§2-3 直线的投影

1. C A a B D b H c(d) §2-3 直线的投影 一、直线和直线上点的投影特性 1．直线的投影 直线的投影一般仍为直线。 只有当直线垂直于某一投影面时，它的投影才积聚成一点。

2. o 两点确定一条直线。 只需作出直线上两端点的投影，然后连接其同面投影 。 O

3. 2．直线上点的投影特性 ⑴从属性 若点在直线上，则点的各投影必在该直线的各同面投影上，且符合点的投影规律。

4. b B k K a X O b A k a 2．直线上点的投影特性 ⑵ 定比性 直线上的点分割线段之比，等于该点的投影分割线段的同面投影之比 。 A K: K B = a k : k b= ak : kb = ak: k b

5. b b V cb c ac B c a a C X A a X O c a c b b H [例1] 已知点C 在线段AB上，求点C 的正面投影。 采用定比性 O

6. c c 解法二 Z b b 采用从属性 a a O X Y a c b Y

7. b c a X b c a [例2] 在已知线段AB上取一点，将AB分成2：1两段，求点C 的投影。 （1）过a引一任意直线，并在其上作三等分； （2）连接bb0，再推出平行线，交ab于c； （3）由c再求出c′。 O b0

8. 二、各种位置直线的投影特性 分为三类：投影面平行线、投影面垂直线、一般位置直线；前两类又称为特殊位置直线。 1．投影面平行线 平行于一个投影面而倾斜于另两个投影面的直线。 可分为： 水平线----平行于H面，倾斜于V、W面的直线； 正平线----平行于V面，倾斜于H、W面的直线； 侧平线----平行于W面，倾斜于V、H面的直线。 、、分别表示直线对H、V、W面的倾角。

9. z a b a b Z a b a A O X Y   B b a  X O  a b b Y Y (1) 水平线 —平行于水平投影面的直线 投影特性：1、ab OX ; ab OY 2、ab =AB 3、反映、角的真实大小

10. Z Z b b b  a B a  a b   Y X O A a X O a b b a Y Y （2）正平线—平行于正立投影面的直线 投影特性： 1、ab  OX ; a b OZ 2、a b =AB 3、反映、 角的真实大小

11. Z Z a a a  b a A  b b  O X Y X O  a b a B b Y b Y （3）侧平线—平行于侧立投影面的直线 投影特性： 1、ab OZ ; ab  OY 2、ab= AB 3 、反映 、 角的真实大小

12. 2．投影面垂直线 垂直于一个投影面而平行于另两个投影面的直线。 可分为： 铅垂线----垂直于H面，平行于V、W面的直线； 正垂线----垂直于V面，平行于H、W面的直线； 侧垂线----垂直于W面，平行于V、H面的直线。

13. （1）铅垂线—垂直于水平投影面的直线 Z Z a a a A b b a b Y X O X O b B a(b) Y Y a(b) 投影特性：1、a（b）积聚成一点 2、a b OX ; a bOY 3、a b = a b = AB

14. （2）正垂线—垂直于正立投影面的直线 z b (c ) c b b  (c) C c b X Y O B c c b b Y Z X O Y 投影特性： 1、b(c )积聚成一点 2、bcOX ; bcOZ 3、bc = bc =BC

15. （3）侧垂线—垂直于侧立投影面的直线 Z Z a(b） a b a b a（b） A B Y X O X O b a Y a b Y 投影特性：1、a（b） 积聚成一点 2、ab OY ; abOZ 3、 ab = ab =AB

16. Z   b b  a  a β γ O  X Y b a Y 3．一般位置直线 Z  V b  B b  a W O X  a A b a H Y 投影特性: 1.对三个投影面都倾斜的直线，其投影长度均小于AB的实长。 2.其与投影轴的夹角均不反映该直线对投影面的倾角。

17. b b AB B zB-zA  a a ab X X O b b A a  a AB AB zB-zA  ab (1)求直线的实长及对水平投影面的倾角 zB-zA  C ZB-ZA

18. b AB  B  YA-YB a a X X O C ab b  b A AB a a AB YA-YB  ab (2)求直线的实长及对正立投影面的倾角 b YA-YB YA-YB

19. XA-XB Z Z b b b  b B a a Y X a O  X O b b a A Y a a Y XA-XB (3)求直线的实长及对侧立投影面的倾角

20. b L a X b c L=BC a [例3] 已知直线AB的投影，试在AB上定出点C的投影， 使BC的实长等于已知线段L。 AB c zA-zB ab

21. 三、两直线的相对位置 空间两直线的相对位置可分为三种情况：平行、相交和交叉(既不平行，也不相交)。 其中平行和相交属于共面直线，而交叉为异面直线。 另外,空间两直线有相交垂直和交叉垂直两种。

22. b d d b c a D c B X a X C b d A b b c c a a (1) 平行两直线 1、若空间两直线互相平行，则其同面投影必互相平行。 2、平行两线段之比等于其投影之比。

23. 但当两条直线同时平行于某一投影面时，虽然a′b′∥c′d′，ab∥cd，当求出其侧面投影后，因a″b″≠c″d″，则AB≠CD。但当两条直线同时平行于某一投影面时，虽然a′b′∥c′d′，ab∥cd，当求出其侧面投影后，因a″b″≠c″d″，则AB≠CD。

24. b c k d a X d a k b c (2) 相交两直线 V b c k a d B C D K A O X a d b c k H 若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且其交点符合点的投影规律。

25. k k [例4] 过C点作水平线CD与AB相交,且CD长度为50mm。 b 先作正面投影 d c ● a X a d b c ● 量取CD=50

26. z Y Y [例5] 判断两直线是否相交 c b d 两直线不相交 a o 交叉两直线 解法一：用侧面投影

27. c b 1 d a X d a 1 b c [例5] 判断两直线是否相交 解法二：用定比性 两直线不相交 交叉两直线 1d 1c

28. d b d 1(2) b 1(2) a B c a X 2 D c b X O A 1 2 b 2 a d C a 1 d 1 c c (3) 交叉两直线 凡不满足平行和相交条件的直线均为交叉两直线。

29. ′ b V ′ 1 ′ 1 ′ ′ 3(4) ′ ′ ● 3(4 ) c ′ ′ d ● ● ● ′ ● 2 ● B Ⅰ ′ Ⅳ 2 ′ ′ a b ● ● ● ● A D Ⅱ Ⅲ C ′ c ′ d a 4 a d ● 4 ● ● ● O X c 1(2) 3 ● b a H 3 d c b ′ 1(2) ● 投影特性： 1.同面投影可能相交，但“交点”不符合点的投影规律。 2.“交点”是两直线上一对重影点的投影，可帮助判断两直线的空间位置。

30. b c 1 3(4) d 2 a X b 4 c 3 d 1(2) a [例6]判断两直线重影点的可见性

31. (4) 垂直两直线（直角投影定理） 垂直相交两直线，若其中一条直线为某投影面的平行线时，则两直线在该投影面上的投影必定反映直角。 已知AB⊥BC，其中AB∥H面，BC倾斜于H面。因AB⊥Bb，AB⊥BC，则AB⊥BbcC平面；又因ab∥AB，所以ab⊥BbcC平面，因此ab⊥bc，即∠abc =∠ABC = 90º

32. [例7] 试判断下列两直线是否垂直。 如相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且其中有一直线为该投影面的平行线时，则这两直线在空间必定互相垂直。 当两直线是交叉垂直(即两直线垂直但不相交)时，也符合直角投影定理。

33. [例8] 求交叉两直线AB、CD的公垂线。 分析交叉两直线的公垂线，就是与AB和CD都垂直的直线。由于AB是铅垂线，CD是一般位置直线，所以其公垂线必为一条水平线，它与CD的垂直关系在H面上反映。

34. [例9] 已知菱形ABCD的一条对角线AC为一正平线，菱形的一边AB位于直线AM上，求该菱形的投影。 分析 菱形的两对角线互相垂直且平分，其对边互相平行。