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2つの最小特異値下界に対する dqds 法の収束性について 2007å¹´3月4日 å±±æœ¬æœ‰ä½œã€€ã€€ã€€ã€€å®®ç” PowerPoint Presentation
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2つの最小特異値下界に対する dqds 法の収束性について 2007å¹´3月4日 山本有作    宮ç”

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2つの最小特異値下界に対する dqds 法の収束性について 2007年3月4日 山本有作    宮田考史 名古屋大学 大学院工学研究科 計算理工学専攻. 目次. はじめに 特異値計算のための dqds 法 シフトによる収束の加速 収束性理論解析 dqds 法 + Ostrowski 型下界 dqds 法 + Brauer 型下界 数値実験 まとめ. はじめに. 0. 0. 二重対角化. 対角化. 0. 0. 本研究で扱う問題 特異値分解 計算機を用いた特異値計算 行列を扱いやすい形に直交変換 直交変換で特異値は不変.

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2 dqds 2007 3 4

2つの最小特異値下界に対するdqds 法の収束性について2007年3月4日山本有作    宮田考史名古屋大学 大学院工学研究科 計算理工学専攻

slide2
目次
  • はじめに
    • 特異値計算のための dqds 法
    • シフトによる収束の加速
  • 収束性理論解析
    • dqds 法 + Ostrowski 型下界
    • dqds 法 + Brauer 型下界
  • 数値実験
  • まとめ
slide3
はじめに

0

0

二重対角化

対角化

0

0

  • 本研究で扱う問題
    • 特異値分解
  • 計算機を用いた特異値計算
    • 行列を扱いやすい形に直交変換
    • 直交変換で特異値は不変

対角成分に特異値

dqds the differential quotient difference with shift method
dqds法 (The differential quotient-difference with shift method)

0

0

LR 法による 対称正定値行列の 固有値計算

0

0

0

・・・

・・・

0

0

二重対角行列

特異値

  • 特異値計算の数値解法
    • dqds 法 (K. Fernando and B. N. Parlett 1994)
      • 高速 : Root free
      • 高精度 : 減算なし (収束を速めるシフト部分以外)

0

0

0

・・・

・・・

0

相似変換

0

0

0

0

三重対角行列

固有値 = (特異値)2

非対角成分

slide6
目的
  • 在来研究(K. Aishima et al. 2006)
    • dqds 法の収束性理論解析
      • 大域的収束性のための条件
      • Johnson 下界 (C. R. Johnson 1989)
        • 大域的な収束性保証 & 漸近的に 1.5 次収束
  • 本研究の目的
    • dqds 法の収束性理論解析
      • Ostrowski 型下界(C. R. Johnson 1989)
        • 漸近的に?次収束
      • Brauer 型下界(C. R. Johnson 1989)
        • Nakatsukasa 下界(Y. Nakatsukasa 2006)
        • 漸近的に?次収束
slide7

最小特異値に対する

いくつかの下界

slide8
シフト選択
  • 大域的収束性の十分条件
    • 0 ≦ シフト <
  • Johnson 下界(Gerschgorin の定理)
    • 大域的収束性保証 & 漸近的に 1.5 次収束
  • 本研究で用いるシフト
    • Ostrowski 型下界(Ostrowski の定理)
      • 大域的収束性保証
    • Brauer 型下界(Cassini の卵形)
      • Nakatsukasa 下界(Cassini の卵形の改良)
      • 大域的収束性保証
slide9
各下界の導出 (1)
  • Johnson下界,Brauer型下界,Nakatsukasa下界
    • 三重対角行列の最小固有値に関する下界から導かれる。
  • 補題
    • A,B をそれぞれ m×mの対称三重対角行列,上二重対角行列とし, lm(A),sm(B) をそれぞれ Aの最小固有値,Bの最小特異値とする。このとき,

  さらに,Bの二重対角成分がすべて非零ならば,狭義の不等式が

  成り立つ。

slide10
三重対角行列の最小固有値に対する下界
  • Gerschgorin 型下界
    • Gerschgorin の定理                     より
  • Brauer 型下界
    • Brauer の定理(Cassini の卵形)
  • Nakatsukasa 下界
    • Brauer 型下界で実は j = k–1 と置いてよいことがわかるので,

より

slide11
二重対角行列の最小特異値に対する下界

sm <

sm <

sm <

  • 三重対角行列に対する3つの下界に補題を適用すると,最小特異値に対する次の3つの下界を導ける。
  • Johnson 下界
  • Brauer 型下界
  • Nakatsukasa 下界

二重対角成分が非零の場合,これらはすべて狭義の下界

slide12
各下界の導出 (2)
  • Ostrowski 型下界
    • Ostrowski の定理

  を非正則行列

  に適用し,零固有値を含む領域が存在することを用いると,次の下界を導ける。

sm ≦

Ostrowski 型下界では,等号が成立する場合が起こりうる。

ostrowski
Ostrowski 型下界の等号成立条件
  • 定理: Bを二重対角成分がすべて非零の上二重対角行列とする。このとき,次の3つの条件は同値である。

(1) Bに対する Ostrowski 型下界が最小特異値を与える。

(2) Bに対する Ostrowski 型下界の式において,min の中の式が kによらずすべて同じ値を与える。

(3) Bの正規化された右特異ベクトル,左特異ベクトルをそれぞれ x,yとするとき,|yk| = |xk+1| (1≦k≦m – 1)かつ |ym| = |x1| が成り立つ。

  • これより,次のことが言える。
    • Ostrowski 型下界の値は最小特異値に一致する状況はありうるが,それは極めて特殊な場合である。
    • この状況が起こったときは,容易に検知できる。

実用上は,狭義の下界を与えると考えても問題ない。

slide14
下界のまとめと演算量
  • Johnson 下界
  • Ostrowski 型下界
  • Brauer 型下界
  • Nakatsukasa 下界
slide15
下界間の関係

大域的収束性の保証

Johnson 下界よりも

効果的なシフト(?)

より効果的なシフト

  • 下界
    • Johnson 下界 :
    • Ostrowski 型下界 :
    • Brauer 型下界 :
    • Nakatsukasa 下界 :
  • 包含関係
slide17
理論的な結果
  • 定理 1 (dqds 法 + Ostrowski 型下界)
    • 漸近的に 1.5 次収束

1 反復

  • 定理 2 (dqds 法 + Brauer 型下界)
    • 漸近的に超1.5 次収束
    • (Nakatsukasa 下界に対しても成立)

・・・

0

ostrowski 1 5
証明のあらすじ(Ostrowski 型下界 ,1/5)
  • シフトの設定法
    • Ostrowski 型下界

  を使って,シフトを次のように設定。

    • すると,(特殊な場合を除いて) 0 ≦sO(n) < sm が成り立つ。
slide20
証明のあらすじ(3/5)

n が十分大きいとき,シフト量の式が確定

brauer
証明のあらすじ(Brauer 型下界)
  • 証明の道筋は Ostrowski 型下界の場合とほぼ同じ
  • ただし,各補題の証明において,不等式のより精密な評価が必要
  • 特に,「ある整数 Nが存在して,任意の n > Nで Brauer 型下界の値が正となる」ことを示すのが難しい
slide25
数値実験
  • テスト問題
    • 厳密解の分かる上二重対角行列 B (n = 10)
      • Type 1 : (a, b) = (1.0, 0.2)
      • Type 2 : (a, b) = (1.0, 0.02)
  • 計算機環境
    • PowerPC G5 (2.0 GHz) , Memory (2.0 GB)

特異値分布が密集

type1
収束次数 (Type1)

Ostrowski 型下界

Brauer 型下界

  • Ostrowski 型下界 : 漸近的に 1.5 次収束
  • Brauer 型下界 : 漸近的に超1.5 次収束
    • Nakatsukasa 下界は,より速く収束
type2
収束次数 (Type2)

Ostrowski 型下界

Brauer 型下界

  • Ostrowski 型下界 : 漸近的に 1.5 次収束
  • Brauer 型下界 : 漸近的に超 1.5 次収束
    • Nakatsukasa 下界は,より速く収束
slide28
収束履歴

Type 1

Type 2

Johnson

Ostrowski

Brauer

Nakatsukasa

収束の速さ 1. Nakatsukasa 下界

2. Ostrowski,Brauer 型下界

3. Johnson 下界

slide29
まとめ
  • 本研究では dqds 法の収束性を理論的に解析した.
    • Ostrowski 型下界 : 漸近的に 1.5 次収束
    • Brauer 型下界 : 漸近的に 超 1.5 次収束
  • 数値実験より
    • dqds 法のシフトに Ostrowski,Brauer,Nakatsukasa 下界を用いると,

Johnson 下界よりも速く収束した.

  • 今後の課題
    • 減次を含めた場合の性能比較
    • より多様な行列での性能比較
    • より良いシフトの提案と理論解析