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Komplexität und Phasenübergänge

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Komplexität und Phasenübergänge. Automatic Problem Solving Institut für Informatik Universität Potsdam WS 05/06 Thomas Hofmann. Komplexität. Ressourcenaufwand (Rechenschritte oder Speicherplatzbedarf) des besten Algorithmus für ein gegebenes Problem

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Presentation Transcript
komplexit t und phasen berg nge

Komplexität und Phasenübergänge

Automatic Problem Solving

Institut für Informatik

Universität Potsdam WS 05/06

Thomas Hofmann

komplexit t
Komplexität
  • Ressourcenaufwand (Rechenschritte oder Speicherplatzbedarf) des besten Algorithmus für ein gegebenes Problem
  • wächst mit Länge der Eingabegrösse n, aber wie? Skalierbarkeit
  • Polynomialzeit: was rechentechnisch praktisch möglich ist
  • Einteilung in Komplexitätsklassen
  • wichtigste Frage der Komplexitätstheorie NP≠P
satz von cook
Satz von Cook
  • SAT ist NP vollständig
  • alle Probleme aus NP lassen sich in polynominaler Zeit auf das SAT-Problem reduzieren

Beweisidee

  • NP-Probleme sind auf einer nichtdeterministischen Turing-Maschine in polynominaler Zeit lösbar
  • Turing-Maschine durch aussagenlogische Formeln beschreiben
  • ist genau dann erfüllt wenn die Maschine eine Lösung findet
  • Konstruktion geht in Polynominalzeit
beweismethode
Beweismethode
  • DNF A = p v Q v S
  • Q : zu jedem Zeitpunkt kann es nur einen aktiven Zustand geben
  • S : jedes Feld kann nur ein Symbol aufnehmen
  • p : ist wahr wenn ein Feld zu einem bestimmten Zeitpunkt ein bestimmtes Symbol enthält
  • B,C,D : setzen p,Q und S durch
  • E : sorgt für richtige Startbedingungen
  • F,G,H : sorgen dafür das die Werte richtig aktualisiert werden
slide5
NP = P ?
  • P Probleme sind mit deterministischen Turing Maschinen in p. Zeit lösbar, NP nichtdeterministisch in p. Zeit lösbar
  • P ≤ NP aber ist auch P ≥ NP?
  • wenn ein Problem aus NP in P, dann alle
  • NP-vollständige Probleme lassen sich vermutlich nicht effizient lösen
phasen berg nge
Phasenübergänge

Motivation:

  • Goldberg(1979); SAT ist im Durchschnitt in O(n²) lösbar
  • NP: worst case scenarios
  • Bestimmung von „average cases“ and „hard cases“
  • Qualität des Generierungsverfahren der Formelmenge und deren Bezug zu realen Problemen
  • analytisch ist es nicht beweisbar, (n →∞)
generierungsverfahren
Generierungsverfahren
  • Formellänge K, Zeilen M, Variablen N, Zeilen / Variablen c
  • zufällig generierte Formeln in CNF
  • random K-SAT
  • random mixed-SAT
  • costant probability model (P)
  • random [k,l]-SAT
  • kritischen Wert für c (L/N)
  • Davis-Putnam procedure
easy hard easy pattern and over underconstrained
easy-hard-easy pattern and over- / underconstrained

„the hardest area for satisfiability is near the point where 50% of the formulars are satisfiable“ [4] S.461

schlussfolgerung
Schlussfolgerung
  • scharfe Transition bei der Erfüllbarkeitsfrage
  • an diesem Übergang liegen die schwerstlösbaren Probleme
  • Schwierigkeiten bei gemischter Klausellänge
  • crossover-point
  • Übertragbarkeit der Ergebnisse auf andere SAT-Solver
quellen und abbildungsverzeichnis
Quellen- und Abbildungsverzeichnis
  • [1] Stephen A. Cook; „The complexity of Theorem-Proving Procedures“; 1971
  • [2] Ian P. Gent and Toby Walsh; „The SAT Phase Transition“;1994
  • [3] David G. Mitchell and Hector J. Levesque; „Some Pitfalls for Experimenters with Random Sat“; 1995
  • [4 ] David G. Mitchell, Bart Selman and Hector J. Levesque; „Hard and Easy Distributions of SAT Problems“; 1992
  • Internetquellen: www.wikipedia.org;

www.grundstudium.de;

http://users.informatik.haw-hamburg.de/~voeller/th/thinf/node32.html

Abbildungen: S.9 und S.10 [3] S S.4, S.6

S.8 [4] S.462