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Rappresentazioni numeriche

Rappresentazioni numeriche. Introduzione. Un calcolatore elettronico dispone di uno spazio finito per memorizzare le cifre che esprimono un valore numerico Esempio: disponiamo di p=3 cifre decimali L’insieme S di valori rappresentabili è S={0,..,999}

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Presentation Transcript

  1. Rappresentazioni numeriche

  2. Introduzione • Un calcolatore elettronico dispone di uno spazio finito per memorizzare le cifre che esprimono un valore numerico • Esempio: disponiamo di p=3 cifre decimali L’insieme S di valori rappresentabili è S={0,..,999} • Quali sono le differenze fra S e l’insieme dei numeri interi? • In generale si perdono le proprietà di chiusura delle operazioni • Ad esempio se a,b sono interi  a+b è un intero

  3. Perdite di proprietà Esempio: p=3 cifre decimali, valori rappresentabili S={0,..,999} • di chiusura dovuta ad overflow (risultato maggiore del valore massimo rappresentabile) • 600 + 600 = 1200 (1200  S) • 50 x 50 = 2500 ( S) • di chiusura dovuta ad underflow (risultato minore del valore minimo rappresentabile) • 3-5 = -2 ( S) • Perdita proprietà associativa • a+(b-c)  (a+b)-c 700 + (400-300)  (700+400)-300; 700+400 Overflow! • Perdita proprietà distributiva • a x (b-c)  a x b – a x c

  4. Sistema di Numerazione Posizionale • E’ definito da una coppia (A,B) dove: • B>1 è un intero, detto base del sistema, ed A un insieme di simboli distinti, le cifre , con |A|=B • sistema decimale, B=10, A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} • sistema binario, B=2, A={0,1} • sistema ottale, B=8, A={0,1,2,3,4,5,6,7} • sistema esadecimale, B=16, A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} • Ogni cifra rappresenta un numero distinto compreso fra 0 e B-1 Es: B=16: 1 “uno”, 2”due”,.., A ”10”

  5. Rappresentazione Interpretazione Numeri e numerali Entità astratta Numero Numerale Numerale Trasformazione fra Rappresentazioni Esempio numerali: “dodici”, 12, XII, Analogia: gatto e cat denotano la stessa “entità” in due lingue differenti

  6. Sistema Numerazione Posizionale • Un valore numerico è rappresento da una sequenza di cifre (rappresentazione o allineamento) appartenenti ad A dk-1..d2d1d0.d-1d-2…d-p … • L’indice associato alla cifra denota la posizione della cifra che esprime il peso della cifra • Valore di di= V(di) = di x Bi PARTE-INTERA.PARTE-FRAZIONARIA

  7. Esempio: sistema decimale (base 10) 10 cifre, A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Esempio: 743.234 • d2=7, d1=4, d0=3 • V(734) = 7 x 102 + 3 x 10 + 4 • V(0.234) = 2 x 10-1 + 3 x 10-2 + 4 x 10-3 102 10-3 103 101 100 10-1 10-2 1000 100 10 1 0.1 0.01 0.001

  8. Notazione • Per evidenziare la base B del sistema di numerazione si usa la seguente notazione (X)B (X in base B) • Negli esempi seguenti, se omessa vale 10 • La cifra più a sinistra è detta cifra più significativa, quella a destra cifra meno significativa • Se B=2 si usano gli acronimi MSB (Most Significant Bit) ed LSB (Least Significant Bit)

  9. Sistema Binario (base 2) • Utilizzato dai circuiti elettronici dei calcolatori 2 cifre (bit) d  A = {0,1} • V(N) = dk-1 x 2k-1 + dk-2 x 2k-2 +.....+ d1 x 21 +d0 x 20 + d-1 x 2-1 +......+ d-p x 2-p • (1010.101)2 = 1 x 23 + 1 x 21 + 1 x 2-1 + 1 x 2-3 = (10.625)10 22 2-3 23 21 20 2-1 2-2 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125

  10. Potenze di 2 ricorrenti • 22=4 (nibble) • 23=8 (byte) • 24=16 • 25=32 • 26=64 • 27=128 • 28=256 • 29=512 • 210=1024 (K) K=Kilo • 220 = 1024K (M) M=Mega • 230 = 1024M (G) G=Giga • 240 = 1024G (T) =Tera • 250 = 1024T (P) =Peta • 216=65536 = 64 K • 232= 4 G osservazione : 1 Kb > 103bit, tuttavia: 1 Kb/s = 1000 b/s

  11. Conversione da una base ad un’altra • Problema: dato un valore rappresentato dall’allineamento N in base B1 trovare la rappresentazione N’ in base B2 (N)B1 (N’)B2 • Nel seguito, se chiaro dal contesto, N denota sia il valore che l’allineamento di cifre • Bisogna convertire separatamente le parti intera (NI) e frazionaria (NF) • (N)B1=(NI.NF)B1 • (NI)B1 (N’I)B2 • (NF)B1 (N’F)B2

  12. Conversione • I metodi dipendono dalla scelta di usare la base di partenza (B1) o quella di arrivo (B2) • Casi notevoli • B110 e B2=10 (già visto) • B1=10 , B210 • Poiché si ha familiarità con la base B=10 quando le due basi sono diverse da 10 conviene (più intuitivo) fare due trasformazioni successive • da B1 a base 10 • da base 10 a B2

  13. Conversione da B a 10 Già visto (1010.101)2 = 1 x 23 + 1 x 21 + 1 x 2-1 + 1 x 2-3 = (10.625)10 (721)8 7 x 82 + 2 x 81 + 1 x 80 = 7x64 + 16 + 1 = 448 +17=(465)10 (134) 5  1 x 52 + 3 x 51 + 4 x 50 = 25 + 15 + 4 = =(44)10

  14. Algoritmo di conversioneda base 10 a B (N intero) Esempio: (25)10 = (??)2 N intero da convertire, B base di arrivo i0; while N<>0 do 1. diN mod B 2. NN/B 3. ii+1 endwhile (25)10 = (11001)2

  15. Esempio (30)10 = (??)16 (30)10 = (1E)16 (30)10 = (11110)2

  16. Conversioneda base 10 a B (N>0, intero) • Osservazione: per ogni intero B (1<BN): N = Q x B + R [1] Q (Q<N) è il quoziente della divisione fra interi (divisione Euclidea) ed R (0R<B) il resto • Notazione Q = N/B (quoziente) R = N mod B (resto) • Sia V(N) = dk-1Bk-1 + .. + d1B + d0 dk-1Bk-1 + .. + d1B + d0 = B(dk-1Bk-2 + .. + d1) + d0 e quindi (vedi [1]) : d0=N mod B, e dk-1Bk-2 + .. + d1 = N / B

  17. Conversioneda base 10 a B (0<N<1)Parte frazionaria N = d-1B-1 + d-2B-2+. + d-mB-m+ .. + … NB= d-1B0+ d-2B-1 .. + d-mB-m+1+ … + … = d-1+ (d-2B-1 +.. + d-mB-m+1+ ..+ ..) = I+ N’ (I=intero, N’<1) Quindi:d-1 = parte intera di NB (=trunc(NB) ) N’ = NB - d-1= (d-2B-1 .. + d-mB-m+1+ ..+ ..) • Le altre cifre si isolano in modo analogo: d-2 = parte intera di N’B • Finché precisione voluta oppure N=0

  18. Esempio: (0.8125)10 = (??)2 N 2N Trunc(2N) Cifra 0.8125 1.625 1 d-1=1 0.625 1.25 1 d-2=1 0.25 0.5 0 d-3=0 0. 5 1.0 1 d-4=1 0 (0.8125)10 = (0.1101)2 Algoritmo di conversione da base 10 a B (0<N<1) N<1 valore frazionario da convertire, B base di arrivo, m cifre (precisione) i1; while N<>0 and im do 1. d-itrunc (NB); 2. NNB - d-i; 3. Ii+1 endwhile

  19. Esempio: (12.25)10 (..)2 • 12/2 = 6 resto 0  d0=0 • 6/2 = 3 resto 0  d1=0 • 3/2 = 1 resto 1  d2=1 • 1/2 = 0 resto 1  d3=1 • 0.25 x 2 = 0.50, parte intera 0  d-1=0 • 0.50 x 2 = 1.0, parte intera 1  d-2=1 (12.25)10 (1100.01)2

  20. Esempionumeri periodici Esempio: (0. 2)10 = (??)2 (0.2)10 = (0.0011)2 Se un numero è periodico in base 10 allora lo è anche in base 2 L’affermazione opposta non è vera

  21. Altre basi notevoliBasi 8 e 16 • Esempio: • (721)8 7 x 82 + 2 x 81 + 1 x 80 = 7x64 + 16 + 1 = 448 +17=(465)10 • (0.1)8 1/8 = (0.125)10 • Esempio: • (721)167 x 162 + 2 x 161 + 1 x 160 = 7x 256 + 32 + 1 = 1792 + 33 = (1825)10 • (0.1)16 1/16 = (0.0625)10 • Nota: nel caso rappresentazioni esadecimali è prassi anteporre 0x, oppure il suffisso H • Ex: 0x721, 721H

  22. Relazione fra le basi 2/8/16 Da base 16(2) a 2(16) (E54)16 (1110 0101 0100)2 Da base 8(2) a 2(8) (621)8 (110 010 001)2 (E54)16 (1110 0101 0100)2 (111 001 010 100)2 (7124)8 Da base 16(8) a 8(16)

  23. Riepilogo divisioni successive (N intero ) prodotti successivi (N<1) B10 10 sviluppo del polinomio 2 8 16

  24. Rappresentazione valori interi negativi • Esistono diversi metodi • Modulo e segno • Complemento a uno (obsoleto) • Complemento a due • Eccesso 2m-1

  25. Modulo e segno • E’ il più immediato da comprendere • Si dedica un bit al segno ed i rimanenti al modulo • Di regola 1 denota il segno - • Esempio • -15  |15| = (1111)2  -15 = (11111)2 • 15  (01111)2 • Con k bit l’intervallo di dei valori rappresentabili è S=[-2k-1-1,..,2k-1-1] • Doppia rappresentazione di 0

  26. N 0 N 2K-1 –1 C(k,N)= 2k-|N| -2K-1 N –1 Complemento a 2 • Fissato un numero k>1 di cifre binarie, il complemento a 2 su k bit di un intero N, N  S={-2K-1,..2K-1 –1} ,è • Una definizione alternativa è C(k,N) = (N + 2k) mod 2k

  27. Proprietà Perché usare la rappresentazione in complemento? Semplifica le operazioni aritmetiche La differenza X – Y può essere calcolata mediante la somma dei complementi: C(x-y)=C(x)+C(-y) • In generale la somma algebrica diventa somma aritmetica • Semplificazione dei circuiti elettronici che eseguono le operazioni

  28. Calcolo del complemento • Rappresentare il valore assoluto di N in base • Invertire tutti i bit ed aggiungere 1 Esempio: rappresentare N=–25 in complemento su k=8 bit. |-25| = 25 = 16+8+1 00011001 (25) 11100110 + (Inverto i bit) 1 = (sommo 1) 11100111 (231) Secondo metodo: • Rappresentare il valore assoluto di N in base 2 • Partendo da destra, lasciare invariati tutti i bit fino al primo bit 1, poi invertire gli altri

  29. Valore espresso in base 2 • Il valore della stringa di bit S=(bk-1..b2b1b0), supposto che essa esprima un numero in complemento a 2 su k bit, è V(S)=-bk-12k-1 + Sbi2i • Pertanto • bK-1 = 0  numero positivo • bK-1 = 1  numero negativo • Attenzione, MSB non è un bit di segno! • Per ottenere il corrispondente valore di segno opposto non e’ sufficiente invertire solo MSB

  30. Altri esempi = 4+1 = 5 =-8+4+1= -3 = 1 più piccolo positivo =4+2+1 =7 più grande positivo =-8+4+2+1=-1 più piccolo negativo =-8 più grande negativo Esempio: k = 4 bit -23 22 21 20Peso -8 4 2 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0

  31. Altri esempi • k=8 bit, pesi=<-128,64,32,16,8,4,2,1> • 11110000, rappresenta –128+64+32+16 = -16 • 10000000, rappresenta –128 • 11111111, rappresenta -128+64+32+16+8+4+2+1=-1 • 00000000, rappresenta 0

  32. Differenza di numeri in complemento La differenza X – Y può essere calcolata mediante la somma dei complementi: C(x-y)=C(x)+C(-y) Esempio: X-Y; X=21 e Y=23, con k=2 cifre decimali: • C(21)=21, C(-23)=100-23=77 • 21+77 = 98 = C(-2) Ciò vale in generale : • Se Y>X, ossia (X-Y<0), allora: C(X-Y)=(def) Bk - |X-Y| = Bk -(-(X-Y)) = Bk -Y+X, ma per definizione ciò è uguale a C(X)+C(-Y) • Il caso YX verrà trattato fra breve • Nota: In questo caso non può mai verificarsi overflow (dimostrazione come esercizio)

  33. Differenza di numeri in complemento Eseguiamo ora la differenza fra X=23, Y=21, con k=2 cifre decimali • C(23)=23, C(-21)=100-21=79 • 23+79 = 102 = C(2) + 100 Ciò vale in generale: • Se XY, ossia (X-Y0), allora: C(X-Y)=(def) X-Y • d’altra parte C(X)+C(-Y) =X+Bk –Y  Bk • X >Y implica C(X)+C(-Y) =X+Bk –Y = C(X-Y)+Bk • nota: X,Y  S={-Bk/2..Bk/2-1}  X-Y<Bk • Pertanto C(X-Y)=C(X)+C(-Y).. a meno di un fattore Bk

  34. Esempio Fissiamo Base B=10, k=2  102= 100 • X=23, Y=21 • -X-Y = ? Algoritmo • Calcolo complemento di X, X’=C(-23)=100-23=77; • Calcolo complemento di Y, Y’=C(-21)=100-21=79 • Eseguo la somma, X’+Y’=156 • Sottraggo 100 se la somma è > 100: 156-100 = 56 • Il risultato è il complemento di -X-Y, 56 = C(-44)

  35. Perché il risultato è corretto? -44 -23 -21 Complemento Complemento di 77 + 79 = 100 + 56 (100-23) + (100-21) = 100 + (100-44) Per definizione è uguale a C(-44)!

  36. Caso generale… • -X-Y  • Bk-X + Bk-Y = Bk + Bk-X-Y = Bk + C(-X-Y) • Eliminando il valore Bk si completa la dimostrazione • La somma dei complementi di -X e -Y è congruente(*) () modulo Bk con il complemento della differenza C(-X)+C(-Y) C(-X-Y) (= C(-X-Y) + Bk) • Affinché il risultato ottenuto con il metodo illustrato sia corretto è necessario che -X-Y cada nell’intervallo dei valori rappresentabili • Per B=2 e k bit, S={-2k-1,..2k-1 –1} (*)Fissato un intero M>1, due interi X ed Y sono congruenti modulo M se la loro differenza contiene M un numero intero di volte

  37. Altro esempio • Questa volta B=2, k=4 24=16, valori rappresentabili={-8..7} • Lavoriamo in base 2 • X=-1, Y=-3 • C(-1)=16-1=15  11112 • C(-3)=16-3=13  11012 1111 + (15) 1101 = (13) 11100 - (28) 10000 = (16) 1100 Per eliminare il contributo 24, tralascia MSB!

  38. Un “regolo” per i calcoli in complemento 2 - 3 (2+5) mod 8 = 7 mod 8 = 7 -1 3 – 2 (3+6) mod 8 = 9 mod 8 = 1 1 -1 - 3  (7 + 5) mod 8  12 mod 8 = 4  -4 N C (3,N) complemento 0 7 1 0 -1 1 |N| + C(3,N)=8 2 6 -2 2 -3 3 -4 5 3 4 valore rappresento

  39. Esempio • -5 + 2 (su K=8 bit) • Troviamo la rappresentazione di -5 in complemento • |-5|=5=4+1 0000 0101  1111 1011 1111 1011 (-5) 0000 0010 (+2) 1111 1101 (-3) • Verifica: 1111 1101  -128 + 64 +32+16+8+4+1 = -3

  40. Rappresentazione eccesso 2m-1 • Il valore N viene rappresentato da N+2m-1 • Range di valori [-2m-1...2m-1–1] • Una rappresentazione dello 0 • Per passare dalla rappresentazione eccesso 2m-1 al complemento a 2 su m bit si deve invertire il bit MSB • Esercizio: Dimostrare per esercizio

  41. Operazioni aritmetiche • Somma • Sottrazione • Prodotto • Divisione

  42. Regole per la somma Cin A BCoutSi 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0  1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 la coppia di valori (Cout,Si) indica il numero di “uno”, espresso in base 2 attenzione a due queste configurazioni …. sono le uniche in cui Cin<>Cout In generale: Cin e’ il il riporto (carry) generato dalla somma dei bit di peso i-1 Cout è il riporto generato dalla somma dei 2 bit A,B di peso i Somma di due bit A e B Cout Cin + A + B = ------------ Si

  43. Riporto (carry) 64+16+4+ 1 = 85 Somma binaria • BASE B=2 • 0+0=0 • 0+1=1 • 1+0=1 • 1+1=10 =(2)10 • 1+1+1=11 =(3)10 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 + (56)10 0 1 1 1 0 1 = (29)10 ---------------------- (85)10 1 0 1 0 1 0 1 La somma di due numeri a k bit e’ rappresentabile al piu’ con k+1 bit Se abbiamo a disposizione k bit ed il risultato richiede k+1 bit si ha overflow

  44. Somma algebrica in complemento • Esprimere gli operandi in complemento alla base • La rappresentazione in complemento differisce solo per i valori negativi • Eseguire la somma • Trascurare l’eventuale riporto • Se non si è verificato overflow, allora la somma rappresenta il risultato espresso in complemento • Si verifica overflow quando gli operandi hanno lo stesso segno ed il risultato ha segno opposto

  45. 1000 (riporti) 1101 + (-3) 1010 = (-6) (1)0111 (7!) Overflow, esempio • Eseguire su k=4 bit la differenza: –3-6 |-3|  2+1  0011  1101 |-6|  4+2  0110  1010

  46. Rilevazione overflow • Si e’ verificato OVERFLOW se: • i due operandi hanno lo stesso segno • Il risultato ha il segno diverso dagli operandi • ma……. 0100 +5 + 0101 +6 = 0110 ------- => ----------- +11 01011 => -5 1000 -3 + 1101 -6 = 1010 ------- => ----------- -9 10111 => 7 ……il verificarsi dell’overflow implica la disuguaglianza del riporto in ingresso e quello in uscita dalla posizione MSB (Cin<>Cout) L’overflow si può rilevare testando la condizione “Cin<>Cout” di MSB

  47. Estensione del segno • Problema: • Sia dato un intero N, rappresentato in complemento mediante k bit • Rappresentare N usando k+q bit (q>0) • Soluzione: • Fare q copie di MSB • Dimostrazione (banale per N positivo) • Sia N<0 (N=1bb…b , dove b è una cifra binaria) • Per induzione: Sia Nq la stringa con estensione di q bit • q=1: Poiché –2K–1=–2K +2K–1, allora V(N)=V(N1). • q>1: estendere di un bit la stringa ottenuta da N con estensione di q-1 bit  V(Nq)=V(Nq-1) • Esempio • -2 = (110)2 con 3 bit diventa (111110)2 su 6 bit

  48. Prodotto e divisione per 2k • Il prodotto di N per 2k si ottiene postando di k posizioni le cifre a sinistra ed inserendo k bit pari a zero • La divisione di N per 2k si ottiene postando di k posizioni le cifre a destra ed inserendo k bit pari al valore di MSB (shift aritmetico) • Esempio : -128/8 = -16 (8=23) 1000 0000  (3 posizioni a destra) 1111 0000 = (-16)10 • Esempio : -128/8 = -16 (8=23) • Esercizio: verificare tale regola

  49. Prodotto e divisione per 2k • Se N è un numero senza segno, allora il prodotto (divisione) per 2k si ottiene spostando (shift) le cifre a sinistra (destra) di k posizioni ed introducendo 0 nelle posizioni lasciate libere Esempio: 15 x 4= 60 (4=22,shift 2 posizioni) 0000 1111  0011 1100 Esempio: 128 / 2= 64 (2=21, shift 1 posizione) 1000 0000  0100 0000 Attenzione: nel caso di rappresentazioni con segno questa regola non vale..

  50. Prodotto e divisione per 2k • N=2ndn + 2n-1dn-1+… + d0 • N’=2N = 2n+1dn + 2ndn-1+… + 2d0+0 • N’=2n+1d’n+1 + 2nd’n+… + 2d’1 +d’0 • d’i=di-1(i>0) e d’0=0

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