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例 . 非均匀分布立体的质量

第二节　三重积分. 一、三重积分的概念及性质. 例 . 非均匀分布立体的质量. 　　设有空间立体  , 当  的质量是均匀分布时 , 则 的质量 M=  的体密度 ×  的体积. 　　若  的质量不是均匀分布的 , 则不能上述方式算质量 M. 　　设空间立体  . 其质量非均匀分布 , 体密度  ( x , y , z ) 连续 , 求的质量 M. (i) 将 分成 n 个小立体  1 ,  2 ,…,  n ,. 记  V i 表示的  i 的体积 , i = 1, 2, …, n.

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例 . 非均匀分布立体的质量

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Presentation Transcript

  1. 第二节　三重积分 一、三重积分的概念及性质 例.非均匀分布立体的质量 　　设有空间立体, 当的质量是均匀分布时, 则的质量M= 的体密度× 的体积. 　　若的质量不是均匀分布的, 则不能上述方式算质量M . 　　设空间立体. 其质量非均匀分布, 体密度  (x, y , z)连续, 求的质量 M.

  2. (i) 将分成 n个小立体1, 2,…, n , 记 Vi 表示的i 的体积, i = 1, 2, …, n. 　　由于 (x, y , z)连续, 从而当i很小时, 　　在i上 (x, y , z) 的变化不大. 可近似　　看作不变.

  3. (ii) 即, ( i , i , i) Di , 以 ( i ,  i , i)作为i 的体密度. 从而, i的质量 mi  ( i , i , i) Vi (iii) 因此, 的质量 (iv)

  4. 定义1 设R3为有界闭区域, f (x, y, z)是定义在上的有界函数. 　　　　　将任意分成 n个无公共内点的小区域 i, (i =1, 2, …, n), 用Vi表示i的体积. 并记 如果对任意的分法和任意的取法, 当 0时, 和式 则称 f (x, y, z)在 上可积, 记为f (x, y, z)R(),

  5. 并称此极限值I为f (x, y, z)在上的三重积分, 记作 即 其中 “  ” 称为三重积分号, 称为积分区域, f (x, y, z)称为被积函数, dv称为体积元素, 三重积分也记为

  6. 　　三重积分的性质与二重积分性质完全类似, 比如若 f (x, y, z)在上连续, 则 f (x, y, z)在上可积;常数因子可从积分号中提出来; 和的积分等于积分之和;积分的可加性; 积分的保号性; 积分中值定理等.

  7. z z2 = z2(x,y) z1 = z1(x,y) 0 y a b Dxy x 二、三重积分的计算 1.直角坐标系下三重积分的计算. 　　类似于二重积分, 三重积分可化为三个定积分计算(三次积分). 设是R3中一母线平行于z轴, 上, 下底分别为 z = z2(x, y), z = z1(x, y)的柱体. 在xy面上的投影区域记为Dxy . 如图

  8. 为x—型区域) z z2 = z2(x,y) z1 = z1(x,y) 0 y a b Dxy x 则 y=y2(x) y=y1(x)

  9. 即为y—型区域. 则 应用时先画出的草图, 看 z 是从哪一曲面变到哪一曲面. 确定最里层积分上, 下限. 然后到Dxy上作二重 积分. 口诀:从里到外, 面—面, 线—线, 点—点.

  10. 注：1. 当是一柱体, 但侧面的母线平行于 y轴, 　　　它在xz面上的投影区域为Dxz, 　　　　　　　　　　　　则可选择先对 y积分, 然后到Dxz上作二重积分. 2. 当是一柱体, 但侧面的母线平行于 x轴, 　它在yz面上的投影区域为Dyz, 则可选择先　对x积分, 然后到Dyz上作二重积分.

  11. 3. 当的母线退缩成一点时, 此时不是柱体. 但作三重积分时, 仍可将其当作前面情形的特殊情形来处理, 比如. : x2 + y2 + z2 1. 则 Dxy : x2 + y2 1.

  12. z 1 x+ y+z=1 0 Dxy 1 y x+ y=1 1 x 例1. y = 0, z = 0 和 x+y+z =1所围成的四面体. 解: 沿 z轴方向,下方曲面: z=0, 上方曲面: z = 1 x  y. 在xy面上的投影区域为 Dxy : 0  y1x, 0  x1.

  13. 类似,

  14. z 1 0 y x 例2. 解: 若先对 z积分, 由于沿 z轴方向的下方曲面和上方曲面均由两片曲面组成, 且在xy面上投影区域相对复杂. 积分较繁. 改为先对 y积分.

  15. z 1 0 y x 沿 y轴方向, 求在xz面上的投影区域Dxz . 消去 y , 故 Dxz :

  16. 注意, 由于先对 x , 再对 y, 再对 z的积分 里面的两个定积分(二次积分)本质上就是一个二重积分, 　　　　　因此, 在很多情形下可先做一个二重积分, 再做一个定积分, 称为“先二后一”的积分, 相应地称前面的方法为“先一后二”的积分.

  17. z  C1 Dz z C2 0 y x 　　设空间有界闭区域  满足C1  z C2, 并且以平行于 xy面的平面 z = 常数(z) 截  所得平面区域为Dz , 则 (特别, 若 f (x, y, z) = g (z))

  18. 例3. 解: : c  z c, (x, y)Dz, z Dz c  0 y c x

  19. 椭圆面积为ab.

  20. 　　　　　　　　　　　　设有界闭区域的形状关于xy面对称,　　　　　　　　　　　　设有界闭区域的形状关于xy面对称, 关于利用对称性积分. 且 f (x, y, z) =  f (x, y, z), 若 f (x, y, z) = f (x, y, z), 其中 1是中处于xy面上方部分.

  21. (2)不积分, 其中为单位球 x2+ y2 + z2 1. 　　类似可得关于xz面对称, 而 f (x, y, z) 关于y是奇, 偶函数的结论, 　　　　　　　　　以及  关于 yz 面对称, 而 f (x, y, z) 关于x是奇, 偶函数的结论. (1)若  关于平面 y=x 对称, 则 f (x, y, z) 满足什么　条件时,有上述两个结论?

  22. 2.三重积分换元法. 定理1 　　设变换T: x=x(u, v, w), y=y(u, v, w), z=z(u, v, w)将 *变到, 且函数x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)C1(*), 雅可比行列式

  23. 例4.设：x2+y2+z21. z  0, 1是中在第一 卦限中的部分,证明 证：由对称性知 ? 问：是否有 我们知道, 在定积分中, 但在二, 三重积分中, 这一结论一般不对, 不过, 当满足某些条件时, 结论成立。

  24. 1：x2+y2+z2≦1, x≧0, y≧0,z≧0. 令x=y , y=z, z=x. 则 作变量代换, 1*：y2+z2+x21, y  0, z  0, x  0, 即1*＝ 1 故

  25. 故 　　一般,若在的表达式中,以y代x,以z代y,以x代z后, 的表达式不变(即具有“轮换性”), 则 (教材P89,第三行结论可由此证明)

  26. z M＝(x, y, z) o y r  P=(x, y, o) x 3.利用柱面坐标求三重积分. 　　设点M = (x,y, z) R3,它在xy面上的投影点为P=(x, y, o) 　　显然,任给一点M,可唯一确定点P和竖坐标z ,反之,在xy面上任给点P和数z,可唯一确定M. 因点P可用其极坐标确定, 故M可由P的极坐标r , 以及z唯一确定,称为柱面坐标.

  27. 　　点M的直角坐标(x, y, z)和它的柱面坐标(r, , z)的关系为：x=r cos , y=r sin , z=z,其中0r <+, 0 2 (或    )  <z<+ . 易见, 在柱面坐标中, x2+y2=a2 化为 r=a (a>0) 　　　　　　　　　　　　　　所以在柱面坐标中 r = 常数,则在直角坐标系中的图形为圆柱面, y = kx 化为 tg = k即,  = 常数. 而=常数,则在直角坐标系中的图形为过z轴的平面, z=常数为平行于xy面的平面.

  28. 　　设变换T：x= rcos, y= r sin , z=z将柱面坐标系中的区域*变成直角坐标系中的区域, 易算得 从而

  29. 　　一般,若是一母线平行于z 轴的柱面, z1(x, y) z  z2(x, y), (x, y) Dxy, 在 xy 面上的投影区域 Dxy 适合用极坐标处理 (如圆,曲边扇形等), 　　　　　　　　　　　　　　　并可将其化为先对z, 再对r, 再对的三次积分(即先对z积分,然后在Dxy上用极坐标做二重积分). 则可考虑用柱面坐标求三重积分.

  30. 其中：x2+y2+z2  1, 且z0. 例5.计算 解：是上半球体,它在xy面上的投影区域是单位　　　圆x2+y2≦ 1. 令 x=rcos, y=rsin , z=z, 则平面 z = 0 和球面 即0 z 且0  r 1, 0  2,

  31. z x2+y2=2z 2 y o x2+y2=4 或 r=2 x 且 z 2, 0 r2, 0 2. 　　　　　　　　　　　其中由x2+y2=2z及z=2所围成. 例6.求 解：一般,若的表达式中　　含有x2+y2,则可考虑用　　柱面坐标积分. 令x=rcos, y=rsin, z=z,

  32. 　　注：常用的二次曲面有, 球面, 椭球面, 柱面. a(x2+y2)=z(旋转抛物面), ax2+by2=z(椭圆抛物面), a2(x2+y2)=z2(圆锥面).

  33. M＝(x, y, z) z R3中的点M =(x, y, z)与向量OM一一对应.   o 而OM又是由其长度和其方向唯一确定. y r  x P=(x, y, o) 为确定OM的方向,记 为OM在xy面上的投影与x轴正向的夹角(与柱面坐标中 相同), 　　　　　　　　　　　　　　　为OM与z轴正向夹角, 记||OM||= , 4. 利用球面坐标计算三重积分. 　　　　则当OM的方向确定时, ,  唯一确定, 反之亦然. 故M与数组( ,,)一一对应.

  34. M＝(x, y, z) z   o y r  x P=(x, y, o) 称(, , )为点M的球面坐标, 规定0   <+ , 0    , 0  2 (或   ) 由图知,直角坐标与球面坐标的关系为x=rcos= sin cos, y= rsin = sin sin, z= cos. 用球面坐标,可将x2+y2+z2=a2化为=a(a>0)， 将圆锥面a(x2+y2)= z2化为=常数, 将y=kx化为 =常数. 即=常数,=常数=常数分别表球面, 圆锥面, 过 z轴的半平面.

  35. 易算得 注：本教材用字母r表示.即x=rsincos, y=r sinsin, z= rcso.(此处r与柱面坐标中的r意义不同). 　　若变换T: x=rsincos, y=rsinsin, z=rcos将*变到, 从而 右端一般化为先对r,再对,再对 的三次积分.

  36. 　　确定r, , 的变化范围的方法(与用极坐标算二重积分类似) 　　　　　　　　其球面坐标方程为r=r1(, ), r=r2( , ). (1) 若由两曲面围成, 　　　　　以原点为起点作向量穿过,先遇到的曲面为r=r1(, ), 后遇到的曲面为r=r2( , ), 则r1( , ) rr2( , ). 　　　　　　　　　　　, 的变化范围要由其几何意义视具体情况确定.

  37. (2)若原点在的边界上,以原点为起点所作的穿　过的向量只遇到一片曲面,其球面坐标方程　　为r = r( , ), 　　　　　　　　　　　　　,  的变化范围可根据它们的几何意义,视具体情况确定. 则0 r  r( , ), (3)若包含原点,围成的曲面方程为r = r(, ), 　则0 rr( , ), 0 , 02.

  38. z   0 y x 例7.求由半径R的球面x2+y2+z22Rz=0和半顶角　　为的圆锥面ctg2(x2+y2)=z2围成的立体的　　体积V,其中位于圆锥面上方,球面下方. 解:　　　　的体积V,用球面坐标求这个三重积分. 令x=rsincos, y=rsinsin, z= rcos. 则

  39. z   0 y x x2+y2+z22Rz=0的球面坐标方程为r22Rrcos =0, 即: r=2Rcos , ctg2(x2+y2)=z2的球面方程为ctg2(r2sin2cos2+ r2sin2sin2) =r2cos2, 即:  =. 由前面的(2)及的形状知, 0r2Rcos,0, 因在xy面投影区域为圆, 故02..

  40. 的体积 　　一般,若的表达式中含x2+y2+z2,则可考虑用球面坐标.

  41. z r=b r=a a 0 b y x 例8.计算 解: 的表达式中含x2+y2+z2,　　可用球面坐标求积分. 令 x = r sin cos, y=rsinsin, z=rcos.则 且两球面方程分别为r=b和r=a,(a<b).

  42. z r=b r=a a 0 b y x 由上面的(1)及的形状知,arb,0 , 02.

  43. z y 0 x 例9.求椭圆球体: 的体积V, a, b, c, 大于0. 解: 令 (广义球面坐标) 可得 椭圆球面方程为r=1 且0 r1, 0 , 02..

  44. 一般,(1)若的表达式中含x2+y2,可考虑用柱面坐标积分.一般,(1)若的表达式中含x2+y2,可考虑用柱面坐标积分. 比如,球面与圆柱面,球面与旋转抛物面,但不绝对. (2)若的表达式中含x2+y2+z2,可考虑用球面坐标. 比如,球面与圆锥面,但不绝对.

  45. 　　　　　　　　　　　　　　　　　因此它是一个型的极限问题, 可用罗必塔法则求. 例10.设f (u)可导, 且 f (0) = 0, 求 解:这是一个极限问题, 分母趋于0. 另外, 当 　　　(球)的半径 t 0时, 分子也是趋于0的. 注意到分子是一个三重积分, 在一定的条件下可化为三个是积分之积, 故先化三重积分.

  46. (罗彼塔法则) 故　原式= (注意 f (0) = 0)

  47. 即以平面 ax+by+cz = 0的单位法向量　作u轴, 以平面ax+by+cz = 0上两个互相垂直的单位向量分别作v轴和w轴, 对xyz坐标系作正交变换. 例11.设 f (u) 连续, 证明 证:

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