第三节一阶微分方程的应用

第七章　微分方程 第三节一阶微分方程的应用

y P(x, y) L O x 例1设曲线过点 (1, 1)，且其上任意点 P 的切线在 y轴上截距是切点纵坐标的三倍，求此曲线方程. 　　解　设所求的曲线方程为y = y(x)，P(x, y) 为其上任意点，则过点P 的切线方程为其中(X, Y) 是切线上动点,(x, y) 是曲线上任意固定的点.

令X = 0 ，得切线在 y 轴上的截距为 Y = y-xy， 由题意得 y-xy = 3y，这是一阶线性齐次方程，其通解为　　　　　　　　　　　　　　　　　所以曲线方程为因曲线过点 (1, 1). 代入方程，得 C = 1.

　　例2设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与他下落的速度成正比 (比例系数为常数 k > 0)，起跳时的速度为 0. 求下落的速度与时间之间的函数关系. 　　则加速度 a = v(t)运动，物体所受的外力为：解　设下落速度为v(t)， F = mg – kv，于是，由牛顿第二定律可得 mg - kv = mv，

又由题意得初始条件 v|t = 0 = 0，是一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为可见，初值问题由v(0) = 0 得C = mg. 所以，特解即为所求的函数关系.

例4假设一高温物体在冷却剂中均匀地冷却， 　　　　　　　　　　　　　　　　　物体的初始温度为 200C，且由 200C 冷却到 100C 需要 40 s. 其介质(冷却剂)温度始终保持为 10C，已知(冷却定律)：冷却速率与物体和介质的温度差成正比. 并求物体温度降到 20C所需的时间. 试求物体温度q与时间 t 的函数关系, 则物体的冷却速率为 q (t) . 解　设物体温度为 q = q (t)，由冷却定律可得 q (t) 应满足的微分方程为 q (t) = -k[q (t) -10] (k > 0) ，

另由题意知 q(t) 所满足的初始条件为 q |t = 0 = 200. 于是，初值问题是解此初值问题，得特解 q(t) = 10 + 190e-kt . 由于 (40) = 100，即 100 = 10 + 190e-40k ，因此，得

从而得物体温度 q与时间 t 的函数关系为 并解出最后，将 q = 20 代入上式，即物体温度降到 20C 大约需要 2 min38 s .

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