Моделирование систем

1. Моделирование систем Лямин Андрей Владимирович

2. Система Системой называется совокупность объектов, функционирующих и взаимодействующих между собой для достижения определенной цели.

3. u y S Математическое описание Система задается парой множеств U, Yи отношением SUY, где U – множество входов, Y– множество выходов.

4. Пример 1: Функция y=u2может быть представлена как отношения между множествами U=(-,+) и Y=[0,+), включающее все пары (u, y), для которых y=u2, т.е. UY={(u, y): y=u2}.

5. Свойства системы • Целостность: • Структурированность: • Целенаправленность: u y S u y S1 S2 J(y)= y2 min y2+a1y+a2 = 0

6. Способы исследования систем • Эксперимент с реальной системой • Эксперимент с моделью системы • Физическая модель • Математическая модель • Аналитическое решение • Имитационное моделирование

7. Моделирование систем Моделированием называется изучение системы по ее модели. Моделью называется представление системы в форме удобной для ее изучения. Математической (концептуальной) называется абстрактная модель, записанная на языке математики.

8. Аналитические модели Аналитическими называются модели, использующие алгебраические, дифференциальные и другие уравнения, а также предусматривающие осуществление однозначной вычислительной процедуры, приводящей к их решению.

9. Имитационные модели Имитационными называются математические модели, воспроизводящие алгоритм функционирования исследуемой системы путем последовательного выполнения большого количества элементарных операций.

10. Имитационное моделирование • Определение системы • Построение концептуальной модели • Алгоритмизация модели • Программирование модели • Оценка адекватности модели • Планирование экспериментов • Экспериментирование • Интерпретация результатов • Документирование

11. Формальная модель системы

12. Классификация моделей • Статические и динамические модели • Дискретные и непрерывные модели • Детерминированные и стохастические модели

13. Статические и динамические • Модель называется статической, если значение ее выхода y(t) в момент времени tопределяется только значением входа u(t) в тот же момент времени, т.е. y(t)=S[u(t)]. • Модель называется динамической, если значение ее выхода y(t) в момент времени tзависит от всего прошлого входного процесса u(t), т.е. y(t)=S[u(s), s  t ].

14. Дискретные и непрерывные Модель системы называется дискретной или непрерывной по входам, выходам и времени, если дискретным или непрерывным являются множества входов, выходов и моментов времени соответственно. Пример 3:T={0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, T={x: x>0} Пример 4:y(k+2)+a1y(k+1)+a0y(k)=u(k)

15. Детерминированные и стохастические системы Детерминированной называется модель, значение выхода которой однозначно определяется значением входного сигнала. Причины возникновения неопределенностей: • погрешности и помехи измерений; • неточность математической модели; • неполнота информации о параметрах.

16. Математические схемы • D-схемы – непрерывно-детерминированные модели • F-схемы – дискретно-детерминированные модели • P-схемы – дискретно-стохастические модели • Q-схемы – непрерывно-стохастические модели • N-схемы – сетевые модели • A-схемы – комбинированные модели

17. Непрерывно-детерминированные модели

18. m  s Примеры систем

19. Дискретно-детерминированные модели Конечным автоматом называется система S=<U, X, Y, f, g>, где U– входной алфавит, X – внутренний алфавит, Y– выходной алфавит, f – функция переходов, g – функция выходов. Автомат Мили.f: UXX, g: UXY. Автомат Мура.f: UXX, g: XY.

20. Пример системы

21. Дискретно-стохастические модели Вероятностным автоматом называется система S=<U, X, Y, Р>, где U– входной алфавит, X – внутренний алфавит, Y– выходной алфавит, Р– множество вероятностей: P(Xk=xj, Yk=yd / Xk-1=xi, Uk-1=us); i, j{1,2,…,|X|}; d{1,2,…,|Y|}; s{1,2,…,|U|}.

22. Пример системы

23. Непрерывно-стохастические модели Заявки на обслуживание Обработанные заявки Очередь Устройства Уходы Отказы Потери

24. Пример системы

25. Сетевые модели Сетевые модели описываются системой S=<B, D, I, O, M>, где B– множество позиций, D – множество переходов, I: BD{0,1}– входная функция, O: BD{0,1}– выходная функция, M – функция разметки сети.

26. Пример системы

27. Основная литература • Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. 4-е изд. – М.: Высшая школа, 2005. – 343 с. • Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. Практикум. 4-е изд. – М.: Высшая школа, 2003. – 295 с. • Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. Классика CS. 3-е изд. – СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2004. – 847 с.

28. Дополнительная литература • Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab. – СПб.: Наука, 2001. – 286 с. • Вероятностные разделы математики / Под ред. Максимова Ю.Д. – СПб.: «Иван Федоров», 2001. – 592 с. • Соболь И.М. Метод Монте-Карло. – М.: Наука, 1968. – 64с.