第四章无套利价格关系

第四章无套利价格关系 远期、期货和互换张甜，吴振华，李欢

关于本章 • 本章主要推导远期和期货合同的无套利价格关系，并以此为基础讨论互换合同的定价。 • 基本假设：远期/期货合同和其所依据的基础资产的杠杆头寸的价格完全相等。（不存在无成本套利机会）

基本结构 • 4.1 理解持有成本/收益 • 4.2 远期合约定价 • 4.3 期货定价 • 4.4 隐含的远期净持有成本变动率 • 4.5 互换定价

4.1 理解持有成本/收益 • 例子：假设某早餐谷物制造商两个月后需要5000蒲式耳的小麦做原料 • 怎样将小麦的价格锁定在当前价格上来规避风险？ • 如果没有金融产品，只能购入小麦并持有两个月。 • 此时的持有成本（资本的机会成本）？

为了支付小麦的购买价格，该制造商要么借款，要么将其生息的流动性资产变现，不管采用哪种方法，都会发生利息成本（以无风险利率来衡量 ） • 存储成本 • 可能会发生的某些收益（便利收益）

那么此时持有商品的净成本为： 净持有成本=资金成本+存储成本−便利收益 • 同样的，对于诸如股票或债券等金融资产或证券，尽管也有借款成本，但却没有存储成本，也没有便利收益，他们有季度股息红利或每半年一次的息票利息。因此，持有证券的净成本是：净持有成本=资金成本−收益

4.1.1 连续变动率 • 持有成本通常被设定为固定不变的连续变动率的资产包括范围广泛的股票指数资产组合、外汇和黄金。 • 假设我们以无风险利率借款以购买股票指数资产组合，该组合以一个固定不变的连续变动率i支付股息红利。 • 如果我们今天购买一单位指数组合，并将收到的所有股息立刻重新再投资该指数组合，在时刻T该指数组合的单位数增加为eiT。

如果我们想在时刻T持有S单位的指数组合，其当前价格为1，那么今天只需要购买价值为Se-iT的指数组合。如果我们想在时刻T持有S单位的指数组合，其当前价格为1，那么今天只需要购买价值为Se-iT的指数组合。 • 该指数组合投资在时刻T的终值为 • 贷款价值则由Se-iT增长为 Se-iTerT=Se(r-i)T • 则偿还贷款后，资产组合的终值为：

可见，在连续变动率的假设框架下： • 指数组合：持有成本变动率=无风险利率r-股息收益率i • 外汇：持有成本变动率=国内利率r-国外利率i • 黄金：持有成本变动率=利率r-黄金出借率i • 在该框架下，时刻T的总持有成本为：净持有成本=S[e(r-i)T-1]

例4-1: 锁定未来股票指数组合的单位数量 • 假设当前S&P500指数是1100，每年所付股息的连续变动率为3%。另外，假设可以在指数水平（即一份指数组合当前成本1100美元）上买卖S&P500指数的股份，假设5天后你需要3000份S&P500指数组合，且所有股息再投资购买该指数组合，你应该购买多少份额的S&P500指数？如果你在5天后拥有3000份S&P500指数组合，而且0到5天的指数水平分别为1100，1160，1154，1145，1170，和1175。计算每天你所持有的指数单位及指数头寸的价格。

如果你要在5天后持有3000份指数，则应今天买入如果你要在5天后持有3000份指数，则应今天买入 3000e-0.03(5/365)=2998.77(份) • 第一天：2998.77e0.03(1/365）=2999.01 • 第二天：2999.01e0.03(1/365）=2999.26 …… …… • 第五天：3000 • 每天你所持有的指数单位及指数头寸的价格：

4.1.2 离散资金流 • 假设从现在到未来时刻T，某股票将在时刻支付已知的现金红利Ii，共n次，i=1,...,n。 • 如果我们借款S以购买股票，并将收到的股息红利按照无风险利率进行再投资，则时刻T的净持有成本为：

例4-2: 计算支付离散现金流的资产的未来价格 • 假设你购买一万份ABC公司股票，并持有该头寸90天。ABC当前的股价是50美元，并承诺30天后支付4美元的股息。当你90天后了结头寸时，该资产组合的价格是多少？假设无风险利率为5%。

初始投资ABC股票一万份的成本为50万美元，你是通过无风险借款为该项投资融资，因此初始投资为0美元。 • 90天内，你的组合有三部分： • 你拥有一万份股票； • 你必须偿还50万美元无风险借款的本金和利息； • 你在30天后收到每股股息4美元，这些股息立刻投资于无风险贴现债券（利息收入）

结论和一些准则 • 持有成本/收益一般来说，包括两个部分 • (1)成本:金融资产的利息和非金融资产的存储成本。 • 利息部分通常表现为比率的形式，如果我们在今天借款买入资产，在时刻T我们每单位资产负债erT。 • (2)收益：金融资产的收入或有形资产的便利收益。 • 收入和非利息现金流既可表示为资产价格的一个连续比例，也可表示为离散现金流，这取决于基础资产的特征。

4.2 远期合约定价 • 远期合同：在未来时刻T按照当前约定的价格由卖方向买方交付基础资产的合同。 • 本节的目的是在连续和离散净持有成本假设下，推导时刻T之前对应于基础资产价格的远期合约价格。 • 我们用f代表当前远期合同的价格，其在T时刻的价格表示为。到期的远期合同价格必定与基础资产的价格相同，即

4.2.1 连续变动率 • 假设某美国公司需要在T天后支付一百万欧元，所以想把该笔支付的美元金额锁定在当前。 • 该企业可借入美元贷款，并按照即期汇率S将其兑换为欧元，然后持有该头寸T天。 • 要在T天后拥有1欧元，需要今天买入e-iT单位，其中i是欧洲的无风险利率，所以为了支付当前购买欧元的价格，该公司需要借款Se-iT 。T天后偿还贷款，每欧元的本金和利息总额为Se-iT erT ，其中r是美国的无风险利率。

另一种方法，该公司也可将该期限为T天的远期合约转让给其银行，根据远期合约的条款，该企业可在T时刻以每欧元f的成本购买一百万欧元。另一种方法，该公司也可将该期限为T天的远期合约转让给其银行，根据远期合约的条款，该企业可在T时刻以每欧元f的成本购买一百万欧元。 • 企业应将该远期合约的价格与今天购买欧元并持有至T时刻的未来值相比较，以决定采取那种策略。 • f>Se(r-i)T? • f<Se(r-i)T?

净持有成本关系式： f=Se(r-i)T • 现值形式的净持有成本关系式： fe-rT=Se-iT • 上式表明，远期合约的预付价格等于基础资产头寸的初始成本。

4.2.2 离散现金流 • 当收入或非利息持有成本设定为离散现金流更为适合时，净持有成本关系式为： f=SerT-FVI fe-rT=S-PVI • 其中，PVI=FVIe-rT

例4-3: 计算付息股票远期合约的价格 • 计算期限为6个月、基础资产为3000份HAL公司股票的远期合约的价格，当前股票价格为120美元，2个月后支付3美元现金股利，5个月后再支付一次。假设无风险利率为5%。 • 远期合约有效期间收到的所有收入终值为 FVI=3e0.05(4/12)+3e0.05(1/12)=6.06 • 因此，远期合约的价格为 f=120e0.05(6/12)-6.06=116.97每股 • 或者总额350,910美元。

4.2.3 利用远期合约套期保值 • 假设我们持有一份股票资产组合，担心未来几个月市场下跌，为了避免股市下跌风险 • 可以卖出所持股票，买入无风险债券 • 也可卖出所持股票资产的远期合约。 • 假设我们所持的资产组合构成股票足够广泛，因此可以合理地假设股息收益是一个固定不变的连续变动率i。

如果将所有股息收入投资购买更多的股票组合，今天1单位的股票组合将在时刻T增长为eiT如果将所有股息收入投资购买更多的股票组合，今天1单位的股票组合将在时刻T增长为eiT • 为了对时刻T的eiT单位股票组合的价格风险暴露进行套期保值，我们需要现在卖出eiT单位远期合约。该远期合约头寸在时刻T的价格为 • 一旦建立该头寸，资产组合的终值为 feiT

结论 • 多头远期合约是无风险借款购买资产的完全替代品，因此，远期合约的价格等于资产价格加上净持有成本。

4.3 期货定价 • 4.3.1 嵌入式期货头寸 • 4.3.2 远期合约价格和期货价格相等 • 4.3.3 利用期货套期保值

期货交易：买卖双方约定在将来某个日期按成交时双方商定的条件交割一定数量某种商品的交易方式。期货交易：买卖双方约定在将来某个日期按成交时双方商定的条件交割一定数量某种商品的交易方式。期货和远期的区别交易对象不同：期货交易的对象是标准化合约，远期交易的对象主要是实物商品。交易场所不同：期货合约是在期货交易所大厅内交易，远期交易可以在任何地点发生，通过电话或电传即可完成。履约方式不同：期货交易有实物交割和对冲平仓两种履约方式，远期交易最终的履约方式是实物交收。信用风险不同：期货交易实行每日无负债结算制度，信用风险很小，远期交易从交易达成到最终实物交割有很长一段时间，此间市场会发生各种变化，任何不利于履约的行为都可能出现，信用风险很大。保证金制度不同：期货交易有特定的保证金制度，远期交易是否收取或收多少保证金由交易双方私下商定。

期货价格是每日结算，而非等到合同到期只进行一次最终的结算。如果在期货合约有效期内，每日结算产生了收益，可将该收益再投资于付息证券；反之，如果每日结算产生了亏损，必须用已有的付息资产或以无风险利率借款，来抵补此亏损。为了区分购买远期合约和购买期货的不同，考虑表4-5中列出的期货头寸现金流。

例4-4: 计算多头远期合约和多头期货合约的终值假设三天后你需要一百万英镑，并想把价格锁定在今天的水平上。假设3天的英镑远期合约价格为每英镑1.60美元，还差3天到期的英镑期货合约价格也是1.60美元。假设无风险利率为5%，比较多头远期合约头寸和多头期货头寸在3天后的终值。假设未来3天的期货价格分别为1.71美元、1.67美元和1.70美元。

两个终值不同的原因是期货合约的终值取决于期货价格在有效期内的变化，不同的期货价格变化路径会导致不同的终值。例如，如果期货价格在第一天为1.51美元，而非 1.71美元，期货头寸的终值将是99,997.26美元，低于多头远期合约的终值100,000美元。

4.3.1 嵌入式期货头寸 当期货的有效期和保值期限T相同时，为了抵消期货每日结算的收益/亏损所获的利息，用于保值的期货合约的初始数量应等于基础资产期末数量单位的现值，即期末每单位资产现在的数量为，并每天以因子增长。嵌入式期货头寸的构建如下。第0 天我们建立期货合同；第一天，期货头寸以因子的速度增长，当日结算产生的资金为。如果该收益/亏损以无风险利率持有至时刻T，收益/亏损的终值为如表4-6所示；第二天，该头寸依然按因子的速度增长，当日结算值为，将该金额持有至时刻T，为，以此类推。

例4-5: 计算多头远期合约和多头嵌入式期货头寸的终值假设三天后你需要一百万英镑，并想把价格锁定在今天的水平上。假设3天的英镑远期合约价格为每英镑1.60元，还差3天到期的英镑期货合约价格也是1.60美元。假设无风险利率为5%，比较多头远期合约头寸和多头期货头寸在3天后的终值。假设未来3天的期货价格分别为1.71美元、1.67美元和1.70美元。

4.3.2 远期合约价格和期货价格相等 多头嵌入式期货头寸的终值为，多头远期合约的终值为，这意味着期货合约价格和远期合约价格两者必须相等。如果它们不相等，就可通过卖出远期合约、建立多头嵌入式期货头寸（如果f >F），或者买入远期合约、建立空头嵌入式期货头寸(如果f < F )，来进行无风险套利。给定远期合约和期货价格相等，期货合约的定价公式与远期合约的相同，即（4-8）如果非利息持有成本是离散型：（4-9）

例4-6: 利用股票期货卖空股票 美国零售投资者经常发现卖出普通股的成本相当高，因此，最近推出了股票期货。假设你打算在未来T天卖空某一股票，其当前的股票价格是S，已宣告在t天后支付现金股息D，请证明卖出一份嵌入式股票期货头寸等于卖空股票。首先，你需要确定T天后该股票空头头寸的价格，卖空一份股票能获得资金S，将收到的资金投资于无风险利率资产。此外，股票在时刻t支付现金股利D。因为你卖空了股票，因此需要支付现金股息。在时刻T，你资产组合中的每个证券头寸价格如下表所示。时刻T资产组合的净价值为。

4.3.3 利用期货套期保值 嵌入式期货头寸对于利用期货合同进行套期保值有重要的启示：要做到完全有效的保值，期货合约的数量必须等于时刻T基础资产的单位数量。在连续持有成本的假设下，我们知道，一单位资产在时刻T增长为单位，初始期货合约为单位的嵌入式期货头寸在时刻T有一单位合约。因此，要对表4-3的多头资产头寸保值，空头期货合约在第0天（当前）的单位为，在保值有效期内每天以的因子增长。假设期货合约在时刻T到期，空头嵌入式期货头寸的终值为，被保值资产组合的净终值为，代入净持有成本关系式（4-8），被保值组合的净终值也可写为，这表明，利用空头嵌入式期货头寸保值，效果等价于将所持资产头寸变现并买入无风险债

券。期货合约头寸的数量每天以因子 增长，正好抵消了每日结算的期货收益/亏损所赚取的利息。实践中，该动态的每日调整被称为追踪型套期保值。结论期货合约与远期合约类似，只不过期货合约的价格变动是采取每日结算的制度。因为这些每天的收益/亏损可以生息直到合约到期，所以一般说来，多头期货合约与多头远期合约的终值不同。但是，可以利用嵌入式期货头寸来抵消每日结算的收益/亏损所产生的利息。对于保值期末1单位的基础资产，时刻t期货合约的数量应设为，这样，多头嵌入式期货头寸的终值就等于多头远期合约的终值。因此，从无成本套利的角度来看，以下是完全替代品多头嵌入式期货头寸=多头远期合约头寸空头嵌入式期货头寸=空头远期合约

4.4 隐含的远期净持有成本变动率 1.隐含的远期净持有成本变动率 2.例题

例4-7: 计算英国隐含的3月期远期利率 • 假设当前美元/英镑汇率为1.6830，3月期和6月期远期汇率分别为1.6755和1.6683。如果美国3月期和6月期的无风险利率分别为5.163%和5.103%，计算英国三个月后三月期贷款隐含的远期无风险利率。

计算英国3个月期和6个月期的无风险利率和

4.5 互换定价 • 互换合约就是互换未来现金流的约定，利率互换就是用固定付款交换浮动付款，浮动付款与某一参照利率、指数或价格相挂钩，如LIBOR. • 互换的基础资产可以是金融资产，也可以是有形资产。 • 互换不需要预先付款。 • 基础资产的远期价格曲线 :fi • 无风险债券的零息回报曲线：反映的是利率和到期期限的关系 ri

远期价格曲线 • 远期价格曲线描述了基础资产远期合约价格和距合约到期日或结算日的时间之间存在的关系。 • 顺价市场 &倒价市场

只要远期价格代表可交易价格，远期价格曲线的特点就不影响互换的定价 • 例子某珠宝商（即多头保值者）未来两年每个季度需要1000金衡盎司的黄金，所以想把要素投入的成本锁定在当前水平上。两种策略

第四章 无套利价格关系