George Boole (1815 - 1864)

1. BOOLEAANSE LOGICA George Boole (1815 - 1864) The Mathematical Analysis of Logic (1847) An Investigation of the Laws of Thought (1854)

2. A is een deelverzameling van U. Niet-A  A = U. Niet-A A

3. B is ook een deelverzameling van U. Niet-B  B = . Niet-B B

4. A en B zijn beide sets in U. Ze overlappen elkaar voor een deel. A A AND B B

5. De overlap heet de doorsnede van A en B: A  B A AND B

6. De vereniging van A en B: A  B A OR B

7. Het verschil A - B A - B

8. Het verschil B - A B - A

9. De exclusive OR is het absolute verschil van A en B: |A - B| A XOR B A OR B A XOR B

10. De Morgan: Niet-(A AND B) = Niet-A OR Niet-B. (AB) = AB A AND B Niet-A OR Niet-B

11. De Morgan: Niet-(A OR B) = Niet-A AND Niet-B. (AB) = AB A OR B Niet-A AND Niet-B

12. OR = Parallelschakeling AND = Serieschakeling OR =  AND = 

13. OR = Parallelschakeling AND = Serieschakeling 0 0 0 0 0 0 0  0 = 0 0  0 = 0

14. OR = Parallelschakeling AND = Serieschakeling 1 1 0 0 1 0 1  0 = 1 1  0 = 0

15. OR = Parallelschakeling AND = Serieschakeling 0 0 1 1 1 0 0  1 = 1 0  1 = 0

16. OR = Parallelschakeling AND = Serieschakeling 1 1 1 1 1 1 1  1 = 1 1  1 = 1

17. Resumerend. De Booleaanse Logica kent twee waarheidswaarden: False (0) en True (1). De belangrijkste logische operatoren zijn De doorsnee = AND =  De vereniging = OR =  De ontkenning = NOT =  De implicatie = THEN = Met behulp van deze operatoren kan de propositielogica bedreven worden.

18. Fuzzy Logic Lotfi A. Zadeh (1921) Fuzzy Sets (1965)

19. Drie Booleaanse sets “hoog” “laag” “gemiddeld” 1 µ 0 2 5 8 Percentage µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

20. Drie Booleaanse sets “hoog” “laag” “gemiddeld” 1 µ 0 2 5 8 Percentage µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

21. Drie Booleaanse sets “hoog” “laag” “gemiddeld” 1 µ 0 2 5 8 Percentage µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

22. Drie Booleaanse sets “hoog” “laag” “gemiddeld” 1 µ 0 2 5 8 Percentage µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

23. Drie Booleaanse sets “hoog” “laag” “gemiddeld” 1 µ 0 2 5 8 Percentage µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

24. Drie fuzzy sets “hoog” “laag” “gemiddeld” 1 µ 0 2 5 8 Percentage µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

25. Definitie van een Fuzzy Set Beschouw de klassieke set A van het universum U. Een fuzzy set A wordt gedefinieerd als een set van geordende paren. A= {}

26. Definitie van een Fuzzy Set Het is een binaire relatie van een element x… A= {x}

27. Definitie van een Fuzzy Set en de lidmaatschapsgraad… A= {(x, µ)}

28. Definitie van een Fuzzy Set en de lidmaatschapsgraad van x… A= {(x, µ (x))}

29. Definitie van een Fuzzy Set en de lidmaatschapsgraad van xin A. A= {(x, µ (x))} A

30. Definitie van een Fuzzy Set Waarbij x behoort tot A. A= {(x, µ (x)) | x  A} A

31. Definitie van een Fuzzy Set En de lidmaatschapsgraad behoort tot het gesloten interval van 0 tot en met 1. A= {(x, µ (x)) | x  A, µ (x)  [0, 1]} A A

32. Definitie van een Fuzzy Set Beschouw de klassieke set A van het universum U. Een fuzzy set A wordt gedefinieerd als een set van geordende paren. Het is een binaire relatie van een element xen de lidmaatschapsgraad van xin A. Waarbij x behoort tot A. En de lidmaatschapsgraad behoort tot het gesloten interval van 0 tot en met 1. A= {(x, µ (x)) | x  A, µ (x)  [0, 1]} A A

33. Een fuzzy set A 1 µ 0 x A U µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

34. Een fuzzy set A 1 µ (x) = 0.5 A µ 0.5 0 x U µ = “mu” = lidmaatschapsgraad

35. De regenboog als voorbeeld van een universele set met daarin subsets

36. Dit zijn een aantal (sub)sets uit de universele set Fuzzy rood Fuzzy groen Fuzzy blauw Fuzzy oranje

37. Bepaling van de lidmaatschapsgraad “hoog” “laag” “gemiddeld” 1 µ 0 x 2 5 8 Percentage µ (x) = 0.0 µ (x) = 0.0 µ (x) = 1.0 hoog laag gemiddeld

38. Bepaling van de lidmaatschapsgraad “hoog” “laag” “gemiddeld” 1 µ 0 2 x 5 8 Percentage µ (x) = 0.5 µ (x) = 0.0 µ (x) = 0.5 hoog laag gemiddeld

39. Bepaling van de lidmaatschapsgraad “hoog” “laag” “gemiddeld” 1 µ 0 2 x = 5 8 Percentage µ (x) = 1.0 µ (x) = 0.0 µ (x) = 0.0 hoog laag gemiddeld

40. Bepaling van de lidmaatschapsgraad “hoog” “laag” “gemiddeld” 1 µ 0 2 5 x 8 Percentage µ (x) = 0.8 µ (x) = 0.2 µ (x) = 0.0 hoog laag gemiddeld

41. Bepaling van de lidmaatschapsgraad “hoog” “laag” “gemiddeld” 1 µ 0 2 5 x 8 Percentage µ (x) = 0.6 µ (x) = 0.4 µ (x) = 0.0 hoog laag gemiddeld

42. Bepaling van de lidmaatschapsgraad “hoog” “laag” “gemiddeld” 1 µ 0 2 5 x 8 Percentage µ (x) = 0.4 µ (x) = 0.6 µ (x) = 0.0 hoog laag gemiddeld

43. Bepaling van de lidmaatschapsgraad “hoog” “laag” “gemiddeld” 1 µ 0 2 5 x 8 Percentage µ (x) = 0.0 µ (x) = 1.0 µ (x) = 0.0 hoog laag gemiddeld

44. Soepel in te stellen op veranderdende normen “hoog” “laag” “gemiddeld” 1 µ 0 8 x = 15 22 Percentage µ (x) = 1.0 µ (x) = 0.0 µ (x) = 0.0 hoog laag gemiddeld

45. Operatoren voor fuzzy sets De doorsnede = MIN (µ (x), µ (x)) De vereniging = MAX (µ (x), µ (x)) Het complement = 1- µ (x) De implicatie = A B A B A

46. Operatoren voor fuzzy sets De doorsnede = Minimum 0 AB = MIN(A, B)

47. Operatoren voor fuzzy sets De vereniging = Maximum AB = MAX(A, B)

48. Resumerend. Fuzzy Logic kent oneindig veel waarheidswaarden: variërend van 0 tot en met 1. De waarheidswaarde = lidmaatschapsgraad = µ. De belangrijkste logische operatoren zijn: De doorsnede = MIN(µ (x), µ (x)) De vereniging = MAX(µ (x), µ (x)) Het complement = 1- µ (x) De implicatie = A B A B A Met behulp hiervan kan approximate reasoning (= benaderend redeneren) bedreven worden.