第三章多维随机变量及其分布

概述第三章多维随机变量及其分布将一维随机变量加以扩充，得到二维和多维随机变量。二维和多维随机变量与一维随机变量有着相似的性质。但因为各变量间的交互作用，它们的分布更变化多端并且更加有趣，事实上，二维和多维随机变量无非是同时在各个方向上运算一维随机变量的分布。

§3.1 二维随机变量 一、二维随机变量及其分布二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量四、n维随机变量的分布函数五、小结

就要同时抽查儿童的身高 是定义在同一样本空间体重和、二维随机变量有些随机现象需要同时用两个或以在实际应用中，上的随机变量来描述. 例如，研究某地区学龄前儿童前儿童的发育情况时，这里， {某地区的全部学龄前儿童} 我们不但要研究在这种情况下，上的两个随机变量. 而且还要研究它们之多个随机变量各自的统计规律，因而需考察它们的联合取值的统间的统计相依关系，计规律，即多维随机变量的分布. 故我们由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，

重点讨论二维随机变量. 一二维随机变量及其分布定义: X(e) e Y(e) S

注意二维随机变量的例子

定义二元分布函数的几何意义

y (x1 , y2) (x2 , y2) y2 (X, Y ) y1 (x2 , y1) (x1 , y1) o x x1 x2

分布函数的基本性质： (1) F (x , y)是变量 x , y的不减函数，即对于任意固定的y , 当 x1< x2时，对于任意固定的x , 当 y1< y2时， (2) 且对于任意固定的 Y, 对于任意固定的X,

(3) F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即 F (x , y )关于x右连续，关于 y也右连续. (4) y (x1 , y2) (x2 , y2) y2 (X, Y ) y1 (x1 , y1) (x2 , y1) o x x1 x2

二二维离散型随机变量

二维离散型随机变量的联合分布律性质 1. 2.

【例1】 解

X 0 1 2 3 Y 1 3

【例2】 解 { X=i,Y=j }的取值情况: i=1,2,3,4， j取不大于i的正整数

X 1 2 3 4 Y 1 2 3 4

三二维连续型随机变量 对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y )称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。

概率密度 f (x , y )具有以下性质： 40 设 G 是平面上的一个区域，点 ( X,Y)落在G内的概率为：在几何上 z = f (x , y)表示空间的一个曲面，上式P{(X,Y)G}的值等于以 G 为底，以曲面 z = f (x , y)为顶的柱体体积

【例3】 解 (1) 得 c=2.

(2) y (3)将(X,Y)看成平面上随机点的坐标 G Y-型 x

(4) D x

五、小结 1.二维随机变量及其分布

思考

x=1 y=2 x+y=1

第三章 多维随机变量及其分布