Теория и практика программирования задач на ЭВМ

1. Теория и практика программирования задач на ЭВМ

2. Содержание курса • Введение в численные методы • Методы решения СЛАУ • Исчисление конечных разностей • Задача интерполяции • Интерполяционный многочлен Лагранжа • Интерполяционный многочлен Ньютона • Сплайн-интерполяция • Метод наименьших квадратов • Численное дифференцирование • Численное интегрирование: Методы прямоугольника Метод трапеции Метод парабол (метод Симпсона) • Введение в Matlab • Примеры программной реализации

3. Список литературы • Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. • Руководство MATLAB • А.А.Самарский, А.В.Гулин.  Численные методы М.: Наука, 1989. • А.А.Самарский.  Введение в численные методы М.: Наука, 1982. • Петров И.Б., Лобанов А.И. Введение в вычислительную математику.

4. Введение в численные методы Первое применение вычислительных методов принадлежит древним египтянам, которые умели вычислять диагональ квадрата за конечное количество действий. Они также могли находить квадратный корень из 2, скорее всего, с помощью алгоритма, в дальнейшем получившего название формулы Герона, а еще позднее — метода Ньютона: uk+1=1/2(uk+2/uk), u0=a Пример. Решается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка: u''(t) = u(t), u(0) = 1, u'(0) = - 1. Общее решение имеет вид u(t) = 0,5[u(0) + u'(0)]et + 0,5[u(0) - u'(0)]e- t. При заданных начальных данных точное решение задачи: u(x) = e-t, однако малая погрешность δ в их задании приведет к появлению члена δe-t, который при больших значениях аргумента может существенно исказить решение.

5. Определение:Погрешность измерения — оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.

6. Определение: Абсолютная погрешность измерения (англ. absolute error of a measurement) – погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины.

7. Определение:  Относительное удлинение  - это отношение приращенной в результате растяжения длины к первоначальной длине образца, выраженное в процентах

8. Определение: Относительная погрешность измерения (англ. relative error) – погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или измеренному значению измеряемой величины.Примечание. Относительную погрешность в долях или процентах находят из отношений:

9. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений • Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): • После (n-1)-го шага алгоритма Гаусса получаем следующую расширенную матрицу с контрольными суммами, содержащую верхнюю треугольную матрицу СЛАУ

10. Пример. Методом Гаусса решить СЛАУ:

11. Теория приближений (1)

12. Исчисление конечных разностей

13. Задача интерполяции

14. Интерполяционный многочлен Лагранжа

15. Интерполяционный многочлен Ньютона В случае равноудаленных центров интерполяции, находящихся на единичном расстоянии друг от друга, справедлива формула:

16. Сплайн-интерполяция

17. Кубический сплайн

18. Метод наименьших квадратов

19. Численное дифференцирование

21. Численное интегрирование Впервые разработал И. Ньютон. Численное интегрирование основано на том, что функция заменяется интерполяционным многочленом: F(x)=Р(х) Р(х)=a0+a1x1+a2x2+…+anxn (строится по точкам, то есть P(xi)=F(xi)

22. Применение численных методов Т.к. не все функции интегрируютсяаналитическими способами, то приходится применять численные методы. Функция y=F(x) заменяется интерполяционным многочленом P(x), который в точках xiравен значению функции P(xi)=F(xi)

23. у b a x Геометрическая интерпретация Интеграл – площадь криволинейной (подинтегральной) трапеции, одной из боковых сторон которой является кривая У=F(x)

24. Методы интегрирования В зависимости от степени интерполяционного многочлена выбираются различные методы интегрирования, в частности • Методы прямоугольника 1. Слева 2. Справа • Метод трапеции • Метод парабол (метод Симпсона)

25. Метод прямоугольника Для методов прямоугольника выбирается интерполяционный многочлен 0-порядка Р(х)=a0

26. у2 у0 y у1 x0 x1 x2 xn x a b Метод прямоугольника слеваР(х0)=у0 Для метода прямоугольника слева интерполяционный многочлен Р(хi)=уi

27. у2 у0 y у1 x0 x1 x2 xn x a b Метод прямоугольника слева

28. Метод прямоугольника слева На отрезке [a, b] интеграл будет равен площади n-прямоугольников Интеграл слева вычисляется по формуле:

29. Rn- погрешность где Rn- погрешность, которая вычисляетсяпо формуле:

30. y2 y1 y yn x x0 x1 x2 xn a b Метод прямоугольника справа Р(х0)=у1 Для метода прямоугольника справа интерполяционный многочлен Р(хi)=уi+1

31. y2 y1 y yn x x0 x1 x2 xn a b Метод прямоугольника слева

32. Метод прямоугольника справа На отрезке [a, b] интеграл будет равен площади n-прямоугольников: Интеграл справа вычисляется по формуле:

33. Rn- погрешность где Rn- погрешность, которая вычисляетсяпо формуле:

34. y x x0 x1 x2 xn a b Метод трапеций

35. Метод трапеций Для метода трапеций выбирается интерполяционный многочлен 1-порядка F(x)=P(x) =a0+а1х и нам известно, что F(x0)=y0 , F(x1)=y1 Построим интерполяционный многочлен

37. y x Интеграл по методу трапеции Таким образом, интеграл, вычисляемый по методу трапеции на отрезке [a, b] равен: b

38. Rn – погрешность • где Rn – погрешность для метода трапеций, вычисляемая по формуле:

39. y у2 у0 у1 x x0 x1 x2 xn a b Метод Симпсона (парабол).

40. y у2 у0 у1 x x0 x1 x2 xn a b Метод Симпсона (парабол) Для этого метода промежуток разбиваем на чётное количество частей и считаем, что нам известны 3 точки: y0=F(x0) y1=F(x1) y2=F(x2)

41. Метод Симпсона (парабол)

42. Метод Симпсона (парабол) Убедимся в том, что P(x2)=F(x2): Заметим, чтоx2=x0+2h P(x)=y0+2y1-2y0+y2-2y1+y0=y2

43. Метод Симпсона (парабол) На отрезке [x0, x0+2h] интеграл вычисляется по формуле:

44. Интеграл для метода Симпсона на отрезке [a, b] вычисляется по формуле:

45. Rn – погрешность • где Rn – погрешность, вычисляемая по формуле:

47. Работа с матрицами в среде MatLab

49. Оператор двоеточия

50. Автоматическое создание матриц • zeros – нулевая матрица • rand – двумерное равномерное распределение • randn – двумерное нормальное распределение • ones- матрица, состоящая из единиц