数学物理方法概论

1. 数学物理方法概论 之——（格林函数） • 主讲教师：白璐 • 联系电话：15291456996 • Email: blu@xidian.edu.cn • http://web.xidian.edu.cn/bailu

2. 第四章 格林函数 格林函数在电磁场理论中有广泛的应用，本节将在线性空间的框架下，建立格林函数的定义和应用分析。 事实上，希尔伯特空间中的S-L系统（微分算子方程）与积分算子之间有着密切的联系，从这个联系中我们可以引入格林函数的定义，同时，利用这些格林函数，也就将微分方程的表述转化为积分方程，进而得到问题的求解。

3. 第四章 格林函数 1、 点源函数法回顾； 2、 格林函数的引入； 3、 格林函数与函数； 4、 一维格林函数； 5、 三维格林函数； 6、 格林函数在电磁学中的应用； 7、并矢格林函数

4. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 经典的格林函数方法在力学、电磁场理论中有广泛的应用。 从点源的概念出发（如质点、点电荷、点热源 等），根据叠加原理，通过点源场的有限积分来得到任意源的场。 这种求解数学物理方程的方法即经典的格林函数法，又称为点源函数法或影响函数法。

5. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 4.1.1 格林函数法的回顾 首先，找到一个点源在一定边界条件和初值条件下所产生的场或影响，即点源的影响函数（格林函数）；然后，由于任意分布的源总可以看作是许许多多这样的点源的叠加，利用场的叠加原理，对格林函数在整个源域上积分，即可得到任意源的场，这就是格林函数法的主要思想。 回顾内容包括： 1、点源函数的性质； 2、格林函数的一般求法（电像法）等； 3、格林函数求解边值问题的途径。

6. Z M O Y X §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 例如：空间中，静电荷产生的电势问题， 电荷源 电荷密度 空间M处的电势满足泊松方程： 实际上：由静电学可知，位于 点的单位正电荷在r处的电势为

7. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 根据迭加原理，任意电荷分布的电势为： 表明：上方程的求解，可以通过以下思想获得： 1）找到一个点源在一定边界或初值条件下的场—即格林函数（或称点源函数，影响函数） 2）根据线性迭加原理，将各点源的场迭加起来，得到一般源的场—即通过有限积分表示原问题的解。 ——格林函数法（点源法）

8. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 从以上例题的分析可见，格林函数法的主要特点是： 1）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和边界条件的局限）， 2）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表示，物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解问题； 3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可以算出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就转换为关键是求解点源的相对简单的问题。

9. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 4.1.2 函数

10. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 2、定义 —— 函数 更普遍的定义为

11. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾

12. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾

13. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 3、三维 函数 其中 为三维 函数 且具有性质： 这表明，高维函数等于一维情况的乘积，由此，高维函数 也具有一维函数的所有的性质。

14. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾

15. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 4.1.3泊松方程的边值问题 一、泊松方程的基本形式 其中， 为不同时为零的常数。为了得到定解问题(1)(2) 的解的积分表达式，首先引入格林公式

16. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 二、格林公式 化为体积分 此式称为

17. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 此式称为

18. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾

19. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 三、积分公式——格林函数法 目标：求解

20. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 (3) 由于 其中 为M与M0之间的距离

21. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 这里G就相当于格林第二公式中的v 若能由此式化简整理得到u(M),则一定是方程（1）的解

22. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾

23. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾

24. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 负号来自内小球面的法向与矢径方向相反

25. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 上式的物理意义很难解释清楚，右边第一项，G(M,M0) 代表M0点的点源在M点产生的场，而h (M)代表的却是M 点的源。 注意到格林函数的对称性： 将上式中的G(M0,M)用G(M,M0)代替且，将M和M0在公式 中互换，可得

26. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 （4）

27. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 物理意义： （1）右边第一项积分代表在积分区域 中体分布源h(M0)在M点产生的场的总和； （2）右边第二、三积分项则是边界上的源所产生的场。这两种影响都是由同一格林函数给出的。 上式给出了泊松方程解的积分表达，但由于G(M,M0)未知 且不同边值条件也需做进一步的分析。

28. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 2、泊松方程边值问题的积分公式 (A)第一类边界条件 由 边界条件变为 基本公式变为 只要G(M,M0)，满足定解问题，则上式u (M)就都为已知量表示

29. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 G(M,M0)所构成的定解问题即 下式称为泊松方程的狄氏问题 满足狄氏问题的格林函数，简称为狄氏格林函数。 ——狄氏积分公式

30. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 (B)第二类边界条件 由 边界条件变为 基本积分公式变为 但此式不存在，因为 在第二类 齐次边界条件 下无解。

31. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 从物理上看，其意义十分明显。方程 可看成稳定的热传导方程在M0点有一个点热源，而边界条件 表示在边界上是绝热的，由于边界绝热，从点源出来的 热量，会使体积内的温度不断升高，而不可能达到稳定状态。 显然，为了解决这一矛盾，或者修改格林函数所满足的方程 使之与边界条件 相容， 这就要引入所谓的广义格林函数方程；或者修改边界条件使之 与格林函数所满足的方程相容，这里不再详细讨论。

32. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 (C)第三类边界条件 若要求G(M,M0)满足第三类的齐次边界，即 则当G(M,M0)乘 ，以u(M)乘上式再相减，得 代入基本积分公式，得

33. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 由上面的讨论可见，在各类非齐次边界条件下解泊松方程 可以先在相应的同类齐次边界条件下解格林函数所满足的方程 再通过基本积分公式得到 u (M)。 1)格林函数的定解问题，其方程形式比原泊松方程简单，且 边界条件又是齐次的，因此求解相对容易。 2)且不同泊松方程的非齐次项h(M)和边界条件中的不同g(M)， 只要属于同类边值问题，函数G(M,M0)都相同。这就将泊松方 程的边值问题化为几种类型边界条件下求解格林函数的问题。

34. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 4.1.4格林函数的一般求法 一、无界空间的格林函数 基本解 从前讨论可知，确定了G，就能利用积分表达式求得 泊松方程边值问题的解。但一般求解G，并非易事。 只有某些特殊情况下，比较容易求出。 无界区域的格林函数G0, 又 称为相应方程的基本解。 将一般边值问题的格林函数G分为： 对于三维泊松方程，基本解G0满足 G1则满足相应的齐次方程(拉普拉斯方程)

35. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 及相应的边界条件，例如在第一边值问题中， 从而有 拉普拉斯方程的边值问题的求解是熟知的，至于方程 它描述的是点 的点源在无界空间产生的稳定场。以静电场为例，它描述在点 电量为 的点电荷在无界空间中所产生电场在 点的电势，即 类似的对于二维泊松方程，可用平面极坐标求得其基本解G0满足

36. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 二、用电像法求格林函数 考虑物理问题，设有一接地导体球内的 点放置一电量 为 的点电荷。则球内电势满足泊松方程 边界条件为 此处G便是泊松方程第一边值问题的格林函数。从电磁学知 在接地导体球内放置电荷时，导体球面上将产生感应电荷。因此，球内电势应为球内电荷直接产生的电势与感应电荷所产生的电势之和。可将G写为 其中G0是不考虑球面边界影响的电势，G1是感应电荷引起的

37. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 由前面的讨论可知，G0满足 从而G1满足 以及边界条件 这样G0就是基本解， G1则可以由 及上式的边界条件用分离变量法得到。 但这样得到的解往往是无穷级数。以下介绍另一种方法即 电像法，用电像法可以得到有限形式的解。

38. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 电像法的基本思想： 用一设想的等效点电荷来代替所有的感应电荷，于是可求得G1的类似于G0的有限形式的解。显然，这一等效的点电荷不能位于球内，因为感应电荷在球内的场满足 即球内是无源的。又根据对称性，这个等效电荷必位于OM0的延长线上的某点M1，记等效电荷的电量为 q，其在空间任意点M引起的电势为 若将场点取在球面P点，则若 则 相似，从而

39. §4 格林函数 §4.1 点源函数法回顾 因此若取 ，则球面上的总电势为 正好满足 这个设想的位于M1点的等效点电荷称为 M0点点电荷的电像。这样，球内任一点 的总电势是 其中

40. §4 格林函数 §4.2 格林函数的引入 在希尔伯特空间中的S-L系统（微分算子方程）与积分算子之间有着密切的联系，从这个联系中可以引入格林函数的定义，同时，利用这些格林函数，可将微分方程的表述转化为积分方程，进而得到问题的求解。 4.2.1 格林函数的引入 注意到积分算子方程： 其中K是积分算子，如果定义为

41. §4 格林函数 §4.2 格林函数的引入 而 是一个积分算子的核，当这个核来自于包含微分算子方程的解时，被称为微分算子在相应边界条件下的格林函数，记为： 它是服从边界条件 的系统相对应于 的格林函数。 为赫维赛函数： 由此，根据微分积分方程的关系，可以引入格林函数，事实上，可以仿照以上方法，构造不同边界条件下的格林函数。

42. §4 格林函数 §4.2 格林函数的引入 例：方程 在边界条件 下的解为 因此，可以引入格林函数 作为算子 在本问题边界条件下的格林函数。

43. §4 格林函数 §4.2 格林函数的引入 同样这个方程，改变边界条件为 时 方程的解为 因此，根据格林函数的定义有 即：

44. §4 格林函数 §4.2 格林函数的引入 可见：1、边界条件对格林函数的形式影响很大； 2、格林函数的对称性与边界条件有关，后一个边界下是对称的，满足 事实上，格林函数的对称性与算子的厄米性密切相关。 4.2.2 格林函数的对称性 若算子L对任意函数 f 和 g 有 则L是对称的，即自伴算子。 在给定边界条件下，正因为微分算子的对称性，格林函数也具有对称性。

45. §4 格林函数 §4.2 格林函数的引入 4.2.3 微分方程与积分方程 显然，在 ，通过格林函数，可以把微分方程转化为积分方程，从而使问题简化。这种作用是通过将微分算子转化为以格林函数为核的平方可积的积分算子，这种平方可积类型的核具有许多很好的性质，可以把任何有界函数的无穷序列变成一个包含有平均收敛子序列的序列，容易和矩阵理论相结合，使问题容易求解。

46. §4 格林函数 §4.2 格林函数的引入 若需求解 它不能直接积分求解，在此意义下它才是真正的微分方程。 积分号下包含有未知函数的方程称为——积分方程 类似的，对 其中 可得相应的积分方程

47. §4 格林函数 §4.3 格林函数与函数 1、格林函数的本征表述 设有算子方程 不妨设L具有一个正交完备的本征函数集合 ，即有 则将解y 和已知函数f 都表示为 代入算子方程，有

48. §4 格林函数 §4.3 格林函数与函数 即 由于 线性无关，因此 所以 注意，这里的 ，并且假设对所有的n 有

49. §4 格林函数 §4.3 格林函数与函数 可得： 因此 格林函数的本征函数表达式为 是实数，算子L是厄米的，则格林函数是对称的 。

50. §4 格林函数 §4.3 格林函数与函数 例： 求在区间[0,1] 内，算子 对应的格林函数的本征函数表示。 解： L的端点值为零的归一化的本征函数是 本征值是 故格林函数为 它一致收敛于一个连续函数，即前边所给的