Download
1 / 14
140 likes | 354 Views
Эллипс. . Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις — недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F 1 и F 2 (называемых фокусами) постоянна, то есть | F 1 M | + | F 2 M | = 2 a .
E N D
. Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις — недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F1 и F2 (называемых фокусами) постоянна, то есть | F1M | + | F2M | = 2a. Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой. Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость
Содержание 1 Связанные определения 2 Свойства 3 Соотношения между элементами эллипса 4 Координатное представление 4.1 Каноническое уравнение 4.2 Параметрическое уравнение 4.3 Уравнение в полярных координатах 5 Длина дуги эллипса 5.1 Приближённые формулы для периметра 6 Площадь эллипса
Связанные определения • Отрезок AB, проходящий через фокусы эллипса, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении. • Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса. • Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром. • Точка пересечения эллипса с осями называются его вершинами. • Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b. • Расстояния r1 и r2 от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке. • Расстояние называется фокальным расстоянием. • Эксцентриситетом эллипса называется отношение . • Эксцентриситет (также обозначается ε) характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
Связанные определения • Фокальным параметром называется половина длины хорды, проходящей через фокус • и перпендикулярной большой оси эллипса. • Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса • или эллиптичностью: . Величина, равная называется сжатием • эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент и • эксцентриситет эллипса связаны соотношением
Свойства • Фокальное свойство. Если F1 и F2 — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой (F1X) равен углу между этой касательной и прямой (F2X). • Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы. • Эволютой эллипса является астроида. • Эллипс также можно описать как • Фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование • Ортогональную проекцию окружности на плоскости. • Пересечение плоскости и кругового цилиндра
Соотношения между элементами Элипса а- большая полуось; b- малая полуось; c- фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами); p- фокальный параметр; - перифокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе); - апофокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);
Соотношения между элементами Элипса – большая полуось – малая полуось – фокальное расстояние
Координатное представление Каноническое уравнение Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса): Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. Для определённости положим, что В этом случае величины a и b — соответственно, большая и малая полуоси эллипса. Зная полуоси эллипса можно вычислить его фокальное расстояние и эксцентриситет: Координаты фокусов эллипса: Эллипс имеет две директриссы, уравнения которых можно записать как Фокальный параметр (т.е. половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной оси эллипса) равен Уравнение диаметра, сопряжённого хордам с угловым коэффициентом k: Уравнение касательных, проходящих через точку Уравнение касательных, имеющих данный угловой коэффициент k:: Уравнение нормали в точке
Координатное представление Параметрическое уравнение Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано: Где — параметр уравнения.
Длина дуги элипса Длина дуги плоской линии определяется по формуле: Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса получаем следующее выражение: После замены выражение для длины дуги принимает окончательный вид: Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллипическому интегралу второго рода . В частности, периметр эллипса равен: , где — полный эллиптический интеграл второго рода.
Длина дуги элипса Приближённые формулы для периметра YNOT: где Максимальная погрешность этой формулы ~0.3619 % при эксцентриситете эллипса ~0.979811 (соотношение осей ~1/5). Погрешность всегда положительная. Очень приближенная формула
Площадь элипса Площадь эллипса вычисляется по формуле Где и полуоси эллипса.
Инф.Источник: http://ru.wikipedia.org Выполнил: Федоров Павел И1-08
