第二章 直線與圓

1. 第二章 直線與圓 2-3圓與直線的關係

2. 目錄 • 2-3圓與直線的關係 • 甲﹑圓的標準式 • 乙﹑圓的一般式 • 丙﹑圓與直線的相交 • 丁﹑圓的切線方程式

3. 請看課本p.121 • 　　首先我們來觀察下表中的幾何圖形與代數方程式之間的關係： 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

4. 請看課本p.121 • 　　我們學過坐標平面, 並利用它建立起幾何圖形與代數方程式之間的一一對應關係, 例如：坐標平面上的直線, 可以用二元一次方程式 ax＋by＋c=0來表示, 反之, 二元一次方程式ax＋by＋c=0在坐標平面上的圖形為一條直線. • 　　本節我們繼續利用坐標平面來探討圓的代數方程式的表示法. 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

5. (a) 甲﹑圓的標準式 請看課本p.121 • 　　在平面上, 與一定點的距離為一定數的所有點所成的圖形稱為圓, 該定點稱為圓心, 該定數稱為半徑. 如圖(a)所示. 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

6. 兩點距離公式若A(x1,y1), B(x2,y2),則 (b) 請看課本p.121 • 　　依上述圓的定義, 若坐標平面上有一圓是以C(h, k)為圓心, r為半徑, P(x, y)為圓上一點, 如圖(b)所示, 則  下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

7. 請看課本p.122 • 　　因此我們有以下的結論： • 註：當圓心在O(0, 0)時, 圓的標準式為 x2 + y2 = r2. 以C(h, k)為圓心, r為半徑的圓方程式為 ( x－h )2 + ( y－k )2 = r2 （此方程式稱為圓的標準式） 方程式( x－h )2 + ( y－k )2 = r2的圖形為一圓, 其圓心坐標為(h, k), 半徑為r. 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

8. 例題1 請看課本p.122 試寫出以(2,－3)為圓心, 4為半徑的圓方程式. 設圓C：( x + 1 )2 + ( y–2 )2 = 9, 試求圓C的圓心坐標與半徑. • 解： • 依題意可知圓的方程式為 • (x－2)2+[y－(－3)]2=42, • 即 (x－2)2+(y+3)2=16. • 因為圓C：(x+1)2+(y－2)2=9, • 即 [x－(－1)]2+(y－2)2=32, • 所以圓C的圓心坐標為(－1,2), 半徑為3. 返回 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

9. 隨堂練習1 請看課本p.122 試寫出圓心在(0, 0), 半徑為1的圓方程式. 若P(x, y)滿足　　　　　　　　　　試問所有P點所形成的圖形是否為一圓？ 若是, 請寫出此圓的圓心坐標與半徑. • 解： • 由圓的標準式知( x  0)2+( y  0)2=12, • 所以圓方程式為 x2 + y2 = 1 . • 兩邊平方得(x－3)2+(y+4)2=52, • 所以 • 的圖形為一圓,其圓心坐標為(3,  4), 半徑為5. 返回 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

10. 例題2 請看課本p.123 設圓C的圓心在Q(2,－1)且通過P(5, 3), 試求圓C的方程式.  試判斷D(－1, 2), E(－1, 4),F(5, 5)三點與圓C的位置關係.(在圓上﹑圓內或圓外). • 解： • 因為圓的半徑 • 所以圓C的方程式為 • (x－2)2+[y－(－1)]2=25, • 即(x－2)2+(y+1)2=25. 返回 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

11. 例題2 請看課本p.123 設圓C的圓心在Q(2,－1)且通過P(5, 3),  試求圓C的方程式. 試判斷D(－1, 2), E(－1, 4),F(5, －5)三點與圓C的位置關係.(在圓上﹑圓內或圓外). • 解： • (a) 因為 • 所以點D(－1,2)在圓內. • (b) 因為 • 所以點E(－1,4)在圓外. • (c) 因為 • 所以點F(5,－5)在圓上. 若P點與圓心Q的距離小於半徑, 則點P在圓內; 等於半徑, 則點P在圓上;大於半徑, 則點P在圓外.  返回 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

12. 隨堂練習2 請看課本p.123 設圓C的圓心在Q(－1, 3)且通過原點. 試求圓C的方程式. 試判斷D(1, 1), E(2, 4), F(－4, 5)三點與圓C的位置關係.（在圓上﹑圓內或圓外）. • 解： • 半徑 • 由圓標準式得圓C的方程式為(x+1)2+(y－3)2=10. • 因為 • 所以D(1, 1)在圓內. 返回 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

13. 隨堂練習2 請看課本p.123 設圓C的圓心在Q(－1, 3)且通過原點.  試求圓C的方程式. 試判斷D(1, 1), E(2, 4), F(－4, 5)三點與圓C的位置關係.（在圓上﹑圓內或圓外）. • 解： • 因為 • 所以E(2, 4)在圓上. • 因為 • 所以F(－4, 5)在圓外. 返回 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

14. 例題3 請看課本p.124 若某圓直徑的兩個端點為A(－3,5)和B(5,－1), 試求此圓的方程式. • 解： • 設圓心坐標為C(h, k),半徑為r. • 因為圓心為直徑　　的中點, • 所以 • 即圓心坐標為C(1, 2). 返回 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

15. 例題3 請看課本p.124 若某圓直徑的兩個端點為A(－3, 5)和B(5,－1), 試求此圓的方程式. • 解： • 因為半徑 • 所以 • 故此圓的方程式為(x－1)2+(y－2)2=25. 返回 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

16. 隨堂練習3 請看課本p.124 若　　為圓C的直徑, 且A(1,－1), B(5, 1), 試求圓C的方程式. • 解： • 設Q(h, k)為圓心, r為半徑. • 因為圓心為直徑的中點, 所以 • 即圓心為Q(3, 0). • 所以圓方程式為(x－3)2+y2=5. 返回 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

17. 例題4 請看課本p.124 試求圓心在直線x + y = 1上, 且過A(1,－2), B(3, 4) 兩點的圓方程式. • 解： • 由於一圓的圓心必在此圓的弦之中垂線上, • 因此作弦　　的中垂線L, • 因為直線AB的斜率為 • 故L的斜率為 • 又直線L過　　的中點(2, 1), 返回 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

18. 例題4 請看課本p.124 試求圓心在直線x + y = 1上, 且過A(1,－2), B(3, 4) 兩點的圓方程式. • 解： • 故得　　的中垂線 • 即x + 3y = 5 .因圓心在L上, 且在直線x + y = 1上, • 解聯立方程式 • 得x =－1, y = 2, 所以圓心坐標為C(－1, 2), • 又半徑 • 故圓的方程式為(x+1)2+(y－2)2=20. 返回 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

19. 隨堂練習4 請看課本p.125 設圓C通過P(1,3), Q(1,－7), R(－k, 2), S(k＋6, 2)四點, 其中k＞0 , 試求圓心坐標﹑半徑與圓方程式. • 解： • 因為圓C通過P(1, 3), Q(1,－7), • R(－k, 2), S(k + 6, 2)四點, • 所以弦　 的中垂線與弦　　的中垂線必通過圓心, 返回 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

20. 隨堂練習4 請看課本p.125 設圓C通過P(1, 3), Q(1,－7), R(－k, 2), S(k＋6, 2)四點, 其中k＞0 , 試求圓心坐標﹑半徑與圓方程式. • 解： • 又　　的中垂線為y =－2,　　的中垂線為x = 3, • 所以圓C的圓心坐標為(3, −2). • 圓C的半徑 • 故圓C的標準式為(x－3)2+(y+2)2=29. 返回 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

21. 例題5 請看課本p.125 試求通過P(4, 6), Q(－2,－2), R(6, 2)三點的圓心﹑半徑與圓的方程式. • 解： • 方法一：令圓心為C(h, k), 則 • 由兩點距離公式得 返回 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

22. 例題5 請看課本p.125 試求通過P(4, 6), Q(－2,－2), R(6, 2)三點的圓心﹑半徑與圓的方程式. • 解： • 整理得 • 由+2解得h=1, 代入得k=2, • 所以圓心坐標為C(1, 2), • 半徑 • 故此圓的方程式為(x–1)2+(y–2)2=25,   返回 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

23. 例題5 請看課本p.125 試求通過P(4, 6), Q(－2,－2), R(6, 2)三點的圓心﹑半徑與圓的方程式. • 解： • 方法二：三角形三邊中垂線的交點即為此三角形外接圓的圓心. • (a)因為直線PQ的斜率為 • 所以 　 的中垂線的斜率為　　 • 且過　　的中點(1, 2), • 由點斜式知: • 整理得3x + 4y = 11 返回 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

24. 例題5 請看課本p.125 試求通過P(4, 6), Q(－2,－2), R(6, 2)三點的圓心﹑半徑與圓的方程式. • 解： • (b)因為直線PR的斜率為 • 所以　 中垂線的斜率為　 且過 　的中點(5,4), • 由點斜式知：　　　　　　 整理得 x－2y =－3 • 由+2得x = 1, 代入(1)得y = 2, 返回 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

25. 例題5 請看課本p.125 試求通過P(4, 6), Q(－2,－2), R(6, 2)三點的圓心﹑半徑與圓的方程式. • 解： • (b) 所以圓心坐標為C(1, 2), • 半徑 • 故此圓的方程式為(x－1)2+(y－2)2=25. 返回 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

26. 隨堂練習5 請看課本p.126 試求通過P(5, 3), Q(－2, 2), R(－1,－5)三點的圓心﹑半徑與圓方程式. • 解： • 設圓心坐標為(h, k), 則 • 即 • 解得h = 2, k = –1, 所以圓心坐標為(2, –1), 半徑為5. • 故圓方程式為(x – 2)2 + (y + 1)2 = 25. 返回 下一主題 例1 隨1 例2 隨2 例3 隨3 例4 隨4 例5 隨5

27. 乙﹑圓的一般式 • 　　我們將圓的標準式(x–h)2+(y–k)2=r2展開, • 整理得 x2+y2－2hk－2ky+h2+k2－r2=0, • 若令D=－2h, E=－2k, F=h2+k2－r2, • 則圓的方程式可以表示成二元二次方程式 　　　x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式, • 此形式的方程式我們稱為圓的一般式. • 例如：例題3圓的標準式(x－1)2+(y－2)2=25可化為 一般式x2+y2－2x–4y–20=0. • 反之, 二元二次方程式x2+y2+Dx+Ey+F=0的圖形是否都是圓呢？我們先來看底下的例子. 前一主題 例題6 下一主題

28. 例題6 請看課本p.127 試利用配方法將下列二元二次方程式化成 (x－h)2+(y－k)2=a的形式, 並說明其圖形為何？  x2+y2+4x－8y+11=0.  x2+y2+4x－8y+20=0.  x2+y2+4x－8y+25=0. • 解： • 由配方法得 • (x2+ 4x +22) + (y2－8y +42) =－11 + 4 + 16 , • 即 (x+2)2+(y－4)2=32,所以x2+y2+4x－8y+11=0 • 的圖形為一圓,其圓心為(－2, 4), 半徑為3. 前一主題 例題6 返回 下一主題

29. 例題6 請看課本p.127 試利用配方法將下列二元二次方程式化成 (x－h)2+(y－k)2=a的形式, 並說明其圖形為何？  x2+y2+4x－8y+11=0.  x2+y2+4x－8y+20=0.  x2+y2+4x－8y+25=0. • 解： •  由配方法得 • (x2+ 4x +22) + (y2－8y +42) =－20 + 4 + 16 , • 即　(x+2)2+(y－4)2=0, 得　x =－2, y = 4. • 所以x2+ y2+ 4x－8y+20=0的圖形為一點, • 即為點(－2, 4). 前一主題 例題6 返回 下一主題

30. 例題6 請看課本p.127 試利用配方法將下列二元二次方程式化成 (x－h)2+(y－k)2=a的形式, 並說明其圖形為何？  x2+y2+4x－8y+11=0.  x2+y2+4x－8y+20=0.  x2+y2+4x－8y+25=0. • 解： • 由配方法得 • (x2+ 4x +22) + (y2－8y +42) =－25 + 4 + 16 , • 　即 (x+2)2+(y－4)2= –5, • 由於在坐標平面上找不到點(x,y)滿足此方程式, • 　所以x2+ y2+ 4x－8y+25=0的圖形不存在. 前一主題 例題6 返回 下一主題

31. 當a > 0時, 其圖形為一圓, 圓心為 半徑為 當a = 0時, 其圖形為一點, 該點為 當a < 0時, 其圖形不存在. • 　　一般而言, 欲判斷二元二次方程式x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的圖形, 我們可先利用配方法將其化成(x－h)2+(y－k)2=a, • 其中　　　　　　　　　　　　　　　的形式, 此時, 前一主題 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 下一主題

32. 隨堂練習6 請看課本p.128 試利用配方法將下列二元二次方程式化成 (x－h)2+(y－k)2=a的形式, 並說明其圖形為何？ x2+y2－8x+2y－1=0.  x2+y2+2x－6y+12=0.  x2+y2+12x－4y+40=0. • 解： • 將x2+y2－8x+2y–1=0配方得(x–4)2+(y+1)2=18, • 所以x2+y2－8x+2y－1=0的圖形為一圓, • 其圓心坐標為(4,－1), 半徑為 前一主題 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

33. 隨堂練習6 請看課本p.128 試利用配方法將下列二元二次方程式化成 (x－h)2+(y－k)2=a的形式, 並說明其圖形為何？  x2+y2－8x+2y－1=0. x2+y2+2x－6y+12=0.  x2+y2+12x－4y+40=0. • 解： • 將x2+y2+2x－6y+12=0 配方得 (x+1)2+(y－3)2=2, • 由於在坐標平面上找不到點(x, y)滿足上面的式 • 子, 所以x2+y2+2x－6y+12=0的圖形不存在. 前一主題 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

34. 隨堂練習6 請看課本p.128 試利用配方法將下列二元二次方程式化成 (x－h)2+(y－k)2=a的形式, 並說明其圖形為何？  x2+y2－8x+2y－1=0.  x2+y2+2x－6y+12=0. x2+y2+12x－4y+40=0. • 解： • 將x2+y2+12x－4y+40=0 配方得 (x+6)2+(y－2)2=0, • 所以x2+y2+12x－4y+40=0的圖形為一點, • 即為點(－6, 2). 前一主題 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

35. 例題7 請看課本p.128 試就實數k值的範圍討論x2+y2+2kx–4y+k+6=0配方的圖形. • 解： • 由配方法得 • (x2+ 2kx +k2) + (y2－4y +22) =－k－6+ k2+ 4, • 即(x+k)2+(y－2)2= k2－k－2, • 由於k2－k－2= (k＋1) (k－2), 所以 • (a)當(k＋1) (k－2)＞0, 即k <－1或k > 2, • 則此方程式的圖形為一圓. • 圓心為(－k, 2), 半徑為 前一主題 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

36. 例題7 請看課本p.128 試就實數k值的範圍討論x2+y2+2kx–4y+k+6=0配方的圖形. • 解： • (b)當時(k + 1) (k－2) = 0, 即k =－1或k = 2, • 則此方程式的圖形為一點. • 當k =－1時, 圖形為點(1, 2). • 當k = 2時, 圖形為點(－2, 2). • (c)當(k+1) (k－2) < 0, 即－1< k <2, • 則此方程式的圖形不存在. 前一主題 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

37. 隨堂練習7 請看課本p.128 試就實數k值的範圍討論x2+y2+x－6y－k+6=0的圖形. • 解： • 由配方法得 • 即 • (a)當　　　　 即 • 則此方程式的圖形為一圓. 前一主題 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

38. 隨堂練習7 請看課本p.128 試就實數k值的範圍討論x2+y2+x－6y－k+6=0的圖形. • 解： • 圓心為　　　 半徑為 • (b) 當 　　　　即 • 則此方程式的圖形為一點. 即為點 • (c) 當　　　　 即　　　　 • 則此方程式的圖形不存在. 前一主題 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

39. 請看課本p.128 • 　　已知地震發生時, 會產生兩種波： • 縱波（又稱P波）： • 縱波傳播時, 振動的方向與傳播的方向一致, 傳播速度快. • 橫波（又稱S波）： • 橫波傳播時, 振動的方向與傳播的方向垂直, 傳播速度慢. 前一主題 例題8 隨堂練習8 下一主題

40. 請看課本p.129 • 　　由於縱波速度比橫波快, 所以, 當地震發生時, 我們會先感覺到地面上下振動, 再感覺到左右搖晃. 一般當橫波到達時, 振動較為劇烈, 破壞力也較大. 前一主題 例題8 隨堂練習8 下一主題

41. 請看課本p.129 • 　　測站在地震發生時, 它接收到的第一個訊號為縱波, 而後才是橫波, 利用兩者的時間差, 可估算出測站與震央的距離. 說明如下： • 設 d：震央與測站的距離（公里） • ∆T：P波與S波到達測站的時間差（秒） • VS：S波速率（公里/秒）　 • VP：P波速率（公里/秒） • 則由（S波到達測站時間）－（P波到達測站時間）＝∆T, • 可得關係式　　　　　　即可求得d值. 震源:地底下發生地震的位置. 震央:球心和震源之連線與地球表面的交點.  前一主題 例題8 隨堂練習8 下一主題

42. 請看課本p.129 • 　　因此, 當地震發生時, 若有甲﹑乙﹑丙三個測站測得該測站與震央的距離, 就可分別以測站為圓心, 測站與震央的距離為半徑作三圓, 則此三圓的交點即為震央, 如圖所示. 民國88年9月21日凌晨1時47分15.9秒發生了芮氏7.3級地震，震央位於南投縣集集鎮，因此又名「集集大地震」，這是一百年來，台灣最嚴重的一次地震.  前一主題 例題8 隨堂練習8 下一主題

43. 例題8 請看課本p.130 • 設某一地震發生時, 在甲﹑乙﹑丙 • 三個測站測得P波與S波到達該測站 • 的時間差分別為5秒﹑10秒﹑13秒. • 若此地區的P波速率為6公里/秒,S波速率為4公里/秒, • 試求震央至甲﹑乙﹑丙三個測站的距離. • 若坐標平面上的1單位長為12公里, 且甲﹑乙﹑丙三測站在坐標平面上的位置分別為O(0, 0), A(－3, 12), B(8, 16), 試求震央在坐標平面上的位置. 前一主題 例題8 隨堂練習8 返回 下一主題

44. 例題8 請看課本p.130 • 解： • 因為P波與S波到達測站的時間差與距離的關係 • 式為 • 所以此次地震的關係式為 • 整理得d=12∆T, • 因此 震央至甲測站的距離為 125 = 60公里, • 震央至乙測站的距離為 1210 = 120公里, • 震央至丙測站的距離為 1213 = 156公里. 前一主題 例題8 隨堂練習8 返回 下一主題

45. 例題8 請看課本p.130 • 解： • 坐標平面上的1單位長定為12公里, 所以甲﹑乙﹑丙三個測站與震央的距離分別為5單位長, 10單位長, 13單位長. • 今分別以O, A, B為圓心, 5單位長, 10單位長, 13單位長為半徑作三圓, • 得此三圓的方程式為 前一主題 例題8 隨堂練習8 返回 下一主題

46. 例題8 請看課本p.130    • 解： • 即 • 由－得x－4y ＝－13由－得x＋2y ＝11 • 再由－得 y ＝ 4, 代入得 x ＝3. • 檢驗聯立方程組的解x＝3, y＝4, • 都滿足三圓的方程式, • 所以此三圓的共同交點為(3, 4), • 即震央在坐標平面上的位置在(3, 4). 事實上, 測站與震央的位置是以經緯度表示.  前一主題 例題8 隨堂練習8 返回 下一主題

47. 隨堂練習8 請看課本p.131 某一軍火庫發生爆炸時, 甲﹑乙﹑丙三人分別在看到閃光後的 5秒 10秒﹑13秒才聽到爆炸聲, 若甲﹑乙﹑丙三人在坐標平面上的位置分別為O (0, 0) , A(2 , 5) , B(8 , 2), 且當時的氣溫為15℃, 試求軍火庫在坐標平面上的的位置. （已知15℃時的音速約為340公尺/秒, 且坐標平面上的1單位長為340公尺.） • 解： • 因為甲﹑乙﹑丙三人分別在看到閃光後5秒﹑10秒﹑13秒才聽到爆炸聲. • 所以甲﹑乙﹑丙三人與爆炸的位置距離分別為5單位﹑10單位﹑13單位. • 分別以O, A, B為圓心, 5單位長﹑10單位長﹑13單位長為半徑作三個圓, 前一主題 例題8 隨堂練習8 返回 下一主題

48. 隨堂練習8 請看課本p.131 • 解： • 此三圓的方程式為 • 即 前一主題 例題8 隨堂練習8 返回 下一主題

49. 隨堂練習8 請看課本p.131 • 解： • 將－得2x + 5y = 23  • 將－得4x + y = 19  • 解和得x = 4, y = 3. • 檢驗聯立方程組的解x = 4, y = 3都滿足三圓的方程式, 所以三圓的共同交點為(4, 3), • 即爆炸的位置為(4, 3). 前一主題 例題8 隨堂練習8 返回 下一主題

50. 丙﹑圓與直線的相交 請看課本p.131 • 　　我們知道平面上圓與直線的位置關係有下列三種情形： • 直線L與圓交於相異兩點, 我們稱直線L為圓的割線, • 如下圖(a)所示. 前一主題 例題9 隨堂練習9 例題10 隨堂練習10 下一主題