ΑΠΟ ΤΑ FOURIER ΣΤΑ WAVELETS Μια Εισαγωγική Παρουσίαση

1. ΑΠΟ ΤΑ FOURIER ΣΤΑ WAVELETS Μια Εισαγωγική Παρουσίαση Για το Β’ Έτος Ν. Δοκίμων - Εκπαιδευτικό Έτος 2005-2006 Δρ. Ι. Κ. Χατζηλάου, Καθηγητής ΣΝΔΥπ/χος (Μ) Α. Γαραντζιώτης, Απόφοιτος Πανεπιστημίου Monterey( Ωρομίσθιο μέλος Διδακτικού Προσωπικού Έργαστηρίων Ηλεκτροτεχνίας ) • Fourier • Wavelets • Εφαρμογές • ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ • C. Sidney Burrus, Ramesh A. Gopinath, Haitao Guo, “Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms,” Edition Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, Inc., 1997. • Anastasios Garantziotis,“A Wavelet-based Prediction Technique For Concealment of Loss-Packet Effects In Wireless Channels”, June 2002 • James S. Walker, “A Primer on Wavelets and their Scientific Applications”,Chapman & Hall, 1999. • Gerald Kaiser, “A Friendly Guide to Wavelets”, Birkhauser, 1994. • Raghuveer M. Rao, Ajit S. Bopardikar, “Wavelet Transforms Introduction to Theory and Applications”, Addison Wesley Longman, Inc., 1998.

2. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ • Fourier • STFT • Θεωρία των Wavelets • Εφαρμογές - Παραδείγματα

3. FOURIER x(t)=cos(2π20t+π/2)+cos(2π40t+π/4)+cos(2π100t)+cos(2π200t), f1=10 Hz, f2=40Hz, f3=100 Hz, f4=200 Hz,

4. FOURIER

5. SHORT TIME FOURIER TRANSFORM w(t)

6. SHORT TIME FOURIER TRANSFORM

7. SHORT TIME FOURIER TRANSFORM

8. SHORT TIME FOURIER TRANSFORM

9. SHORT TIME FOURIER TRANSFORM

10. SHORT TIME FOURIER TRANSFORM • Προβλήματα κατά την χρήση του STFT • Δυσκολία επιλογή της χρονικής διάρκειας της • συνάρτησηςw(t) • Ποιότητα ανάλυσης συνάρτηση του διάρκειας t • της συνάρτησης w(t) • Σταθερή ανάλυση χρόνου - συχνότητας

11. WAVELETS • Δίνει λύση στο προηγούμενο • πρόβλημα χρησιμοποιώντας • συναρτήσεις με ολοένα • αυξανόμενη συχνότητα • Υψηλή ανάλυση συχνότητας • στις χαμηλές συχνότητες και • υψηλή ανάλυση χρόνου στις • υψηλές συχνότητες

12. WAVELETS Mother Wavelet

13. WAVELETS

14. WAVELETS Ανάλυση χρόνου-συχνότητας για τα Wavelets και για τον STFT

15. WAVELETS • Continuous Wavelet Transform (CWT) : H συνάρτηση και ο • μετασχηματισμόςείναι συνεχείς συναρτήσεις. • Χρονικά Διακριτός Μετασχηματισμός Wavelet Συνεχούς • Συνάρτησης(Discrete Time Wavelet Transform, DWT) : • H συνάρτηση είναι συνεχής αλλά ο • wavelet μετασχηματισμός είναι διακριτός. • Διακριτός Μετασχηματισμός Wavelet (Discrete Wavelet • Transform, DWT) :H συνάρτηση και ο μετασχηματισμός • είναι διακριτοί.

16. ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΠΕΔΩΝ(MULTIRESOLUTION ANALYSIS - MRA) Η κεντρική ιδέα πίσω από την MRA είναι η διαίρεση του προς ανάλυση σήματος x(t) σε επί μέρους σήματα, κάθε ένα από τα οποία θα περιλαμβάνει μέρος των πληροφοριών και των συχνοτήτων που εμπεριέχονται στο αρχικό σήμα. Για την επίτευξη αυτού του σκοπού εισαγάγεται η έννοια της scaling συνάρτησης φ(t), η οποία ονομάζεται και πατρικό wavelet (father wavelet), και συνδέεται άμεσα με την συνάρτηση wavelet.

17. Haar’s Wavelet

18. MULTIRESOLUTION ANALYSIS

19. MULTIRESOLUTION ANALYSIS

20. Discrete Wavelet Transform DTWT μπορεί να υπολογιστεί από Η/Υαλλά είναι χρονοβόρα διαδικασία. Περιέχειπλεονάζουσες πληροφορίες, οι οποίες είναι περιττές για την ανακατασκευή του αρχικού σήματος. DWΤ: ένας πάρα πολύ γρήγορος αλγόριθμος, ο οποίος εκμεταλλευόμενος το γεγονός ότι με την χρήση της ανάλυσης πολλαπλών επιπέδων μπορούμε να παραστήσουμε ένα σήμα x(n),μετατρέπει το σήμα σε σύνολο wavelet συντελεστών.

21. Discrete Wavelet Transform Ανάλυση Επανασύνθεση

22. Εφαρμογές - Παραδείγματα

23. Εφαρμογή σε Επεξεργασία Εικόνας α) Αρχική φωτογραφία b) Ληφθείσα φωτογραφία c) Επανασύνθεση φωτογραφίας με την χρήση Wavelets

24. Εφαρμογή σε Επεξεργασία Ήχου Αρχικό αρχείο Λαμβανόμενο αρχείο Επανασύνθεση με Wavelets

25. Αφαίρεση Θορύβου

26. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

27. SHORT TIME FOURIER TRANSFORM

28. w(t1) w(t2) t2 t1 SHORT TIME FOURIER TRANSFORM t1<t2

29. s c1 d1 c2 d2 c3 d3 c4 d4 Discrete Wavelet Transform

30. c4 d4 c3 d3 c2 d2 c1 d1 s Discrete Wavelet Transform

31. Χρήση Φίλτρου

32. Δυαδική Υποδειγματοληψία