slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Fibonaccifølgen og gylne forhold PowerPoint Presentation
Download Presentation
Fibonaccifølgen og gylne forhold

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 61

Fibonaccifølgen og gylne forhold - PowerPoint PPT Presentation


  • 110 Views
  • Uploaded on

Fibonaccifølgen og gylne forhold. istein Gjøvik. Hans verk Liber Abaci (”Utregningsboken”) tok for seg algoritmer for regning med disse nye tallene Mange skiftet fra romertall til ”våre” tall etter overbevisning grunnet Fibonacci. Født i Pisa, ca. 1125

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Fibonaccifølgen og gylne forhold' - yale


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
leonardo pisano
Hans verk Liber Abaci (”Utregningsboken”) tok for seg algoritmer for regning med disse nye tallene

Mange skiftet fra romertall til ”våre” tall etter overbevisning grunnet Fibonacci

Født i Pisa, ca. 1125

Kjent under mange navn, bl.a. Fibonacci, som betyr sønn av Bonaccio - familienavnet

En av de første som benyttet hindu-arabiske tall i Europa

Leonardo Pisano
fibonaccis kaniner
Fibonaccis kaniner
  • Kaniner blir kjønnsmodne etter en måned
  • Hvert kjønnsmodent par får et nytt par kaniner hver måned
  • Vi starter med ett par, men kaniner lever evig
  • Hvordan utvikler dette seg?
matematisk modell
Matematisk modell
  • Vi gjør først undersøkelser
  • Stiller så opp en hypotese
  • Vi gjør flere undersøkelser for å se om hypotesen ser ut til å holde
  • Og prøver til slutt å gi en matematisk forklaring
slide7

1

1

2

3

5

8

13

21

fibonaccitallene

1

Fibonaccitallene

1

2

3

5

8

Vi ser at vi kommer fram til et tall i Fibonaccifølgen

ved å legge sammen de to foregående

13

21

generell formel
Generell formel

Vi finner som nevnt et tall ved å legge sammen de to forrige:

formel for fibonacci
Formel for Fibonacci

Det fins en formel for å finne et Fibonacci-tall langt ute i rekken:

blomster og bier
Blomster og bier
  • Bier har spesielle familietrær. Det er ikke slik som hos oss, der vi har 2 foreldre, 4 besteforeldre, 8 oldeforeldre, 16 tippoldeforeldre osv. Det er fordi en Drone (hannbie) har bare en mor, mens en Arbeider (hunnbie) har både en mor og en far. Hvis vi tegner slektstreet til en drone, blir det slik: Dronen har 1 mor, 2 besteforeldre, 3 oldeforeldre, 5 tippoldeforeldre, osv.
slide13

13

8

5

3

2

1

1

unders kelse med kalkulator
Undersøkelse med kalkulator

Forholdet mellom to etterfølgende ledd

Fibonaccitall

Tall nummer

lucasf lgen
Lucasfølgen
  • Det var Lucas som ga Fibonaccifølgen det navnet
  • Vi kan jo begynne med et annet tall enn 1 og 1.
  • La oss si vi begynner med 1 og 3.
  • Følgen fortsetter da slik:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322

et hjertesukk fra coxeter
Et hjertesukk fra Coxeter
  • It should be frankly admitted that in some plants the numbers do not belong to the sequence of Fibonacci numbers but to the sequence of Lucas numbers or even to the still more anomalous sequences

3,1,4,5,9,... or 5,2,7,9,16,...

  • Thus we must face the fact that phyllotaxis is really not a universal law but only a fascinatingly prevalent tendency.
slide19

3

5

1

2

1

8

13

slide20

3

5

1

2

1

8

13

spiraler
Spiraler

Vi finner spiraler i naturen og de dukker opp naturlig når vi arbeider med Fibonaccitallene også.

slide36

55

La oss regne ut forholdet mellom diagonalene...

Vi vet lengden av sidekantene (Fibonaccitall) og kan bruke Pytagoras til å finne diagonalene

55

34

Klikk her for generelt bevis

slide37

Oppgave:

Konstruer denne spiralen KUN ved å bruke passer og linjal (uten å bruke målestokken på linjalen)

slide40
Spiraler kan også brukes i estetisk hensikt
  • Bilde fra filmen A nightmare before Christmas av Tim Burton
  • Merk også at figurene på bildet er pent plassert langs gylne linjer
slide41
Vi kan konstruere logaritmiske spiraler ved å dele inn en sirkel i like store vinkler, for så å trekke normaler til den neste strålen
det gylne snitt
Det gylne snitt

Hvis et linjestykke AC er delt i et punkt B slik at

sies B å dele AC i det gylne snitt

A

C

B

det gylne snitt1
Det gylne snitt

Eller – med litt enklere notasjon:

A

C

B

x

y

l sning av andregradslikninga
Løsning av andregradslikninga

Dersom vi setter lengden på linjestykket b lik 1 inn i likningen over, får vi følgende likning:

Vi multipliserer på begge sider med x, og får:

Løser vi denne likningen og ser bort den negative løsningen, får vi:

det gylne snitt3
Det gylne snitt

A

C

B

y=1

x=1,62

slide53

Hvis hypotenusen i en likebeint trekant delt på grunnlinjen blir det gylne forholdstall, kaller vi det en gyllen trekant

a

b

slide57

M

F

D

C

  • Konstruer et kvadrat ABCD
  • Finn midtpunktet M på en av sidene
  • Slå en sirkelbue om M med radius MB, og lag rektanglet som vist på figuren.
  • Vis at AEFD er et gyllent rektangel, dvs. at AE/AD=1,62

A

E

B

slide60

Vi har også andre måter å beregne det gylne forholdstall på, ved hjelp av kjedebrøk og radikander

lenker
Lenker
  • Leonardo Fibonacci
    • http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Fibonacci.html
  • Who was Fibonacci
    • http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibBio.html
  • Fibonacci num,bers and the golden ratio
    • http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html
  • Mathworld
    • http://mathworld.wolfram.com/
  • Oppgaver om spiraler, gylne snitt m.m.
    • http://www.ebok.no/%5Cwww.ebok.no%5Cpdf%5Cmatematikk%5Coppg%5Ckapittel_11.pdf
    • http://www.ebok.no/%5Cwww.ebok.no%5Cpdf%5Cmatematikk%5CKapittel11.pdf
  • LærerIKT
    • http://www.larerikt.no/oppgavesvar/pdf/99-0323M05.pdf
  • Det gylne snitt fra Tangenten
    • http://www.caspar.no/Tangenten/2004/det_gylne_snitt_komplett204.pdf