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簡介與使用說明. 針對九年一貫七年級幾何教材所整理的 授課內容 ， 有別於各出版社的解說過程，希望能引導、儘可能給予學生更合乎數學推論的真正「實測操作」。 『 數學的學習注重循序累進的邏輯結構 』 ， 這正是「 操作幾何 」努力的方向，. 使用說明： 這是 Power Point 2002 簡報檔，動畫表現還可接受， 按滑鼠左鍵或右鍵 便能持續進行， 有些補充說明或教學心得可參考 「備忘稿」 。 GSP 圖檔與執行程式 需與簡報檔放在同一資料夾。 【 連結 GSP 使用說明頁 】 「 操作幾何ｅ化講義 」的第二單元，編號： Geo_02. 簡要說明.
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簡介與使用說明 針對九年一貫七年級幾何教材所整理的授課內容，有別於各出版社的解說過程，希望能引導、儘可能給予學生更合乎數學推論的真正「實測操作」。 『數學的學習注重循序累進的邏輯結構』，這正是「操作幾何」努力的方向， 使用說明：這是 Power Point 2002 簡報檔，動畫表現還可接受，按滑鼠左鍵或右鍵便能持續進行，有些補充說明或教學心得可參考「備忘稿」。 GSP圖檔與執行程式 需與簡報檔放在同一資料夾。【連結GSP使用說明頁】 「操作幾何ｅ化講義」的第二單元，編號：Geo_02
簡要說明 利用「直接觀察」的結果與相似形的定義結合，再推論三角形的相似（SSS、AA）性質、三角形的平行線性質、作相似形的方法、…等。 放大縮小圖（相像）也認為是相似的一種，但其定義比相似形寬鬆，可由電腦繪圖的放大縮小功能對照兩者的差別。 在國中數學上的討論還是以最基本的平面圖形，即「三角形」與「四邊形」為主，知道平面上基本圖形的相似性質，就能推廣到較複雜或立體的圖形。
直觀的相似形-(1) 想想投影機、影子遊戲、電影、…等例子，通常它們都具備有光源、影片（實物）、影像三者。透過光源的照射，我們認為所看到的影像與影片（實物）是「相似」的。 但是：光源、實物、影像三者的位置該如何放置，才會產生我們認為的「相似」結果呢？ 「平行放置」所產生的影像才是我們認可的「相似形」。 影像 實物 光源 光源投射說明頁
直觀的相似形-(2) 可用以下幾個「直接觀察」瞭解相似形。 (1) 形狀相同，大小不同（但維持固定的比例）。 (2) 相似形可經由放大或縮小，得到全等的圖形。 (3) 相似形（整體相似），則對應的任何一小部分圖形 也會相似（部分相似）。 (4) 如果圖形所分割的任何對應部分都有同樣的相似程度 ，那當然也可以拼出整體相似的圖形。 你同意上述的說法嗎？當然，或許你還有其他的方法說明你認為的「相似形」。
相似形的意義-(3) 將直觀上的說法，改成「數學語法」。 簡單的平面圖形，如：三角形、四邊形、….等，可認為都是由「邊」與「角」組合而成，而對應的部分圖形所指的就是其中的對應邊或對應角。 由第(3)項直觀意義，可直接認為實物與相似形的對應邊倍率或說比例相同，數學語法稱為「對應邊成比例」。再者，想像實物與相似形可透過光源照射所得，回想之前提到的「平行放置」，則由平移可推得「對應角相等」。 結論Ⅰ：在平面上，兩圖形相似，則其所有的 「對應邊成比例，對應角相等」。
相似形的意義-(4) 將直觀上的說法，改成「數學語法」。 反之，由之前的第(4)項直觀意義，若兩個圖形所能分割的各個對應部分都有同樣的相似程度，即對應邊的比例相同且對應角相等（部分相似），則可拼出全部相似的圖形（整體相似）。 結論Ⅱ：若兩圖形的所有「對應邊成比例，對應角相等」 ，則兩圖形相似。 總結：圖形相似 ＜＝＞ 對應邊成比例，對應角相等。 【這也是用來檢驗、判斷有無相似的方法之一】
如圖，若 □ABCD與□EFGH 相似， 則 ＝ ＝ ＝ ， 且∠A＝∠E、∠B＝∠F、∠C＝∠G、∠D＝∠H 。 B F G A 反之，若 □ABCD與□EFGH 中， ＝ ＝ ＝ ， 且∠A＝∠E、∠B＝∠F、∠C＝∠G、∠D＝∠H ， 則 □ABCD與□EFGH 相似。 C E D H AB：EF CD：GH DA：HE AB：EF BC：FG CD：GH DA：HE BC：FG 相似形的意義-(5) 以四邊形為例，使用數學列式，再說明相似的意義。
放大圖與縮小圖 在使用影像軟體的經驗中，經常會將圖片放大或縮小，當然為了配合版面，可能橫向與縱向放大或縮小的比例並不一樣，但是都可稱為是原圖的放大圖或縮小圖。 不過，一來為了不使圖形失真，二來為了簡化問題得以容易解說，一般的放大圖與縮小圖都是在平面上討論，且指橫向與縱向（有兩個方向即可）均依相同的比例放大或縮小所得的圖形。 此時的放大縮小圖又稱之為「相似形」。
如何表示放大或縮小的程度？ 如何將放大或縮小的程度給予量化呢？ 我們認為最容易，也最方便的比較是「對應邊」。對應邊長越大，表示放大的圖形越大；對應邊長越小，表示縮小的圖形越小；而對應邊長相等，表示圖形全等。 即以對應邊的比例大小，來說明放大或縮小的程度。 例如：2倍放大圖，表示所有對應邊長都放大2倍的意思。實例中，如影印機、繪圖軟體的放大縮小倍率都是指對應邊的比例大小。又大小常與面積聯想，2倍放大圖，表示面積大小增加為原來的4倍。
相似形的遞移律 以三角形為例， 若 △ABC與△DEF 相似， △DEF與△PQR 相似， 則 △ABC與△PQR 也會相似。（怎麼推想呢？） 由第(2)項直觀意義，知道此三個三角形都可經由放大或縮小，得到全等的圖形，所以，三者彼此相似。 同理可知，全等也具有遞移律。 全等形與相似形的關係：兩圖形全等必定相似；反之，兩圖形相似不一定會全等。
b 乙 a a b kb 甲 ka ka kb 相似形的幾何量（周長與面積） 設矩形甲圖與乙圖是相似形。 若甲圖是乙圖的k倍放大圖；則乙圖是甲圖的1/k倍縮小圖。此時，甲圖的周長是乙圖的k倍； 甲圖的面積是乙圖的k2倍。反之，乙圖的周長是甲圖的1/k倍； 乙圖的面積是甲圖的1/k2倍。 甲周長＝k（a＋a＋b＋b）＝k×乙周長。 甲面積＝ka×kb＝k2×ab＝k2×乙面積。 相似形的周長比＝對應邊的比。 相似形的面積比＝對應邊平方的比。
四邊形（多邊形）的相似條件 以例子說明四邊形（多邊形）相似，必須同時合乎定義的兩個條件【對應邊成比例、對應角相等】，才會成立。 (1) 如圖的正方形與菱形，四個邊對應成比例，但是四個角 沒有對應相等，顯然不會相似。 (2) 如圖的正方形與矩形，四個角都是90度對應相等，但是 四個邊沒有對應成比例，顯然不會相似。
三角形的相似條件 僅有三個邊的三角形其相似條件可以少一些，並不需要同時合乎「對應邊成比例」與「對應角相等」兩大要件。發現只要檢驗出「對應邊成比例（SSS）」 或是「對應角相等AAA」那三角形就會相似。 【還有其他的相似條件，在八、九年級時才會說明。】 但是說明之前先要有「SSS唯一作圖」的先備知識，即給定三角形的三邊長，所作出的三角形，其形狀大小是無法改變的（唯一），這也是三角形具有「穩定性」的表現。 所以，若有兩三角形的三邊長分別對應相等，則可認為兩三角形是由給定的三邊長所作出，其形狀大小會一模一樣，是會全等的。
三角形的SSS相似性質 兩三角形的「對應邊成比例」，則此兩三角形相似。 考慮邊長為「2、3、4」與『4、6、8』的三角形， (1) 將「2、3、4」的邊長放大為「4、6、8」之後，(2) 發現與『4、6、8』的三邊長相同，表示兩者是全等的 三角形（ SSS唯一作圖）。(3) 推論是：「2、3、4」與「4、6、8」相似， 又知「4、6、8」與『4、6、8』全等，因為相似與全等 都具有遞移律，所以「2、3、4」與『4、6、8』相似。 相似 全等
兩三角形對應角分別相等，則可疊出右下方圖形，且因為∠B＝∠B1；∠C＝∠C1，所以 與 是平行放置的（沒有旋轉）。如同之前的投射說明，將重合的A與A1當作光源， 是實物， 是影像，則 △ABC與△A1B1C1是相似的。 B1 C1 B C A A1 B1C1 BC BC B1C1 三角形的AA相似性質 兩三角形的「對應角相等」，則此兩三角形相似。 問題：兩三角形只需要有兩個角對應相等就會相似了（why？）。
A 如圖，在△ABC中，直線L與 平行，且與 相交於D點，與 相交於E點，形成△ADE，則△ADE與△ABC相似。（想像光源投射，平行放置，產生相似形） L 因為△ADE與△ABC相似，所以對應邊成比例，即 ＝ ＝ 。 B C BC AC AB DE：BC AE：AC AD：AB 三角形的平行線性質-(1) D E 回顧：任作三角形一邊的平行線後，會產生「相似三角形」， 與「相似形的比例線段」。
反之，在△ABC中，若 ＝ ，則 。【有比例線段，產生平行線】 意即，只要能在一個角（∠A）的兩邊找到 ＝，則連接的 與 會互相平行（）。 BC DE A 驗證方法：先作出具有 ＝ 的圖形，再利用【整體相似部分相似】的拼圖過程來獲得結論，應該還算是滿直觀的操作模式，仔細聽懂不難。 E D C B DE//BC AD：AB AD：AB AE：AC AD：AB AE：AC DE//BC AE：AC 三角形的平行線性質-(2)
【先作出 ＝ 圖形】過A任作一直線，【先作出 ＝ 圖形】過A任作一直線， 作 ，則 ＝ ，且△AGD與△AHB相似。作 ，則 ＝ ，且△AGE與△AHC相似。所以，由遞移律可得 ＝ 。 【接著拼圖說明】兩個共邊且同樣相似程度的圖形可拼出整體相似圖形，即□ADGE（△AGD＋△AGE） 與□ABHC（△AHD＋△AGC）會相似。所以，□ADGE的部分圖形△DGE與□ABHC的部分圖形△BHC也會相似。在△DGE與△BHC中，因為 、 ，表示兩相似三角形的放大、縮小無關旋轉，所以第三邊也會平行，即 。 AG：AH AD：AB AE：AC AE：AC AG：AH AE：AC GE//HC DE//BC DE//BC GE//HC DG//BH AD：AB AD：AB DG//BH 操作說明篇-(2.1) A E D C B G H
相似形的作圖-(1) 光源投射法（利用部分相似拼圖，平行放大、縮小） 先選擇一個固定點當做光源，再連接光源至頂點的光源線。(1) 依照光源線的比例找到對應頂點，再將對應頂點依序 連接即可繪製完成。 (2) 或者，依照光源線的比例找到一組對應頂點之後，再 由頂點分別作各對應邊的平行線，與光源線的交點 即是對應頂點。
相似形的作圖-(2) 格線法（位置對應觀念，位置相同，大小不同） 如將格線也視為圖形的一部份，要繪製放大（縮小）圖時，只要將（方格）依照要求放大（縮小）之後，再依照相同的相對位置找到對應點，再連接對應邊即可。 (右2上4) (右2下3)
相似形的作圖-(3) 相似規（放縮尺） 利用「平行四邊形」的不穩定性，配合「三角形平行線的相似性質」，製造出可臨摹「相似形」的「相似規」。 相似的原理到九年級時應有機會說明。 在影印機不普遍的年代倒是常見到坊間販賣的放縮尺，大的有好幾節（使用多個平行四邊形連接）可伸縮。 參照「GSP圖檔」提供的簡單相似規。
比例式的計算 型如 a：b＝c：d 的算式稱為比例式。一定要會的計算化簡方法有三項，分別舉例說明： (1) 約分。例如：【4a：10b＝6c：15d】可約分成【2a：5b＝2c：5d】 或【2a：10b＝3c：15d】或【2a：2b＝3c：3d】 (2) 化為比值 轉換成方程式計算之。例如：【4：3a＝5：12】，則【4/3a＝5/12】 (3) 內項積＝外項積 轉換成方程式計算之。例如：【4：3a＝5：12】，則【3a×5＝4×12】
謝謝瀏覽歡迎建議與指教 ◎ 採用直觀操作（非測量）去理解幾何性質。就目前各 家版本的「豐富內容」，某些解釋也不得不借重「等 量公理」的概念（但還是很直觀的等量加減）。◎ 「直觀操作」與「推理證明」兩者可以相輔相成，在 八九年級時可引導將「操作」轉換成「推理證明」的 敘述。所以，本簡報檔也適用於九年級預習或複習。◎ 雖然九四學年度改版時七年級的幾何「消失了」，但 還是將自己被激發出來的的一些教學淺見提供予大家 分享，歡迎建議與指教，集思廣益下，會找到更好的 解說方式，也會有更理想的內容增減取捨安排。◎ 開放式的 PPT檔 可視您的需要自行加以增減修正， 謝謝您的瀏覽與指教。 結束
影像 實物 光源 光源投射說明頁 (1) 通常生活中是立體圖，實物三角與影像三角兩者相似， 或椎體相似（實物與影像當作底面）均可。 視為椎體時，就可只看側面的「部分相似」，正是使用 最多的「三角形的平行線產生相似形」。 (2) 直觀上，在投影片或「紙上」繪製變成了「平面圖」， 並不影響各項性質的討論。
GSP使用說明頁 (1) 右上角的「GSP」是放置在「投影片母片」，所以隨時 可以點選，按「最小化」立刻可回到 Power Point 。 「超連結」設定：Geo_02.gsp。 需用GSP程式開啟（V4.0版）。 (2) 可在 www.keypress.com/sketchpad/evaluation下載DEMO檔（有使用期限、不能存檔），但不影響圖檔的執行。 (3) gsp圖檔需與ppt檔放置同資料夾。若無法執行， 那請您先執行（安裝）GSP主程式或做「檔案關聯」。 (4) GSP圖檔內容請看「Geo_02.gsp」目錄頁。
