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非标准分析 ——经典数学的一种延伸. 逻辑学 12硕 吕相洋. 第二次数学危机. 在17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于： 创立了朴素的 微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法互为逆运算 …… 由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。
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非标准分析 ——经典数学的一种延伸 逻辑学 12硕 吕相洋
第二次数学危机 在17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：创立了朴素的微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法互为逆运算……由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。 18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。 在微积分大范围应用的同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。
直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分；狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分；狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。 • 19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。
但古典极限理论的较为繁复，而在工程师、物理学家、化学家的语言中使用“瞬时”、“微元”这样的不够精确的概念并没有影响的结果的正确性。
实无穷的复活——逻辑学家的意外发现 （一阶逻辑广义完全性定理）如果形式语言L的一个语句集是一致的，那么这个语句集有一个模型。 （紧致性定理）如果L的语句集K的任意有穷子集一致，那么K一致。
挪威逻辑学家Skolem最先发现描述自然数集的计数公理（如一阶Peano公理）不仅以自然数为其“标准”模型，他由此否定自然数集N，而R.robinson把skolem的思想开拓到实数域，为无穷小演算奠定了严格的逻辑基础，它兼容算术的非标准模型，因此他称这一课题为非标准分析，其开拓性的工作，具有不可磨灭的历史功绩。
可以认为，NSA实际上是对标准分析进行“理想元素”的添加，如前所述，无穷大与无穷小并非不可思议，NSA的第一个功绩便是延续数学史上扩张数系的研究。可以认为，NSA实际上是对标准分析进行“理想元素”的添加，如前所述，无穷大与无穷小并非不可思议，NSA的第一个功绩便是延续数学史上扩张数系的研究。 • 令人奇怪的是，在直线上塞进无理数之后，扩充实数系的工作被忽视了长达百余年。
非标准模型 • NSA的应用应竟可能涵盖经典数学的所有研究对象，而经典数学的定义都是用的集合论语言。所以我们先引入足以包括经典数学所有研究对象的标准结构——超结构。 • 从超结构出发，用纯粹的集合论方法构造其对应的超幂型非标准模型，则得到的非标准模型涵盖经典数学。从而可将经典数学置于NSA体系下研究。
超结构的某些性质 • ∅为实体 • 每个Vn(X)为实体 • 实体的元素为实体 • 实体的子集为实体 • 实体的幂集为实体 • V(X)的有限子集为实体 • 实体的有序n元组及Cartesian积为实体 • n元关系和n元函数，其定义域和值域为实体者，它们本身亦为实体。
上述仅仅是非标准分析NSA的几个最最基础的应用。事实上，NSA可以覆盖经典数学的近乎全部分支，经典数学的很多成果运用NSA方法可以异常简便的得到。上述仅仅是非标准分析NSA的几个最最基础的应用。事实上，NSA可以覆盖经典数学的近乎全部分支，经典数学的很多成果运用NSA方法可以异常简便的得到。 • 除了作为研究标准数学的工具，NSA本身对无穷的引入，亦开辟了数学、哲学研究的广阔新天地。
NSA尚未被广泛认可和应用的原因 • 一些人认为，对于经典数学而言，NSA能够得到的结果标准方法应该也都能得到，而大家已经习惯了经典方法。 • 不同于有理数、实数、复数的扩充。非标准数系的扩充本身是不同构的（尽管这不影响我们得到一些很好的结果），而且尚未找到很好的几何、物理模型。 • 一些数学工作者对逻辑领域成果的忽视。
算数从整数开始，继而通过添加有理数和负数以及无理数等，逐次扩大了数系，但在实数之后，下一个自然扩张，即添加无穷小，竟被完全忽略了，在微积分发明长达三百年之后，第一个严格的无穷小理论始发起来，我认为，在未来的世纪里，后代将会把这一延误看作一件咄咄怪事。 未来的分析学将是某种NSA! ——哥德尔
