§1 ． 11 闭区间上连续函数的性质

1. §1．11 闭区间上连续函数的性质 一、最大值与最小值 最大值与最小值、 最大值和最小值定理、有界性定理 二、介值定理 零点、 零点定理、介值定理

2. 2 1 0 一、最大值与最小值 最大值与最小值：对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有 x 0I，使得对于任一xI都有 f(x)f(x 0) (f(x)f(x 0))， 则称f(x 0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值） 举例 ： 函数f(x)=1+sin x在区间[0，2p]上有最大值2和最小值0．

3. y 1 O x -1 一、最大值与最小值 最大值与最小值：对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有 x 0I，使得对于任一xI都有 f(x)f(x 0) (f(x)f(x 0))， 则称f(x 0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值） 举例 ： 函数f(x)=sgn x在区间(-，+)内有最大值 1和最小值-1．

4. y 1 O x 一、最大值与最小值 最大值与最小值：对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有 x 0I，使得对于任一xI都有 f(x)f(x 0) (f(x)f(x 0))， 则称f(x 0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值） 举例 ： 在开区间(0，+)内，sgn x的最大值和最小值都是1．

5. y y=x b O x a 一、最大值与最小值 最大值与最小值：对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有 x 0I，使得对于任一xI都有 f(x)f(x 0) (f(x)f(x 0))， 则称f(x 0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值） 举例 ： 但函数f(x)=x在开区间(a，b)内既无最大值又无最小值．

6. y f(x2) y=f(x) f(x1) x x1 x2 O a x b 定理1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该 区间上一定有最大值 和最小值． 注1： 定理1说明，如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，那么至 少有一点x1[a，b]，使f(x1)是f(x)在[a，b]上的最大值，又至少 有一点x2[a，b]，使f(x2)是f(x)在[a，b]上的最小值．

7. y y=x O b a x 定理1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该 区间上一定有最大值 和最小值． 注2： 如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间 断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值． 在开区间(a，b) 考察函数y=x． 函数f(x)=x在开区间(a，b) 内既无最大值又无最小值．

8. y 2 1 O x 1 2 定理1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该 区间上一定有最大值 和最小值． 注2： 如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间 断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值． 在闭区间[0，2] 考察函数 函数 y=f(x)在开区间[0，2] 内既无最大值又无最小值．

9. 定理1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该 区间上一定有最大值 和最小值． 定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间 上有界 证明 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续．由定理1，函数f(x)在区间[a，b]上有最大值M和最小值m，使任一x[a，b]满足 mf(x)M． 上式表明，f(x)在[a，b]上有上界M和下界m，因此函数f(x)在 [a，b]上有界．

10. y f(b) y=f(x) O a x1 x2 x x3 b x f(a) 二、介值定理 零点： 如果x0使f(x0)=0，则x0称为函数f(x)的零点．

11. y f(b) y=f(x) O a x1 x2 x x3 b x f(a) 定理3（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续， 且 f(a)与f(b)异号（即f(a)f(b)<0），那么在开区间(a，b)内至少有函 数f(x)的一个零点，即至少有一点x (a<x<b)使f(x)=0． 几何意义：

12. 定理3（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续， 且 f(a)与f(b)异号（即f(a)f(b)<0），那么在开区间(a，b)内至少有函 数f(x)的一个零点，即至少有一点x (a<x<b)使f(x)=0． 例1证明方程x 3-4x 2+1=0在区间(0，1)内至少有一个根． 证明 函数f(x)= x 3-4x 2+1在闭区间[0，1]上连续， 又 f(0)=1>0， f(1)=-2<0． 根据零点定理，在(0，1)内至少有一点x，使得 f(x)=0，即 x 3-4x 2+1=0 (0<x<1)． 这等式说明方程x 3-4x 2+1=0在区间(0，1)内至少有一个根是x．

13. 定理3（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续， 且 f(a)与f(b)异号（即f(a)f(b)<0），那么在开区间(a，b)内至少有函 数f(x)的一个零点，即至少有一点x (a<x<b)使f(x)=0． 定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且在 这区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B 之间的任意一个数C，在开区间(a，b)内至少有一点x，使得 f(x)=C (a<x<b)．

14. y f(b) y=f(x) f(a) a b x O 介值定理的几何意义： 连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少交于一点. y= C C x1 x x2

15. 介值定理的证明 设j(x)=f(x)-C，则j(x)在闭区间[a，b]上 连续，j(a)=A-C与j(b)=B-C异号．根据零点定理，在开区间 (a，b)内至少有一点x使得 j(x)=0 (a<x<b)． 但j(x)=f(x)-C，因此由上式即得 f(x)=C (a<x<b)．

16. 定理3（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续， 且 f(a)与f(b)异号（即f(a)f(b)<0），那么在开区间(a，b)内至少有函 数f(x)的一个零点，即至少有一点x (a<x<b)使f(x)=0． 定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且在 这区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B 之间的任意一个数C，在开区间(a，b)内至少有一点x，使得 f(x)=C (a<x<b)． 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小 值m之间的任何值．

17. y M y=f(x) m a b x O 推论的几何意义： y= C m<C<M C x1 x x2