1 / 45

Obserwowalność

Obserwowalność. System dyskretny. System ciągły. Obserwowalność określa możliwość jednoznacznego określenia stanu początkowego systemu w oparciu pomiary przez skończony przedział czasu sygnałów wejścia i wyjścia.

yannis
Download Presentation

Obserwowalność

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Obserwowalność System dyskretny System ciągły Obserwowalność określa możliwość jednoznacznego określenia stanu początkowego systemu w oparciu pomiary przez skończony przedział czasu sygnałów wejścia i wyjścia Znaczenie: znajomość stanu początkowego i wejścia systemu pozwala zrekonstruować całą trajektorię stanu w oparciu o równania stanu

  2. Systemy ciągłe Obserwowalność stanu Stan obserwowalny Stan systemu liniowego jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście dla chwil ze skończonego przedziału, Jeżeli każdy stan jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie obserwowalny lub krócej obserwowalny

  3. Obserwowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego Twierdzenie OSC LS1 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności, nazywana macierzą obserwowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu

  4. Wymiar macierzy sterowalności: nqxn; n – wymiar stanu, q – wymiar wyjścia Dla q=1 macierz obserwowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia obserwowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy obserwowalności

  5. Twierdzenie OSC LS2 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem prawostronny wektor własny macierz A, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz C

  6. Twierdzenie OSC LS3 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze (r+n)xn ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara s Test obserwowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a

  7. Twierdzenie OSC LS4 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz C nie ma kolumn zerowych

  8. Obserwowalność a przekształcenia podobieństwa Obserwowalność zostaje zachowana podczas transformacji podobieństwa

  9. Systemy dyskretne Obserwowalność stanu Stan obserwowalny Stan systemu liniowego jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście dla chwil ze skończonego przedziału, Jeżeli każdy stan jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie obserwowalny lub krócej obserwowalny

  10. Obserwowalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego Twierdzenie OSD LS1 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności, nazywana macierzą obserwowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu

  11. Twierdzenie OSD LS2 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem prawostronny wektor własny macierz AD, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz AD nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz CD

  12. Twierdzenie OSD LS3 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze (r+n)xn ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara z Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a

  13. Twierdzenie OSD LS4 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz CDnie ma kolumn zerowych

  14. Dekompozycja na podprzestrzenie sterowalne/osiągalne Jeżeli system jest niesterowalny/nieosiągalny można go zdekomponować na część sterowalną i niesterowalną Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie sterowalne Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest sterowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(Mc = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie, , a para macierzy {AC, BC} jest sterowalna, oraz

  15. Macierz transformacji Q może być utworzona w następujący sposób: Macierz MC ma wymiar n x nm, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej kolumn wybrać p kolumn liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz była nieosobliwa

  16. Przykład 1. Rozważamy system dwuwymiarowy ( dwa wejścia, dwa wyjścia) Macierz sterowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest niesterowalny

  17. Dwie pierwsze kolumny macierzy sterowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektor Wówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa

  18. Macierze podsystemu sterowalnego Niesterowalna część systemu opisana równaniem stanu Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji

  19. Związki pomiędzy zmiennymi stanu Wartość własna części niesterowalnej wynosi System jest stabilizowalny

  20. Dekompozycja na podprzestrzenie obserwowalne/wykrywalne Jeżeli system jest nieobserwowalny można go zdekomponować na część obserwowalną i nieobserwowalną Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie obserwowalna Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest sterowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(Mo = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie, , , a para macierzy {Ao, Bo} jest obserwowalna, oraz

  21. Macierz transformacji P może być utworzona w następujący sposób: Macierz Mo ma wymiar nr x n, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej wierszy wybrać p wierszy liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz n x n była nieosobliwa

  22. Przykład 2. Rozważamy system dwuwymiarowy ( 2 wejścia, dwa wyjścia) System jest sterowalny lecz nieobserwowalny – macierz obserwowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest nieobserwowalny

  23. Dwa pierwsze wiersze macierzy obserwowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektor Wówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa

  24. Macierze podsystemu obserwowalnego Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji

  25. Wartości własne systemu oryginalnego Podsystemu obserwowalnego Wartość własna części nieobserwowalnej wynosi System jest niewykrywalny

  26. Ilustracja związków sterowalności i obserwowalności systemów ciągłych oraz ich stabilności Przykład 3. Rozważmy system SISO Policzmy macierz tranzycji Przyjmijmy zerowe warunki początkowe i skokowe wejście poza tym

  27. Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu dla zerowych warunków początkowych

  28. oraz odpowiedź wyjścia dla zerowych warunków początkowych

  29. Odpowiedź wyjścia stabilizuje się

  30. ale odpowiedź stanu wykazuje niestabilność Złe zachowanie stanu zostało „ukryte” na wyjściu – nie jest widoczne na wyjściu

  31. Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz Zatem System jest nieobserwowalny

  32. Zmieńmy warunki początkowe Wyjście systemu Wyjście systemu dla tych warunków początkowych Takie samo jak dla zerowych w.p.

  33. Twierdzenie Niech będzie dany system liniowy stacjonarny SISO będą wejściami odcinkami ciągłymi oraz i niech są określone przez i Następujące stwierdzenia są równoważne są obserwowalne (i) (ii)

  34. Przykład 4. Rozważmy system SISO Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz

  35. Zatem rank Mo = 2 – system jest obserwowalny Policzmy macierz tranzycji

  36. Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia oraz odpowiedź wyjścia dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia

  37. Zmieńmy warunki początkowe z zerowych na Odpowiedź stanu dla nowych warunków początkowych i skokowego wejścia

  38. Odpowiedź wyjścia systemu dla nowych warunków początkowych

  39. Odpowiedź wyjścia systemu Odpowiedź stanu systemu

  40. Równania stanu Zbadajmy sterowalność systemu n=2 System jest niesterowalny

  41. Przykład 5. Rozważmy system SISO Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz

  42. Zatem rank Mo = 2 – system jest obserwowalny Zbadajmy sterowalność systemu n=2, r=1 rank Mc = 2 – system jest sterowalny

  43. Policzmy macierz tranzycji Zadajmy wejście Odpowiedź wyjścia (zerowe w.p.) Odpowiedź stanu (zerowe w.p.)

  44. Odpowiedź wyjścia (zerowe w.p.) Odpowiedź stanu (zerowe w.p.) System jest nieminimalnofazowy

  45. Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę

More Related