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関数抽象による 級数，べき級数，テーラー級数

関数抽象による 級数，べき級数，テーラー級数. series 数列の和（級数）. 抽象関数. 補助関数 として使用. 高階 関数. power-series べき級数. 補助関数 として使用. taylor-series テイラー級数. 例題．級数. 級数を求める高階関数 series 自然数 n ， 数 x ， 関数 f から (+ ( f 0) ( f 1) … ( f n)) 　　を求める n = 0 の時 n > 0 の時. まず，関数 series を定義している.

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関数抽象による 級数，べき級数，テーラー級数

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  1. 関数抽象による級数，べき級数，テーラー級数関数抽象による級数，べき級数，テーラー級数

  2. series 数列の和（級数） 抽象関数 補助関数として使用 高階 関数 power-series べき級数 補助関数として使用 taylor-series テイラー級数

  3. 例題．級数 • 級数を求める高階関数 series • 自然数 n，数x，関数 f から (+(f 0) (f 1) … (f n))　　を求める • n = 0 の時 • n > 0 の時

  4. まず，関数 series を定義している

  5. 次に関数 f2，f3を定義している (define (f2k) (* k k)) (define (f3k) (* k k k))

  6. これは， (series 3 f2) と書いて，nの値を 3， fの値を f2に設定 評価結果である「14」が 表示される　

  7. 高階関数の規約 (define (series n f) (foldr + 0 (map f (build-list (add1 n) (lambda (x) x))))) 高階関数は，関数を入力／出力とする 【規約】 ;; series : number (number->number) -> number 関数を入力・出力するときの記法

  8. 級数を求める高階関数 (define (series n f) (foldr + 0 (map f (build-list (add1 n) (lambda (x) x))))) • 入力 • 上限項の番号 nnumber • 数列の関数 term(number -> number) 例： make-even 4 series 出力は数 8+6+4+2+0= 20

  9. 例題．べき級数 • べき級数を求める高階関数 power_series • 自然数 n，数x，関数 g から (* (g 0)(expt x 0))　と(* (g 1)(expt x 1)) と…+(* (g n)(expt x n))　の総和を求める • n = 0 の時 • n > 0 の時

  10. 級数とべき級数 級数とべき級数では，何が同じで，何が違うか 級数 べき級数 g(n)の計算の際、 xの n乗も掛け合わせる • べき級数の g(i)・xiを f(i), g(n)・xnを f(n) と見ると，級数と同じ手順で，べき級数を計算できる

  11. 入力と出力 (g1 0), (* (g1 1) (expt 2 1)), (* (g1 2) (expt 2 2)), (* (g1 3) (expt 2 3)) の値の合計 2 3 g1 power_series 出力 入力 出力は数値 入力は２つの数値と 関数 power_seriesは，関数を入力とするような関数 = 高階関数

  12. Contract (規約) power-series 関数の Contract(規約) ;;power-series: number number (number->number) -> number 数 数 関数 入力：数 出力：数 数 出力 入力 「値としての関数」を扱う ときの規約の書き方

  13. べき級数 べき級数の第0項から第n項 【関数 power-series の規約，目的記述文，ヘッダ】 規約 • ;; power-series :number number • ;; (number -> number) -> number • ;; べき級数の第0項から第n項 • ;; (power-series 1 10 sqr) -> 385 • (define (power-series x n g) 目的記述文 例 ヘッダ 13

  14. べき級数 power_series 関数 • ;; power-series :number number • ;; (number -> number) -> number • ;; べき級数の第0項から第n項 • ;; (power-series 1 10 sqr) -> 385 • (define (power_series x n g) • (local ((define (power_term i) • (* (g i) (exptx i)))) • (series n power_term)))

  15. 定義の局所化 (local式) • ;; power-series :number number • ;; (number -> number) -> number • ;; べき級数の第0項から第n項 • ;; (power-series 1 10 sqr) -> 385 • (define (power_series x n g) • (local ((define (power_term i) • (* (g i) (exptx i)))) • (series n power_term))) べき級数の第 i 項は，数列の第 i 項に xの i乗を掛けたもの ⇒ そのような項の計算をする関数 power-termを，local 式を 　　使って，局所的に定義

  16. 定義の局所化 (local式) • ;; power-series :number number • ;; (number -> number) -> number • ;; べき級数の第0項から第n項 • ;; (power-series 1 10 sqr) -> 385 • (define (power_series x n g) • (local ((define (power_term i) • (* (g i) (exptx i)))) • (series n power_term))) 各項の和(級数)を求める本体式では，seriesを参照

  17. Local 式による定義の局所化 (define (power-series x n g) (local ((define (power-term i) (* (g i) (expt x i)))) (seriesnpower-term) ) ) xは，power-seriesの パラメータ iは，power-termの パラメータ 局所的に定義された関数の本体式では， 局所関数のパラメータ (この場合 i )　だけでなく， 外側の関数のパラメータ（この場合 x）も使える

  18. テイラー展開 テイラー展開：関数 fが，aの近傍で定義されていて，点 aで n階微分可能であるとき 関数が無限階微分可能な場合 　⇒テイラー級数 (剰余項(末尾項)が 0 に限りなく近づく) 三角関数や指数関数など様々な関数の級数表現が可能 ※a=0 のとき、級数をマクローリン級数（展開をマクローリン展開）というが，ここでは区別せず，a=0 のときもテイラー級数（テイラー展開）と書く

  19. べき級数とテイラー展開 べき級数とテイラー展開の違い べき級数 テイラー展開　（a=0のとき）　 各項の計算の際，n! や i! で割る • テイラー展開の項 g(k)/k! を, べき級数の g(k) と見るとべき級数と同じ手順で計算できることが分かる

  20. テーラ展開(例) 収束半径：∞ 収束半径：∞ 収束半径：∞ 収束半径：１ 収束半径：１

  21. テイラー展開(例) 収束半径：∞ 具体的関数の定義 (x10の項で計算打ち切り） (define (taylor-exp x) (local ((define (taylor-term i) 1)) (taylor-series x10 taylor-term)))

  22. Taylor-series の定義例 ;; taylor-series: number number (number -> number) -> number (define (taylor-series x n g) (local ((define (kaijou k) (cond [(=k0) 1] [else (*k (kaijou (-k1)))])) (define (taylor-term i) (/ (g i) (kaijou i))) ) (power-series x n taylor-term))) ２つの局所関数 本体式で，power-seriesを利用。

  23. テイラー展開(例) 収束半径：∞ 具体的関数の定義 (x10の項で計算打ち切り） (define (taylor-exp x) (local ((define (taylor-term i) 1)) (taylor-series x10 taylor-term)))

  24. Scheme処理系の実演 24

  25. DrScheme の使用準備 DrScheme の起動 実演では「Advanced Student」に設定 言語 → 言語の選択 → Advanced Student → 「実行」ボタン 25 25

  26. 実演．級数 級数（数列の和）を求める関数 series つまり series 3 f (f 0) (f 1) (f 2) (f 3) の和 入力は数(number)と 関数(number->number) 出力は数 ３乗を求める関数 cubeを，高階関数 sumに適用

  27. 実演１ • 「定義ウインドウ」で，次の関数定義を行う ;; series: non-negative-integer (non-negative-integer -> number) ;; -> number ;; sum up the first n numbers in the sequence f ;; (series 2 f2) = (+ (f2 2) (+ (f2 1) (f2 0))) (define (series n f) (foldr + 0 (mapf (build-list (add1n) (lambda (x) x))))) (define (fi) (*i i i)) • その後，次の式を「対話ウインドウ」で評価させる (series3f) (series 4f) (series 5f)

  28. 実演. べき級数 べき級数を求める高階関数 power-seriesを使って，簡単なべき級数 x + 2x2 + … + nxnを求めてみる

  29. 実演２の続き • 「定義ウインドウ」で，次を行いなさい (define (g1n) n) 2. その後，次の式を「対話ウインドウ」で評価させる (power-series2 3g1)

  30. 関数 series，power_series，g1 を定義している

  31. これは， (power_series 2 3 g1) と書いて，xの値を 2に，nの値を 3に，gの値を g1に設定 評価結果である「34」が 表示される　

  32. 実演．テーラ展開 －指数関数－ power_seriesを使い，指数関数のテーラ展開式にもとづいた exの近似値を求める べき乗にかかる係数は (define (exp_termi) (/ 1 (!i)))

  33. 実演の手順 • 次を「定義用ウインドウ」に入力後，実行ボタンを押す ;; series: non-negative-integer (non-negative-integer -> number) ;; -> number ;; sum up the first n numbers in the sequence f ;; (series 2 f2) = (+ (f2 2) (+ (f2 1) (f2 0))) (define (series n f) (foldr + 0 (mapf (build-list (add1n) (lambda (x) x))))) ;; power_series: number N (N -> number) -> number (define (power_series x n g) (local ((define (power_term i) (* (g i) (exptx i)))) (series n power_term))) (define (!k) (cond [(= k 0) 1] [else (* k (! (- k 1)))])) (define (exp-termi) (/ 1 (!i))) (define (taylor-expx) (power_seriesx 10 exp-term)) 前 と同じ kの階乗 power_seriesを使い，ex　を計算　(10項までの近似計算)

  34. 実演の手順 • その後，次を「対話ウインドウ」で評価させる (taylor-exp 0) (taylor-exp 1) (taylor-exp 2)

  35. (define (taylor-expx) (power_seriesx 10 exp_term)) taylor-exp での誤差 x10/10! の項まで計算 誤差：x11/11! 以降 taylor級数第10項までの計算→　確かに近似値 数値の先頭に #i → 限定的(inexact)表現(近似値)

  36. 実演．cos 関数のテーラ展開 power_seriesを使い，cos 関数のテーラ展開式に基づいた cos(x) の近似値を求める • 初項は第0項，奇数項の値は 0 と考える • kを iで割った余りは (remainder k i)

  37. cos 関数のテーラ展開 (define (cos-term k) (cond [(odd? k) 0] [(= (remainder k 4) 0) (/ 1 (!k))] [else (/ -1 (!k))])])) odd?関数は 奇数ならば true

  38. 実演の手順 • 次を「定義用ウインドウ」に入力後，実行ボタンを押す ;; series: non-negative-integer (non-negative-integer -> number) ;; -> number ;; sum up the first n numbers in the sequence f ;; (series 2 f2) = (+ (f2 2) (+ (f2 1) (f2 0))) (define (series n f) (foldr + 0 (mapf (build-list (add1n) (lambda (x) x))))) ;; power_series: number N (N -> number) -> number (define (power_series x n g) (local ((define (power_term i) (* (g i) (exptx i)))) (series n power_term))) (define (!k) (cond [(= k 0) 1] [else (* k (! (- k 1)))])) (define (cos-term k) (cond [(odd? k) 0] [(= (remainder k 4) 0) (/ 1 (!k))] [else (/ -1 (!k))])) (define (taylor-cosx) (power_seriesx 10 cos-term)) 前 と同じ kの階乗 10項までの近似計算

  39. 実演の手順 • その後，次を「対話ウインドウ」で評価させる (taylor-cos0) (taylor-cos0.2) (taylor-cos0.4) (taylor-cos0.6) (taylor-cos0.8)

  40. 実演．対数関数のテーラ展開 power_series関数を使い，対数関数のテーラ展開式に基づいた近似値を求める

  41. 対数関数のテーラ展開 (define (log-termk) (cond [(=k 0) 0] [else (/ (expt -1 (- k 1)) k)]))

  42. 実演の手順 • 次を「定義用ウインドウ」に入力後，実行ボタンを押す ;; series: non-negative-integer (non-negative-integer -> number) ;; -> number ;; sum up the first n numbers in the sequence f ;; (series 2 f2) = (+ (f2 2) (+ (f2 1) (f2 0))) (define (series n f) (foldr + 0 (mapf (build-list (add1n) (lambda (x) x))))) ;; power_series: number N (N -> number) -> number (define (power_series x n g) (local ((define (power_term i) (* (g i) (exptx i)))) (series n power_term))) (define (log-termk) (cond [(=k 0) 0] [else (/ (expt -1 (- k 1)) k)])) (define (taylor-logx) (power_series (- x 1) 10 log-term)) 前 と同じ 10項までの近似計算

  43. 実演の手順 • その後，次を「対話ウインドウ」で評価させる (taylor-log 1) (taiyor-log 1.2) (taylor-log 1.4) (taylor-log 1.6) (taylor-log 1.8)

  44. 補足説明事項

  45. 限定値(近似値) sin，cos，tan，log 等の実数についての関数は，コンピュータを使っても近似値しか求まらない コンピュータで計算/表現可能なデータは，範囲と精度に限りがある DrScheme の対話ウインドウ 数値の先頭に 「#i」 → 限定的(inexact)表現(近似値)

  46. 組込み関数 sin はもともと 結果を「近似値」として計算 どちらが 正確? 見易い? この「#i」は意図的な近似計算を指示 結果は「近似値」

  47. 課題

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