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第六章 哈密顿原理. §6.1 哈密顿原理 §6.2 正则方程 §6.3 泊松括号 §6.4 正则变换 §6.5 雅可毕方程. §6.1 哈密顿原理. Hamiltonian principle. 凡是以变分的形式表述的物理学原理都叫做变分原理。力学中的变分原理有微分形式和积分形式两类。虚功原理是微分式的力学变分原理。本节要叙述的哈密顿原理是分析力学中的一个很重要的原理。它是积分式的变分原理。为了使读者便于理解哈密顿原理的物理内容和数学形式，我们先简单地介绍一下变分的基本概念。.
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第六章 哈密顿原理 §6.1 哈密顿原理 §6.2 正则方程 §6.3 泊松括号 §6.4 正则变换 §6.5 雅可毕方程
§6.1 哈密顿原理 Hamiltonian principle 凡是以变分的形式表述的物理学原理都叫做变分原理。力学中的变分原理有微分形式和积分形式两类。虚功原理是微分式的力学变分原理。本节要叙述的哈密顿原理是分析力学中的一个很重要的原理。它是积分式的变分原理。为了使读者便于理解哈密顿原理的物理内容和数学形式，我们先简单地介绍一下变分的基本概念。
哈密顿原理是力学的一条基本而重要的原理。1834年英国W.R.Hamilton提出。哈密顿原理是力学的一条基本而重要的原理。1834年英国W.R.Hamilton提出。 由于哈密顿原理用到变分，它归属于力学的变分原理。
（一）变分法简介 变分法是研究泛函极值的一种数学理论，它是由力学中最速落径问题的诱导而发展起来的。由伊凡·贝努力提出来的最速落径问题是这样一个问题.
1. 最速落径问题 不考虑摩擦力和空气阻力，在连接不在同一铅直线上的任意两定点A和B（B低于A）的所有曲线中，无初速的质 点在重力作用下沿哪一条曲线轨道从A滑到B所需时间最短？ 显然，下滑时间与曲线形状有关。
设质点在某一瞬时速度为v，则滑过ds路程的时间设质点在某一瞬时速度为v，则滑过ds路程的时间 没有摩擦，保守力场机械能守恒 （坐标为z时的质点速度） z=z(x), 曲线方程 而曲线的元弧长：
注意，这里自变“量”为函数z(x). 要求t 最小，即求t 的极值,而求t的极值涉及泛函数及其变分。
2. 泛函数 自变函数：可在一定范围内变化的函数称之。 如最速落径问题，A、B固定，曲线可任意形状，亦即可有各种函数曲线，这些函数就是自变函数。 泛函数：依赖于自变函数的可变函数称为该自变函数的泛函数。泛函数亦即函数的函数。如t[z(x)]是函数z(x)的函数，其中z(x)可在一定范围内变化的泛指的函数。 泛函与复合函数不同：泛函数t= t[z(x)]中的z(x)不是确定的函数，而是在一定范围内的一类函数；复合函数J=J[z(x)]中的z(x)是一确定函数，如
（二）哈密顿原理 质点系的运动是一个客观存在的事实，力学的任务是对运动作出正确的描述。矢量力学的理论是指出一切真实运动所应服从的规律，并以此为依据，去论断各个具体运动的特征。可是分析力学并不这样。分析力学研究约束所允许的一切可能运动，设法在可能运动所构成的集合中把真实运动挑选出来。由此可见，分析力学与矢量力学在思想方法
上有重大的差别。 1. 哈密顿作用量
保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一位形保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一位形 转移到另一位形的一切可能运动中，真实运动的主函数具 有稳定值。即对于真实运动来讲，主函数的变分为零。
由拉氏方程可得 但 3.由拉氏方程推导哈密顿原理
但是 可见 一般不能对易。若 则 不等时变分 等时变分
因为 称 为作用函数或主函数
（三）、哈密顿原理的公理性 根据哈密顿原理,对于保守系
或者直接把 代入哈密顿原理可导出完整保守系的拉格朗日方程为：
A S2 S1 i h1 n1 D θ θ x n2 r h2 p θ B S1’
§6.2 正则方程 凡是以变分的形式表述的物理学原理都叫做变分原理。力学中的变分原理有微分形式和积分形式两类。虚功原理是微分式的力学变分原理。本节要叙述的哈密顿原理是分析力学中的一个很重要的原理。它是积分式的变分原理。为了使读者便于理解哈密顿原理的物理内容和数学形式，我们先简单地介绍一下变分的基本概念。
(一)、 勒让特变换 设 则 其中 也是 的函数 若选 作独立变量 函数可表为
注意 是独立变量，可得
(三)、 正则方程 将勒让特变换用于拉氏函数
代入得 又 最后得到
例6-2：在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系中分别写出自由质点在势场 U(r) 中运动的哈密顿函数.
y ω x mg vr o x 例6-3轴为竖直而顶点在下的抛物线金属丝，以匀角速ω绕轴转动，一质量为 m 的小环，套在此金属丝上，并可沿着丝滑动。求小环在 x 方向的运动微分方程。已知抛物线方程为 x2 = 4ay ，式中 a 为常数。
由于总可以先取一个坐标系 ，在此 坐标系下 ，使初始时 。那么以后各时 刻必有： 即： 所以：
§6.3 泊松括号 设 代入 (一). 泊松括号的定义
得到 其中 泊松括号 （二）泊松括号表示的正则方程
（三）泊松括号的性质 定义
若 则 反之，若 则 （四). 泊松定理
若 则 利用泊松括号，可以从正则方程的两个积分，求另一个积分
