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数 值 分 析

数 值 分 析. 李庆扬 王能超 易大义 编. （第 4 版）. 清华大学出版社 施普林格出版社. 数值分析课程 学时： 50 ＋ 10 讲课时间： 3 ～ 16 周 上机时间： 16 ～ 18 周 平时成绩：上机 测验 作业 出勤 期末考试：半开卷. 教师：罗蕴玲 电话： 81720522 E-mail: yunlingluo@126.com 办公室： 1 － 812 答疑时间： 周一下午 2 ： 30 － 4 ： 30

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数 值 分 析

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  1. 数 值 分 析 李庆扬 王能超 易大义 编 （第 4 版） 清华大学出版社 施普林格出版社

  2. 数值分析课程 学时：50＋10 讲课时间：3～16周 上机时间：16～18周 平时成绩：上机 测验 作业 出勤 期末考试：半开卷 教师：罗蕴玲 电话：81720522 E-mail: yunlingluo@126.com 办公室：1－812 答疑时间： 周一下午2：30－4：30 周三下午3：30－5：00 具体考核方案

  3. 第1章 绪 论 1.1 数值分析研究对象与特点

  4. 先看两个例子。 例1求方程 x2=2sinx，在区间(1,2)内的根。 理论上可知显然找不出根的解析式，即无法求出精确解。 例2用Cramer法则求解n元线性方程组。 显然理论上可行，且有精确表达式。实际计算时会出现什么问题呢？

  5. 最终提供的是针对各类数学问题的数值算法（即计算公式、计算方案、计算过程）最终提供的是针对各类数学问题的数值算法（即计算公式、计算方案、计算过程） 看用数学和计算机解决实际问题的过程： 实际问题 应用数学研究的任务 数学模型 数值计算方法 数值分析研究的对象 上机计算求出结果

  6. 数值分析提供的算法具有下面四个特点： 1、面向计算机 2、有可靠的理论分析 3、具有好的计算复杂性 4、通过数值实验验证有效性

  7. 本门课程学习的主要内容： 误差分析，插值法与拟合，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法和迭代方法，非线性方程求根，矩阵特征值问题计算．

  8. 如何进行学习？ 1. 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本 任务，主动适应“公式多”的特点；2. 注重各章建立算法的问题的提法，搞清问题的基 本提法，逐步深入；3. 理解每个算法建立的数学背景，数学原理和基本 线索，对最基本的算法要非常熟悉；4. 认真进行数值计算的训练，学习各章算法完全是 为用于实际计算，必须真会算。

  9. 本课程的基本要求 • 掌握数值方法的基本原理 • 掌握常用的科学与工程计算的基本方法 • 能用所学方法在计算机上算出正确结果

  10. 课程学习结束后你具备的能力 1. 对具体的数值计算问题，你会选择合适的算法，并通过计算机计算出正确结果； 2. 对给定的算法会从理论上分析其优劣性； 3. 会根据原理构造解决较简单数值计算问题的算法。

  11. 结果 不可靠 1.2 数值计算的误差 1.2.1 误差来源与分类 引言——为什么要进行误差分析？ 例1 用具有舍入功能的八位计算器直接计算下式： 结果为 事实上

  12. 计算机上 计算机上 例2 用求根公式在尾数为八位的浮点计算机上，求下面方程的根： 解 求得 事实上

  13. 建立数 学模型 上机求解 确定数 值解法 用计算机解决实际问题的一般过程 数值分析解决的问题 应用数学解决的问题 实际问题 截断误差 舍入误差 模型误差、观测误差 在此主要研究这两种误差

  14. 则 叫做近似值的误差限， 设 为准确值， 为 的一个近似值， 误差 可正可负，当绝对误差为正时近似值偏大，叫 强近似值； 通常准确值 是未知的， 因此误差 也未知. 一、绝对误差 1.2.2 误差与有效数字 定义1 称 为近似值的绝对误差， 简称误差. 当绝对误差为负时近似值偏小，叫弱近似值. 若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界，即 它总是正数.

  15. 对于一般情形 ， 解 因为 ，而 即 也可以表示为 所以 注意:（1）绝对误差限不是唯一的，但越小越好； （2）绝对误差限的大小并不能完全表示近似值的好坏。

  16. 把近似值的误差 与准确值 的比值 称为近似值 的相对误差， 记作 . 由于真值 总是未知的， 条件是 较小， 作为 的相对误差， 二、相对误差 定义2 通常取 实际计算中， 此时利用 知

  17. 是 的平方项级， 即 记作 ， 故可忽略不计. 相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，

  18. 当准确值 位数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到 的前几位近似值 ， 三、有效数字 例如 取3位 取5位 即 它们的误差都不超过末位数字的半个单位，

  19. 若近似值 的误差限是某一位的半个单位， 该位到 的第一位非零数字共有 位，就说 有 位有效数字. （2.1） 其中 是0到9中的一个数字， 为整数， （2.2） 定义3 表示为 且 例如 3.142，3.141,3.1416分别作为π的近似值时分别有几位有效数字?

  20. 若以km/s2为单位， ，它们具有几位有效数字？绝对误差和相对误差有区别吗？与量纲有关吗？ （2.1） 重力常数g， 如果以 m/s2 为单位， 例4 因为按第一种写法 按(2.1)的表示方法， 按第二种写法 这里 它们虽然写法不同，但都具有3位有效数字.

  21. 至于绝对误差限，由于单位不同所以结果也不同,至于绝对误差限，由于单位不同所以结果也不同, 但相对误差都是 注意相对误差与相对误差限是无量纲的，而绝对误差 与误差限是有量纲的. 例4说明有效位数与小数点后有多少位数无关.

  22. 从(2.2)可得到具有 位有效数字的近似数 ，其绝对 误差限为 在 相同的情况下， 越大则 越小，故有效位数越 多，绝对误差限越小. （2.2）

  23. 关于有效数字说明 ① 用四舍五入取准确值的前n位x*作为近似值,则x*必有n位 有效数字。如3.142作为 的近似值有4位有效数字，而 3.141为3位有效数字； ② 有效数字相同的两个近似数，绝对误差不一定相同。例 如，设x1*=12345,设x2*=12.345,两者均有5位有效数字但 绝对误差不一样  x - x1* = x - 12345 ≤ 0.5= 1/2  100  x - x2* = x - 12.345≤0.0005=1/210-3 ③ 把任何数乘以10p(p=0,1,…)不影响有效位数； ④ 准确值具有无穷多位有效数字,如1/2=0.5 因0.5是真值, 没有误差,*=0,因此n,准确值具有无穷位有效数字。

  24. 设近似数 表示为 其中 是0到9中的一个数字， 为整数. 若 具有 位有效数字， 若 的相对误差限 ， 则 至少具有 位有效数字. 四、有效数字与相对误差限的关系 定理1 则其相对误差限为 反之，

  25. 要使 的近似值的相对误差限小于0.1%，需取 设取 位有效数字， 由于 故只要取 ， 知 ， 即只要对 的近似值取4位有效数字，其相对误差限就 小于0.1%. 此时由开方表得 . 例5 几位有效数字? 由定理1 就有

  26. 设 是一元函数， 的近似值为 ，以 近 似 ，其误差界记作 ， 1.2.3 数值运算的误差估计 一般情况下，当自变量有误差时函数值也产生误差， 其误差限可利用函数的微分进行估计. 利用微分 由此可得：

  27. 当 为多元函数，如计算 时, 的近似值为 ， 则 的近似值为 函数值 的误差 为 如果 于是由全微分， 于是误差限

  28. 而 的相对误差及相对误差限限分别为

  29. 练习：

  30. 例如计算函数值 时， 若 有扰动 ，其 函数值 的相对误差为 相对误差为 ， 1.3 误差定性分析与避免误差危害 1.3.1 病态问题与条件数 对一个数值问题本身, 如果输入数据有微小扰动（即误 差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，这就是病 态问题.

  31. （3.1） 称为计算函数值问题的条件数. 自变量相对误差一般不会太大，如果条件数 很大， 相对误差比值 将引起函数值相对误差很大，出现这种情况的问题就是病态问题.

  32. 例如， ， 它表示相对误差可能放大 倍. 如 ， 若取 有 ， 自变量相对误差为 ， 函数值相对误差为 ， 一般情况下,条件数 就认为是病态， 越大 病态越严重. 则有 这时问题可以认为是病态的.

  33. 计算 并估计误差. 由分部积分可得计算 的递推公式 （3.2） 1.3.2 算法的数值稳定性 用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中传播 使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定的. 例6 问题：由递推公式（3.2）可以构造几种计算积分序列{In}(n=1,2, …,N)的算法？假设计算中只有初始值带有误差，计算过程中不 产生新的误差，请判断哪种方法能给出更精确的结果。

  34. 算法A：计算公式为 若初值 有误差 则由此引起以后各步计算的误差 满足关系 记 ， 则 ， 比 缩小了 则 这说明 的误差被放大了 倍. 算法B：计算公式为 倍。 显然算法B的计算结果更精确、更可靠，当用算法A计算时， 由于误差传播是逐步扩大的，因而计算结果不可靠. 看数值计算结果，见书p13. 此例说明，数值不稳定的算法是不能使用的.

  35. 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过 程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称 此算法为不稳定的. 定义4 在例6中算法（B）是数值稳定的，而算法（A）是不 稳定的.

  36. 用绝对值小的数作除数舍入误差会增大，如计算 若 1.3.3 避免误差危害的若干原则 数值计算中首先要分清问题是否病态和算法是否数 值稳定，计算时还应尽量避免误差危害，防止有效数字 的损失，有下面若干原则. 1. 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法 ， 则可能对计算结果带来严重影响，应尽量避免.

  37. 0位有效数字 8位有效数字 8位有效数字 2. 要避免两相近数相减 在数值计算中两相近数相减有效数字会严重损失. 分析前述例1 这说明必须尽量避免出现这类运算. 最好是改变计算方法，防止这种现象产生.

  38. 类似地，如果 和 很接近时，由 当 很大时， 改变计算公式： 精度提高了很多。此例说明，可通过改变计算公式避免或 减少有效数字的损失。 用右边算式有效数字就不损失. 也应该用右端算式代替左端.

  39. 3. 要防止大数“吃掉”小数 在数值运算中参加运算的数有时数量级相差很大， 而计算机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉”小数的现象，影响计算结果的可靠性. 前面用求根公式求根的例2中， 现改变计算公式如下：

  40. 4. 注意简化计算步骤，减少运算次数 同样一个计算问题，如果能减少运算次数，不但可节省计算机的计算时间，还能减少舍入误差. 这是数值计算必须遵从的原则，也是“数值分析”要研究的重要内容.

  41. 只要 次乘法和 次加法就可算出 的值. 若直接计算 再逐项相加，一共需做 次乘法和 次加法. 例7 计算多项式 的值， 若采用秦九韶算法 在“数值分析”中，这种节省计算次数的算法还有不少.

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