Download
1 / 18
180 likes | 268 Views
アルゴリズムとデータ構造. 2012 年 7 月 9 日 酒居敬一 ( sakai.keiichi@kochi-tech.ac.jp ) http://www.info.kochi-tech.ac.jp/k1sakai/Lecture/ALG/2012/index.html. グラフの定義 （２２５ページ）. グラフは頂点の集合と辺の集合からなる。 グラフには有向グラフと無向グラフがある。 グラフに対する、教科書４章の仮定。 ( ｖ , ｖ ) の形の辺（ＮＤＡの ε 遷移みたいなの）はない。 頂点ｕからｖへ結ぶ辺は高々１つ。
E N D
アルゴリズムとデータ構造 2012年7月9日 酒居敬一(sakai.keiichi@kochi-tech.ac.jp) http://www.info.kochi-tech.ac.jp/k1sakai/Lecture/ALG/2012/index.html
グラフの定義（２２５ページ） • グラフは頂点の集合と辺の集合からなる。 • グラフには有向グラフと無向グラフがある。 • グラフに対する、教科書４章の仮定。 • (ｖ, ｖ)の形の辺（ＮＤＡのε遷移みたいなの）はない。 • 頂点ｕからｖへ結ぶ辺は高々１つ。 • 辺の属性として数値を持つ場合、重みという。 • いくつかの辺をつないでできる経路は道。 • 有向グラフでは辺はすべて同じ向きをたどる。 • 頂点からその頂点自身への道は閉路。 • 木はグラフの一種。
グラフの定義（つづき） • 木が複数集まったグラフは森という。 • 木と木がつながっていなくてもいい。 • 頂点につながる辺の数を次数という。 • 有向グラフでは、入次数・出次数と区別する。 • 正則グラフでは全頂点の次数が同じ。 • このときの次数をグラフの次数とする場合がある。 • ハイパーキューブなど • グラフ全体を組織的に調べることを探索という。 • ただし、単に頂点を訪問するだけ、かもしれない。
グラフアルゴリズムの計算量 • 頂点数をｎとしたときの最大の辺の数ｍは、無向グラフでは有向グラフでは • 辺の数が最大のものを完全グラフという。 • 辺の数が０でもグラフである。 • 密なグラフか、疎なグラフか。 • 次数がある程度以下なら疎と考える。 • 「ある程度」とは、問題に依存する。 • ＣＣＣ（Ｃｕｄｅ Ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ Ｃｙｃｌｅ）なら次数は３。疎？ • 人工的なネットワークか、自然なネットワークか。
グラフの表現法（２３０ページ） • 隣接行列 • 頂点から頂点への接続の有無や辺の重みを持つ • 密なグラフにはいい • 配列やＬｉｓｔやＳｅｔやＭａｐによる表現 • 正則グラフなら配列 • 二分探索木のような順序木のグラフならＬｉｓｔ • 無向グラフならＬｉｓｔでもＳｅｔでもＭａｐでもいい • ＭａｐならＫｅｙを接続先の頂点、Ｖａｌｕｅを重みにするなど • 計算で求める • 配列上のヒープソートの、部分順序つき二分木 • スパコン内部ネットワークなど
0100 0101 1100 1101 0110 0111 1110 1111 0000 0001 1000 1001 0010 0011 1010 1011 4-dimentional binary hyper cube
深さ優先探索 （２３４ページ） Ａ Ｂ Ａ Ａ １ Ｃ Ｂ Ｂ ７ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ Ｄ ２ １ ６ Ｅ Ｆ ５ Ｅ Ｅ Ｇ Ｆ Ｆ 図４.３.２ ａ ３ ２ ５ ４ Ｇ Ｇ ４ 図４.３.２ ｂ ６ ３ • 木の辺（実線で表示） • 逆辺（点線で表示） • 連結グラフなら木が得られ、 そうでなければ森が得られる ７ 図４.３.３
public class Node<E> { private E value; // 頂点の値 private Collection<Node<E>> edges; // 有向辺 private boolean visited; private int sequence; private boolean searching; public Node(E value, Collection<Node<E>> edges) { this.value = value; this.edges = edges; reset(); } public void reset(){ this.visited = false; this.sequence = 0; this.edges.clear(); this.searching = false; } public E getValue() { // 頂点の値を得る。 return value; } public Collection<Node<E>> getEdges(){ return this.edges; } public boolean isVisited() { return visited; } public void setVisited(boolean v) { this.visited = v; } public int getSequence() { return sequence; } public void setSequence(int s) { this.sequence = s; } public boolean isSearching() { return searching; } public void setSearching(boolean s) { this.searching = s; } public void connect(Node<E> to){ this.edges.add(to); //無向辺を追加 if( !to.getEdges().contains(this) ){ to.getEdges().add(this); } } public void connectTo(Node<E> to){ this.edges.add(to); //有向辺を追加 } } グラフの頂点を表すクラス （4.3と4.4で使う）
private static Node<Character> nodeA = new Node<Character>('A', new LinkedList<Node<Character>>()); private static Node<Character> nodeB = new Node<Character>('B', new LinkedList<Node<Character>>()); private static Node<Character> nodeC = new Node<Character>('C', new LinkedList<Node<Character>>()); private static Node<Character> nodeD = new Node<Character>('D', new LinkedList<Node<Character>>()); private static Node<Character> nodeE = new Node<Character>('E', new LinkedList<Node<Character>>()); private static Node<Character> nodeF = new Node<Character>('F', new LinkedList<Node<Character>>()); private static Node<Character> nodeG = new Node<Character>('G', new LinkedList<Node<Character>>()); private static Collection<Node<Character>> test_data = new LinkedList<Node<Character>>(); static { test_data.add(nodeA); test_data.add(nodeB); test_data.add(nodeC); test_data.add(nodeD); test_data.add(nodeE); test_data.add(nodeF); test_data.add(nodeG); } public class DepthFirstSearch { private static <E> void visit(Node<E> node){ node.setVisited(true); System.out.print(node.getValue()); for(Node<E> neighbor: node.getEdges()){ if(neighbor.isVisited()) continue; // 訪問済み System.out.print(" -> "); visit(neighbor); } } public static <E> void search(Collection<Node<E>> graph){ for(Node<E> node: graph){ if(node.isVisited()) continue; // 訪問済み System.out.println(node.getValue() + "から探索します。"); visit(node); System.out.println(); } } } テストデータのうち、 グラフの頂点とその集合 深さ優先探索のプログラム
public static void main(String[] args) { System.out.println("図4.3.2"); for(Node<Character> node: test_data){ node.reset(); } nodeA.connect(nodeC); nodeA.connect(nodeD); nodeA.connect(nodeB); nodeC.connect(nodeE); nodeC.connect(nodeF); nodeD.connect(nodeB); nodeD.connect(nodeF); nodeE.connect(nodeG); nodeE.connect(nodeF); search(test_data); } public static void main(String[] args) { System.out.println("図4.3.3"); for(Node<Character> node: test_data){ node.reset(); } nodeA.connect(nodeC); nodeA.connect(nodeD); nodeA.connect(nodeB); nodeC.connect(nodeF); nodeC.connect(nodeE); nodeD.connect(nodeB); nodeD.connect(nodeF); nodeE.connect(nodeG); nodeE.connect(nodeF); search(test_data); } public static void main(String[] args) { System.out.println("図4.3.4"); for(Node<Character> node: test_data){ node.reset(); } nodeA.connectTo(nodeC); nodeA.connectTo(nodeD); nodeA.connectTo(nodeE); nodeC.connectTo(nodeB); nodeB.connectTo(nodeA); nodeD.connectTo(nodeC); nodeD.connectTo(nodeE); nodeF.connectTo(nodeA); nodeF.connectTo(nodeG); search(test_data); } 図4.3.2 Aから探索します。 A -> C -> E -> G -> F -> D -> B 図4.3.4 Aから探索します。 A -> C -> B -> D -> E Fから探索します。 F -> G 図4.3.3 Aから探索します。 A -> C -> F -> D -> B -> E -> G
Ａ Ａ Ｆ Ｆ • 上昇辺 子孫から祖先へ向かう辺 無向グラフでは逆辺 • 下降辺 祖先から子孫へ向かう辺 無向グラフでは逆辺 • 交差辺 上昇辺でも下降辺でもない辺 Ｂ Ｂ Ｇ Ｇ Ｅ Ｅ Ｃ Ｃ Ｄ Ｄ 図４.３.４ ａ 交差辺 １ 連結グラフとは、グラフ全体が つながっていること。無向グラフ では、深さ優先探索で全ての 頂点をたどる事ができれば連結 グラフである。 しかし、有向グラフでは必ずしも そうとはならない。 上昇辺 ６ ３ 下降辺 ７ ５ ２ ４ 図４.３.４ ｂ 交差辺
public class DirectedDepthFirstSearch<E> { private int sequence; private void visit(Node<E> node){ node.setVisited(true); node.setSequence(++this.sequence); node.setSearching(true); System.out.print(node.getValue()); for(Node<E> neighbor: node.getEdges()){ if(neighbor.getSequence() == 0){ System.out.print(" -> "); visit(neighbor); // 木の辺 } else if (neighbor.getSequence() > node.getSequence()) { System.out.print(" 下降辺(" + node.getValue() + ", " + neighbor.getValue() + ")"); } else if (neighbor.isSearching()){ System.out.print(" 上昇辺(" + node.getValue() + ", " + neighbor.getValue() + ")"); } else { System.out.print(" 交差辺(" + node.getValue() + ", " + neighbor.getValue() + ")"); }} node.setSearching(false); } public void search(Collection<Node<E>> graph){ this.sequence = 0; for(Node<E> node: graph){ if(node.getSequence() == 0){ System.out.println(node.getValue() + "から探索します。"); visit(node); System.out.println(); }}}} 有向グラフの深さ優先探索 （２４０ページ）
public static void main(String[] args) { System.out.println("図4.3.4"); for(Node<Character> node: test_data){ node.reset(); } nodeA.connectTo(nodeC); nodeA.connectTo(nodeD); nodeA.connectTo(nodeE); nodeC.connectTo(nodeB); nodeB.connectTo(nodeA); nodeD.connectTo(nodeC); nodeD.connectTo(nodeE); nodeF.connectTo(nodeA); nodeF.connectTo(nodeG); new DirectedDepthFirstSearch<Character>().search(test_data); } 図4.3.4 Aから探索します。 A -> C -> B 上昇辺(B, A) -> D 交差辺(D, C) -> E 下降辺(A, E) Fから探索します。 F 交差辺(F, A) -> G
トポロジカルソート （２４２ページ） • Ｔｏｐｏｌｏｇｙ は「位相」のこと。トポロジカルソートのときはこちら。 • Ｐｈａｓｅ も「位相」と訳せます。ベクタの位相はこちら。 たとえば、ベクターがあったとします。 大きさ０ 大きさを比較することは できますが、大きさが同じ だからといって同じベクター であるとは限りませんよね？ 大きさ２ 大きさ5 全要素間で順序がつけられる → 全順序関係 一部の要素間に順序がつけられる → 半順序関係 同じだけど同じじゃない、というのは順序がつけられて ません。そういうデータは、ＤＡＧで保持することができる。 図4.3.6 ＤＡＧ （Ｄｉｒｅｃｔｅｄ Ａｃｙｃｌｉｃ Ｇｒａｐｈ）
幅優先探索 （２４４ページ） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ １ Ａ ４ Ｅ Ｂ Ｆ ２ Ｇ Ｃ Ｄ 図４.３.２ ａ ３ ５ Ｅ ６ Ｆ ７ Ｇ 図４.３.７
public class BreadthFirstSearch { public static <E> void search(Collection<Node<E>> graph){ Queue<Node<E>> queue = new LinkedList<Node<E>>(); // FIFO for(Node<E> node: graph){ if(node.isVisited()){ continue; // 訪問済み } queue.add(node); // enqueue node.setVisited(true); while( !queue.isEmpty() ){ Node<E> next = queue.remove(); // dequeue System.out.print("頂点" + next.getValue()); for(Node<E> neighbor: next.getEdges()){ if( neighbor.isVisited() ){ continue; } queue.add(neighbor); // enqueue neighbor.setVisited(true); System.out.print(" 辺(" + next.getValue() + ", " + neighbor.getValue() + ")"); } System.out.print(" -> "); } System.out.println(); } } }
public static void main(String[] args) { System.out.println("図4.3.7"); for(Node<Character> node: test_data){ node.reset(); } nodeA.connect(nodeC); nodeA.connect(nodeD); nodeA.connect(nodeB); nodeC.connect(nodeE); nodeC.connect(nodeF); nodeD.connect(nodeB); nodeD.connect(nodeF); nodeE.connect(nodeG); nodeE.connect(nodeF); search(test_data); } 図4.3.7 頂点A 辺(A, C) 辺(A, D) 辺(A, B) -> 頂点C 辺(C, E) 辺(C, F) -> 頂点D -> 頂点B -> 頂点E 辺(E, G) -> 頂点F -> 頂点G ->
public class DepthFirstSearchStack { public static <E> void search(Collection<Node<E>> graph){ Stack<Node<E>> stack = new Stack<Node<E>>(); // LIFO for(Node<E> node: graph){ if(node.isVisited()){ continue; // 訪問済み } stack.push(node); // push node.setVisited(true); while( !stack.empty() ){ Node<E> next = stack.pop(); // pop System.out.print("頂点" + next.getValue()); for(Node<E> neighbor: next.getEdges()){ if( neighbor.isVisited() ){ continue; } stack.add(neighbor); // push neighbor.setVisited(true); } System.out.print(" -> "); } System.out.println(); } } } ＢｒｅａｄｔｈＦｉｒｓｔＳｅａｒｃｈのＦＩＦＯ（リスト）を ＬＩＦＯ（スタック）に変えたもの。 この変更により、幅優先探索だったプログラムが 深さ優先探索プログラムになる。 （２４７ページ）
