2.1.1 向量的概念

2.1.1 向量的概念

老鼠由A向东方向以每秒6米的速度逃窜,而猫由B向西北方向每秒10米的速度追. 问猫能否抓到老鼠? B A ◆结论：猫不能追上老鼠。猫的速度再快也没用，因为方向错了。 ◆速度是既有大小又有方向的量。

B A 想一想：位移和距离这两个量有什么不同？ o 1500米 2000米位移既有大小又有方向距离只有大小没有方向

一:向量定义 既有大小又有方向的量叫向量现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？向量位移、力、速度、加速度、电场强度等哪些量只有大小没有方向？数量距离、身高、质量、时间、面积等

注意：数量与向量的区别 1、数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 2、向量不仅有大小还有方向，具有双重性，不能比较大小。

B A 二:表示方法： ①几何表示法：有向线段．有向线段——具有一定方向的线段．有向线段的三要素：起点、方向、长度以A为起点、B为终点的有向线段记作

用、、等小写字母表示；或用表示有 向线段的起点和终点字母表示，如 . 向量AB与向量BA是不是同一向量？为什么？向量的大小即向量的长度称为向量的模. 记作：| | ②字母表示法：思考：（3）模的概念：

表示为 0。 探究问题1：长度为0的向量应该叫做什么向量？如何表示？它是否有方向？答：应该叫做零向量。它的方向是不确定的。

问题2： 长度等于1个单位长度的向量应该叫做什么向量？答：应该叫做单位向量。 • 问：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？答：有无数个单位向量，单位向量大小相等.

思考： 平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？答：如图，轨迹是以O为圆心，半径为1的圆。（单位圆） o

a c b 平行向量：方向相同或相反的非零向量。问题3：如图，这组向量之间，存在着什么关系？答：平行关系。规定: 零向量与任一向量平行平行向量也叫共线向量

思考： (1) 把平行于直线的所有单位向量的起点平移到直线上的点P； (2) 把平行于直线的所有向量的起点平移到直线上的点P；是直线上与点P的距离为1的两个点；是直线对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？

若向量 a 与 b 相等，记作：a ＝ b。 若两个向量相等，那么它们必须具备什么条件？ • 问题4 相等向量：长度相等且方向相同的向量。规定:(1)零向量与零向量相等。

A1B1=A2B2=A3B3 Ｂ3 Ｂ１Ｂ2 Ａ3 Ａ2 Ａ１下图中的向量是否是相等向量? • 说明：任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。

思考： 相等向量一定是平行向量吗? 平行向量一定是相等向量吗? 是不是.

例1．判断下列命题真假或给出问题的答案： （1）平行向量的方向一定相同． × × （2）不相等的向量一定不平行．（3）与零向量相等的向量是什么向量？零向量（4）存在与任何向量都平行的向量吗？零向量

例1．判断下列命题真假或给出问题的答案： （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？平行向量（共线向量）（6）两个非零向量相等的条件是什么？模相等且方向相同（7）共线向量一定在同一直线上． ×

例2．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中 与向量OA相等的向量。 OA = DO = CB 变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向相反的向量？存在，为 FE 变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ CB、DO、FE 11个

与长度相等,方向相反的向量叫 的相反向量.记为

相等的有7个 长度相等的有15个

例4：D、E、F依次是等边△ABC的边AB、BC、CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为起点或终点的向量中，例4：D、E、F依次是等边△ABC的边AB、BC、CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为起点或终点的向量中， (1)找出与向量 DE 相等的向量； (2)找出与向量 DF 共线的向量． AF和FC A D F B C E BE,EB,EC,CE,BC,CB,FD

小结 1.向量的概念: 2.向量的表示: 3.零向量: 4.单位向量: 仅对向量的大小明确规定，而没有对向量的方向明确规定 5.平行向量: 6.共线向量: 仅对向量的方向明确规定，而没有对向量的大小明确规定 7. 相等向量: 8. 相反向量: 对向量的大小和方向都明确规定

注意：数学中的向量与物理中的矢量是有区别的．在数学中我们研究的是仅由大小和方向确定，而与起点位置无关的向量，也称为自由向量．注意：数学中的向量与物理中的矢量是有区别的．在数学中我们研究的是仅由大小和方向确定，而与起点位置无关的向量，也称为自由向量．

2.1.1 向量的概念

2.1.1 向量的概念

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