－1 ） Kd为动位移和静位移的比值，称为动荷载因数。（6－1）式为自由落体冲击时的冲击动荷载因数。将（i）式代入（e）式，得（j） AB杆的动应力为（k）

第六章动荷载·交变应力 小结：凡是自由落体冲击问题，均可以用以上公式进行计算。Kd公式中，h为自由落体的高度，Dst为把冲击物作为静荷载置于被冲击物的冲击点处，被冲击物的冲击点沿冲击方向的静位移。 h = 0时， Kd=2 （骤加荷载）由于不考虑冲击过程中的能量损失，Kd值偏大，以上计算偏于安全。其它冲击问题的Kd表达式，将根据具体情况由机械能守恒定律求出。

P P h h B A B A z C z C 1.5m 1.5m 1.5m 1.5m (b) (a) 第六章动荷载·交变应力例图a，b所示简支梁均由20b号工字钢制成。E=210 GPa，P =2 kN，h=20 mm。图b中B支座弹簧的刚度系数 k =300 kN/m。试分别求图a，b所示梁的最大正应力。（不计梁和弹簧的自重）

P h B A z C 1.5m 1.5m 第六章动荷载·交变应力解： 1.图a 由型钢查得20b号工字钢的Wz和Iz分别为 Wz=250×103 mm3，Iz=2 500×104 mm4 梁的最大静应力为 C 截面的静位移为

第六章动荷载·交变应力 动荷因数为梁的最大动应力为

P h B A z C 1.5m 1.5m 第六章动荷载·交变应力 2. 图b C 截面的静位移为动荷因数为梁的最大动应力为。可见增加Dst可使Kd减小。

第六章动荷载·交变应力 例 6-8已知AB梁的E,I,W。重物G的重量为P，水平速度为v。试求梁的sd,max。解：这是水平冲击问题（ a ）（ b ）（ c ）由于故（ d ）从而有（ e ）

第六章动荷载·交变应力 由机械能守恒定律，即解得式中（把P作为静荷载置于C截面时，C 处的静位移）。（水平冲击时的冲击动荷因数）。

第六章动荷载·交变应力 例 6－7轴的直径d =100 mm，长度l=2m，G =80 GPa，飞轮的重量P =0.6 kN,直径D =400 mm，n =1 000 r/min，AB轴的A端被突然刹车卡紧。求轴的 td,max（不计轴的质量）。解：由于突然刹车的时间极短，飞轮产生很大的角加速度，具有很大的惯性力矩，使轴受到扭转冲击。根据机械能守恒定律，飞轮的动能转变为轴的应变能。

第六章动荷载·交变应力 由得

第六章动荷载·交变应力 当轴在0.01 s内停车时，由例6－3知可见刹车时的将增加很多。对于轴的强度非常不利，应尽量避免突然刹车。

第六章动荷载·交变应力 例 6－5钢吊索AC的A端悬挂一重量为P =20 kN的重物，并以等速v=1m/s下降。当吊索长度 l = 20 m时，滑轮D被卡住。试求吊索受到的冲击荷载Fd 及冲击应力sd。吊索的横截面面积A=414 mm2，材料的弹性模量E=170 GPa，不计滑轮的重量。若在上述情况下，在吊索与重物之间安置一个刚度系数k=300 kN/m的弹簧，吊索受到的冲击荷载又为多少？

第六章动荷载·交变应力 解：由于滑轮突然被卡住，使重物的速度在极短的时间内降为零，重物产生很大的惯性力Fd ，使吊索受到冲击。该题和以上各题不同的是，在滑轮被卡住前的瞬时，吊索在P力作用下已产生静位移和应变能。重物减少的动能为重物减少的势能为

第六章动荷载·交变应力 其中，为冲击过程中重物下降的距离。吊索增加的应变能为利用机械能守恒定律可以求出动荷载因数在吊索和重物之间安置一弹簧时，，Dst增加，Kd 减小。

2 k F F w d d z 1 3 a a F F 4 y Fa x O M (b) 第六章动荷载·交变应力 §6－4 交变应力下材料的疲劳破坏·疲劳极限 Ⅰ.交变应力的概念交变应力——随时间作交替变化的应力。例1 火车轮轴的受力图和弯矩分别如图a,b所示。 (a)

2 k 可见随时间t是按正弦规律变化的（图c）。 d z 1 3 4 y 第六章动荷载·交变应力力F和弯矩不随时间变化，但因轴以速度w旋转，使其横截面上任一点k到z轴的距离为t 的函数，k点的正应力为

2 k d z 1 3 4 曲线称为应力谱。应力重复变化一次的过程，称为一个应力循环。应力重复变化的次数，称为应力循环次数。 y 第六章动荷载·交变应力

z （a） k y 最大位移（wt=3p/2）最小位移（wt=p/2）静位移（wt = 0）第六章动荷载·交变应力例2图a中，P 为电动机的重量，电动机以等角速度w 旋转，F0 为因电动机的偏心而产生的惯性力。作用在梁上的铅垂荷载为，F 称为交变荷载。

z （a） k y 最大位移（wt=3p/2）最小位移（wt=p/2）静位移（wt = 0）第六章动荷载·交变应力 C截面的弯矩为。C 截面上 k点的正应力为即

第六章动荷载·交变应力 随时间t的变化规律如图b所示。

第六章动荷载·交变应力 (1) 为了表示交变应力中应力变化的情况，引入几个基本参量。 1.循环特征（应力比）（拉,压,弯曲）或（扭转） 2. 应力幅或（有时称为应力幅，为应力范围）注意：最大应力和最小应力均带正负号。

s smax =smin O t (b) 第六章动荷载·交变应力特例： r =0脉动循环（smin= 0）（图 a） r =1静应力（smax = smin）（图 b） (a) 对称循环： r = −1（例1）（smax =-smin）非对称循环：

第六章动荷载·交变应力 Ⅱ.金属材料的疲劳破坏疲劳破坏 ——金属构件在长期交变应力作用下所发生的断裂破坏。疲劳破坏的主要特征： (1)交变应力中的最大应力达到一定值，但最大应力小于静荷载下材料的强度极限甚至屈服极限，经过一定的循环次数后突然断裂; (2)塑性材料在断裂前也无明显的塑性变形; (3) 断口分为光滑区和粗糙区。

光滑区 粗糙区裂纹源第六章动荷载·交变应力疲劳破坏的过程: (1)疲劳裂纹的形成构件中的最大工作应力达到一定值时，经过一定的循环次数后，在高应力区形成微观裂纹——裂纹源。 (2)疲劳裂纹的扩展由于裂纹的尖端有高度的应力集中，在交变应力作用下，微观裂纹逐渐发展成宏观裂纹，并不断扩展。裂纹两侧的材料时而张开,时而压紧，形成光滑区。 (3)脆性断裂

第六章动荷载·交变应力 疲劳裂纹不断扩展，有效面积逐渐减小，当裂纹长度达到临界尺寸时，由于裂纹尖端处于三向拉伸应力状态，裂纹以极快的速度扩展从而发生突然的脆性断裂，形成粗糙区。 Ⅲ. 材料的疲劳极限 (1) 材料的疲劳极限试验表明：在同一循环特征下，交变应力中的smax越大,发生疲劳破坏所经历的循环次数N 越小，即疲劳寿命越短。反之smax越小，N 越大，疲劳寿命越长。经过无限次循环不发生疲劳破坏时的最大应力称为材料的疲劳极限。用sr表示，r代表循环特征。sr与材料变形形式，循环特征有关，用疲劳试验测定。

第六章动荷载·交变应力 (2)弯曲对称循环时，s-1的测定弯曲疲劳试验机一台，标准（规定的尺寸和加工质量）试样一组。记录每根试样发生疲劳破坏的最大应力smax和循环次数N。绘出smax－N曲线（疲劳寿命曲线），又称为 S－ N曲线（S代表正应力s 或切应力t）。40cr钢的smax－N曲线如图所示。可见smax降至某值后，smax－N曲线趋于水平。该应力即为s-1。图中s-1=590MPa。

s O N0=5×10 6 ~10 7 N 第六章动荷载·交变应力低碳钢：sb=400－500MPa 弯曲（s-1）b= 170 － 220 MPa 拉压（s-1）t= 120 － 160 MPa (3) 条件疲劳极限铝合金等有色金属，其s － N曲线如图所示，它没有明显的水平部分，规定疲劳寿命N0＝5×106－107 时的最大应力值为条件疲劳极限，用表示。

第六章动荷载·交变应力 (4) 构件的疲劳强度校核材料的疲劳极限是由标准试样测定的。构件的外形,尺寸,表面质量均可能与标准试样不同。一般采用有效应力集中系数Ks,尺寸系数es和表面加工系数b（均由图表可查）。对材料的疲劳极限进行修正得到构件的疲劳极限。即再把构件的疲劳极限除以安全因数得到疲劳许用应力。交变应力的强度条件为最大工作应力≤ 疲劳许用应力

第六章动荷载·交变应力 §6－5 钢结构构件及其连接的疲劳计算由于钢结构构件的焊缝附近存在残余应力，交变应力中的最大工作应力（名义应力）和残余应力叠加后，得到的实际应力往往达到材料的屈服极限ss，不能再按交变应力中的最大工作应力建立疲劳强度条件。试验结果表明，焊接钢结构构件及其连接的疲劳寿命由应力幅控制。

lgΔs lgΔs1 b 1 lgΔs2 lgN1 lgN2 lgN 第六章动荷载·交变应力 Ⅰ.常幅疲劳（应力幅为常量）在常温,无腐蚀环境下常幅疲劳破坏试验表明：发生疲劳破坏时的应力幅Ds 与循环次数N（疲劳寿命）在双对数坐标中的关系是斜率为−1/b，在lgDs轴上的截距为lg(a/b)的直线，如图所示。其表达式为（6－5a）或写成（6－5b）式中，b, a为有关的参数。

第六章动荷载·交变应力 引入安全因数后，得许用应力幅为（6－6）式中，C, b 是与材料、构件和连接的种类及受力情况有关的参数。钢结构设计规范中，将不同的受力情况的构件与连接分为8类（书表6－2）。表6－1中给出了Q235钢8个类别的C，b 值。疲劳强度条件为（6－7）

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