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§1.2 概率的定义及计算

频率. 则称 为事件 A 发生的 频率. §1.2 概率的定义及计算. 设在 n 次试验中，事件 A 发生了 m 次，. 非负性. 归一性. 可加性. 稳定性. 某一 定数. 频率的性质. 事件 A , B 互斥，则. 可推广到有限个两两互斥事件的和事件. 频率稳定性的实例. 可见 , 在大量重复的试验中 , 随机事件出现的 频率具有稳定性 . 即通常所说的 统计规律性. 例 Dewey G. 统计了约 438023 个英语单词 中各字母出现的频率 , 发现各字母出现 的频率不同：.

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§1.2 概率的定义及计算

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Presentation Transcript

  1. 频率 则称 为事件 A 发生的 频率 §1.2 概率的定义及计算 设在 n次试验中，事件 A发生了m次，

  2. 非负性 归一性 可加性 稳定性 某一定数 频率的性质 • 事件 A, B互斥，则 可推广到有限个两两互斥事件的和事件

  3. 频率稳定性的实例

  4. 可见, 在大量重复的试验中, 随机事件出现的频率具有稳定性. 即通常所说的统计规律性.

  5. 例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率, 发现各字母出现 的频率不同： A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006

  6. 概率的定义 概率的 统计定义 在相同条件下重复进行的 n次 试验中, 事件 A发生的频率稳定地在某一 常数 p 附近摆动,且随 n 越大摆动幅度越 小, 则称 p 为事件 A的概率, 记作 P(A).

  7. 注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义。注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义。

  8. 非负性： • 归一性： • 可列可加性： 其中 为两两互斥事件 概率的公理化定义 设  是随机试验E 的样本空间，若能找到 一个法则，使得对于E的每一事件 A 赋于一个 实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种 赋值满足下面的三条公理：

  9. 两两互斥 • 有限可加性: 设 • 若 概率的性质

  10. AB A B - AB • 对任意两个事件A, B, 有 B=AB+(B – A) B P(B)=P(AB)+ P(B – AB)

  11. 加法公式：对任意两个事件A, B, 有 推广：

  12. 右端共有 项. 一般：

  13. 例3：在110这10个自然数中任取一数，求 （1）取到的数能被2或3整除的概率， （2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率， （3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。 解:设A—取到的数能被2整除;B--取到的数能被3整除 故

  14. 加法原理 完成一件事情有n类方法，第 i类 方法中有 mi种具体的方法，则完成这件事情 共有 种不同的方法. 乘法原理 完成一件事情有n个步骤，第 i个 步骤中有 mi种具体的方法，则完成这件事情 共有 种不同的方法. 组合记数 (复习)

  15. 排列从 n 个不同的元素中取出 m个 (不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有 全排列 可重复排列从 n个不同的元素中可重复地 取出 m个排成一排, 不同的排法有 种.

  16. 组合从 n 个不同的元素中取出 m个(不放 回地）组成一组， 不同的分法共有 重复组合 从 n个不同元素中每次取出一个， 放回后再取下一个，如此连续取r次所得的组合 称为重复组合，此种重复组合数共有

  17. 例4: 两批产品各50件,其中次品各5件,从这两批产品中各抽取1件, (1)两件都不是次品的选法有多少种? (2)只有一件次品的选法有多少种? 解 (1) 用乘法原理,结果为 (2)结合加法原理和乘法原理得选法为:

  18. 古典（等可能）概型 设 随机试验E具有下列特点： 概率的 古典定义 • 基本事件的个数有限 • 每个基本事件等可能性发生 则称E为古典(等可能)概型 古典概型中概率的计算： 记 则

  19. 例5: 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。 1、抽球问题 解: 设A-----取到一红一白 答:取到一红一白的概率为3/5

  20. 一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是 在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于使问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。

  21. 例6袋中有a只白球，b只红球，从袋中按 不放回与放回两种方式取m个球（ ), 求其中恰有 k个 （ ）白球的概率 解（1）不放回情形 E: 球编号，任取一球，记下颜色，放在一边， 重复m次 : 记事件 A为m个球中有k个白球，则

  22. 则 1: 记事件 A为m个球中有k个白球，则 因此 又解E1: 球编号, 一次取 m个球,记下颜色 称超几 何分布 不放回地逐次取 m 个球, 与一次任取 m 个 球算得的结果相同.

  23. 2: （2）放回情形 E2: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放回去, 重复m次 记 B为取出的 m 个球中有 k 个白球, 则 称二项分布

  24. 例7设有 k个不同的球, 每个 球等可能地落入 N个盒子中（ ）, 设 每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率: （2）某指定的一个盒子恰有 m个球( ) 2. 分房模型 （1）某指定的 k个盒子中各有一球； （3）某指定的一个盒子没有球； （4）恰有 k个盒子中各有一球； （5）至少有两个球在同一盒子中； （6）每个盒子至多有一个球.

  25. 解 设 (1) ~ (6)的各事件分别为 则

  26. 人 房子 “盒子” “球”可 相应 视为 视为 例7的“分房模型”可应用于很多类似场合 生日 人 信封 信 门锁 钥匙

  27. 为 n个人的生日均不相同,这相当于 例8“分房模型”的应用 生物系二年级有 n个人，求至少有两 人生日相同（设为事件A ) 的概率. 解 本问题中的人可被视为“球”，365天为 365只“盒子” 每个盒子至多有一个球. 由例7（6） 若 n = 64，

  28. 3.分组问题 例9：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分到3个班中去，求： （1）每班有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个班的概率。 解: 设A:每班有一名运动员;B: 3名运动员集中在一班

  29. 4 随机取数问题 例10： 从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率；(2)求取到的数能被8整除的概率；(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率。 解:n =200, k(1)=[200/6]=33, k(3)=[200/24]=8 k(2)=[200/8]=25 (1),(2),(3)的概率分别为 33/200,1/8,1/25

  30. 若P(A) 0.01 , 则称A为小概率事件. —— 小概率事件 小概率原理 ( 即实际推断原理 ) —— 一次试验中小概率事件一般是不 会发生的. 若在一次试验中居然发生了, 则可怀疑该事件并非小概率事件.

  31. P( 9次来访都在周三、日) = = 0.0000127 例11区长办公室某一周内曾接待过9次来 访, 这些来访都是周三或周日进行的,是否 可以断定接待时间是有规定的？ 解 假定办公室每天都接待，则 这是小概率事件,一般在一次试验中不会发 发生. 现居然发生了, 故可认为假定不成立, 从而推断接待时间是有规定的.

  32. 几何概型 (等可能概型的推广) • 几何概型设Ω为试验E的样本空间，若 • ①试验Ω的样本空间是直线上某个区间，或者面、空间上的某个区域，从而含有无限多个样本点; • ②每个样本点发生具有等可能性; • 则称E为几何概型。 • 几何概型概率的定义 设试验的每个样本点是等可能落入区域Ω上的随机点M，且D含在Ω内,则M点落入子域D(事件A)上的概率为:

  33. 例12某人的表停了，他打开收音机听电台报时，例12某人的表停了，他打开收音机听电台报时， 已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于 十分钟的概率. 10分钟 9点 10点

  34. 非负性 • 可列可加性: 设 … 规范性 几何概率的性质： 两两互不相容．

  35. 例13两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的.如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小时,试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率. 解: 设船1 到达码头的瞬时为 x ，0  x < 24 船2 到达码头的瞬时为 y ，0  y< 24 设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待空出码头．

  36. y = x y 24 y = x + 1 y = x - 2 x 24

  37. 小结 • 频率的定义 • 概率的公理化定义及概率的性质 事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标.它介于0与1之间. • 古典概型的定义 • 古典概率的求法

  38. 作业 P 34 习题一 7 8 10 12 15 19 21 22

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