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Cours de graphes - PowerPoint PPT Presentation


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Cours de graphes. Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications. Les grandes lignes du cours. Définitions de base Connexité Les plus courts chemins Dijkstra et Bellmann-Ford Arbres Arbres de recouvrement minimaux Problèmes de flots

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Presentation Transcript
slide1

Cours de graphes

  • Coloriage de graphes.
  • Problème des 4 couleurs, graphes planaires.
  • Théorème de Vizing.
  • Applications.

Cours de graphes 5 - Intranet

slide2

Les grandes lignes du cours

  • Définitions de base
  • Connexité
  • Les plus courts chemins
  • Dijkstra et Bellmann-Ford
  • Arbres
  • Arbres de recouvrement minimaux
  • Problèmes de flots
  • Coloriage de graphes, graphes planaires
  • Couplage
  • Chemins d’Euler et de Hamilton
  • Problèmes NP-complets

Cours de graphes 5 - Intranet

slide3

Coloriage de graphes-----------------------------------------------------------------

  • Coloriage des sommets d’un graphe :
    • Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur !
    • Il faut minimiser le nombre de couleurs !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide4

Coloriage de graphes-----------------------------------------------------------------

  • Coloriage des sommets d’un graphe :
    • Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur !
    • Il faut minimiser le nombre de couleurs !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide5

Coloriage de graphes-----------------------------------------------------------------

  • Coloriage des sommets d’un graphe :
    • Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur !
    • Il faut minimiser le nombre de couleurs !

Solution avec

5 couleurs !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide6

Coloriage de graphes-----------------------------------------------------------------

  • Coloriage des sommets d’un graphe :
    • Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur !
    • Il faut minimiser le nombre de couleurs !

Mais 2 couleurs

suffisent !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide7

Coloriage de graphes-----------------------------------------------------------------

  • Coloriage des sommets d’un graphe :
    • Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur !
    • Il faut minimiser le nombre de couleurs !
    • Le minimum de couleurs nécessaires est le nombre chromatique d’un graphe G, noté « c ( G ) »(lettre grecque chi de « crwma », qui signifie couleur).

Mais 2 couleurs

suffisent !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide8

Coloriage de graphes-----------------------------------------------------------------

  • Application : téléphonie mobile !
    • Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs !
    • Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer d’interférences !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide9

Coloriage de graphes-----------------------------------------------------------------

  • Application : téléphonie mobile !
    • Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs !
    • Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer d’interférences !
    • Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées par sesvoisins !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide10

Coloriage de graphes-----------------------------------------------------------------

  • Application : téléphonie mobile !
    • Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs !
    • Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer d’interférences !
    • Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées par sesvoisins !

M

Cours de graphes 5 - Intranet

slide11

Coloriage de graphes-----------------------------------------------------------------

  • Application : téléphonie mobile !
    • Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs !
    • Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer d’interférences !
    • Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées par sesvoisins !

M

Cours de graphes 5 - Intranet

slide12

Coloriage de graphes-----------------------------------------------------------------

  • Application : téléphonie mobile !
    • Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs !
    • Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer d’interférences !
    • Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées par sesvoisins !

M

Cours de graphes 5 - Intranet

slide13

Coloriage de graphes-----------------------------------------------------------------

  • Application : téléphonie mobile !
    • Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs !
    • Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer d’interférences !
    • Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées par sesvoisins !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide14

Coloriage de graphes-----------------------------------------------------------------

  • Coloriage des arêtes d’un graphe :
    • Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir la même couleur !
    • Il faut minimiser le nombre de couleurs !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide15

Coloriage de graphes-----------------------------------------------------------------

  • Coloriage des arêtes d’un graphe :
    • Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir la même couleur !
    • Il faut minimiser le nombre de couleurs !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide16

Coloriage de graphes-----------------------------------------------------------------

  • Coloriage des arêtes d’un graphe :
    • Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir la même couleur !
    • Il faut minimiser le nombre de couleurs !

Solution avec

6 couleurs !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide17

Coloriage de graphes-----------------------------------------------------------------

  • Coloriage des arêtes d’un graphe :
    • Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir la même couleur !
    • Il faut minimiser le nombre de couleurs !

Mais 4 couleurs

suffisent !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide18

Coloriage de graphes-----------------------------------------------------------------

  • Application : emplois du temps !

Profs

Elèves

Cours de graphes 5 - Intranet

slide19

Coloriage de graphes-----------------------------------------------------------------

  • Application : emplois du temps !

Oraux !

Profs

Elèves

Cours de graphes 5 - Intranet

slide20

Coloriage de graphes-----------------------------------------------------------------

  • Application : emplois du temps !

Oraux !

Profs

Elèves

Créneaux horaires sous forme de couleurs !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide21

Coloriage de graphes-----------------------------------------------------------------

  • Application : emplois du temps !

Oraux !

Profs

Elèves

Créneaux horaires sous forme de couleurs !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide22

Coloriage de graphes-----------------------------------------------------------------

  • Application : emplois du temps !

Oraux !

Profs

Elèves

Créneaux horaires sous forme de couleurs !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide23

Coloriage de graphes-----------------------------------------------------------------

  • Application : emplois du temps !

Oraux !

Profs

Elèves

Créneaux horaires sous forme de couleurs !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide24

Le problème des 4 couleurs-----------------------------------------------------------------

L E

P R O B L E M E

D E S

Q U A T R E

C O U L E U R S ! ! !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide25

Le problème des 4 couleurs-----------------------------------------------------------------

  • En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs au plus ?

Cours de graphes 5 - Intranet

slide26

Le problème des 4 couleurs-----------------------------------------------------------------

  • En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs au plus ?

Cours de graphes 5 - Intranet

slide27

Le problème des 4 couleurs-----------------------------------------------------------------

  • En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs au plus ?

En termes de graphes !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide28

Le problème des 4 couleurs-----------------------------------------------------------------

  • En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs au plus ?

En termes de graphes !

C’est un problème de coloriage des sommets d’un graphe !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide29

Le problème des 4 couleurs-----------------------------------------------------------------

  • Nous devons considérer une partie des graphes planaires !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide30

Le problème des 4 couleurs-----------------------------------------------------------------

  • Nous devons considérer une partie des graphes planaires !
  • Un graphe est planaire s’il peut

être dessiné dans le plan sans

que des arêtes ne se croisent !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide31

Le problème des 4 couleurs-----------------------------------------------------------------

  • Nous devons considérer une partie des graphes planaires !
  • Un graphe est planaire s’il peut

être dessiné dans le plan sans

que des arêtes ne se croisent !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide32

Le problème des 4 couleurs-----------------------------------------------------------------

  • Nous devons considérer une partie des graphes planaires !
  • Un graphe est planaire s’il peut

être dessiné dans le plan sans

que des arêtes ne se croisent !

  • La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide33

Le problème des 4 couleurs-----------------------------------------------------------------

  • Nous devons considérer une partie des graphes planaires !
  • Un graphe est planaire s’il peut

être dessiné dans le plan sans

que des arêtes ne se croisent !

  • La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle !
  • En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur !Depuis, on a pu simplifier le programme et se ramener à633 cas à étudier.

Cours de graphes 5 - Intranet

slide34

Le problème des 4 couleurs-----------------------------------------------------------------

  • Nous devons considérer une partie des graphes planaires !
  • Un graphe est planaire s’il peut

être dessiné dans le plan sans

que des arêtes ne se croisent !

  • La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle !
  • En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur !Depuis, on a pu simplifier le programme et se ramener à633 cas à étudier.
  • Question chez les matheux : La preuve est-elle acceptable ???

Cours de graphes 5 - Intranet

slide35

Le problème des 4 couleurs-----------------------------------------------------------------

  • Nous devons considérer une partie des graphes planaires !
  • Un graphe est planaire s’il peut

être dessiné dans le plan sans

que des arêtes ne se croisent !

  • La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle !
  • En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur !Depuis, on a pu simplifier le programme et se ramener à633 cas à étudier.
  • Question chez les matheux : La preuve est-elle acceptable ???
  • On peut construire un 4-coloriage en temps O ( | V |^2 ) !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide36

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

L E S

G R A P H E S

P L A N A I R E S ! ! !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide37

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Est-ce que ce graphe est planaire ?

Cours de graphes 5 - Intranet

slide38

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Est-ce que ce graphe est planaire ?

OUI !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide39

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Est-ce que ce graphe est planaire ?

OUI !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide40

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Est-ce que ce graphe est planaire ?
  • Est-ce que ce graphe est planaire ?

OUI !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide41

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Est-ce que ce graphe est planaire ?
  • Est-ce que ce graphe est planaire ?

OUI !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide42

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Est-ce que ce graphe est planaire ?
  • Est-ce que ce graphe est planaire ?

OUI !

NON, il y aura

toujours un

problème pour

une arête !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide43

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Est-ce que ce graphe est planaire ?
  • Est-ce que ce graphe est planaire ?

OUI !

NON, il y aura

toujours un

problème pour

une arête !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide44

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Est-ce que ce graphe est planaire ?
  • Est-ce que ce graphe est planaire ?

OUI !

NON, il y aura

toujours un

problème pour

une arête !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide45

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Est-ce que ce graphe est planaire ?
  • Est-ce que ce graphe est planaire ?

OUI !

NON, il y aura

toujours un

problème pour

une arête !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide46

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Est-ce que ce graphe est planaire ?
  • Est-ce que ce graphe est planaire ?

OUI !

C’est le graphe bi-parti

complet 3 – 3 : K !

3,3

NON, il y aura

toujours un

problème pour

une arête !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide47

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire !

5

En construction !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide48

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire !

5

En construction !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide49

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire !

5

En construction !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide50

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire !

5

En construction !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide51

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire !

5

Le voilà !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide52

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire !

5

Le voilà !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide53

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Deux graphes sont homéomorphes si l’un peut être obtenu à partir l’autre par insertion de sommets de degré 2 !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide54

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Deux graphes sont homéomorphes si l’un peut être obtenu à partir l’autre par insertion de sommets de degré 2 !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide55

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Deux graphes sont homéomorphes si l’un peut être obtenu à partir l’autre par insertion de sommets de degré 2 !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide56

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Théorème (Kuratowski, 1930) :
    • Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe homéomorphe à K ou à K !

3,3

5

Cours de graphes 5 - Intranet

slide57

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Théorème (Kuratowski, 1930) :
    • Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe homéomorphe à K ou à K !

3,3

5

Planaire

ou non ?

Cours de graphes 5 - Intranet

slide58

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Théorème (Kuratowski, 1930) :
    • Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe homéomorphe à K ou à K !

3,3

5

Planaire

ou non ?

NON !

K

3,3

Cours de graphes 5 - Intranet

slide59

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Un graphe G peut se contracter en un graphe G’ de la façon suivante :

G

Cours de graphes 5 - Intranet

slide60

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Un graphe G peut se contracter en un graphe G’ de la façon suivante :

G

G’

Cours de graphes 5 - Intranet

slide61

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Un graphe G peut se contracter en un graphe G’ de la façon suivante :

G

G’

G

Cours de graphes 5 - Intranet

slide62

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Un graphe G peut se contracter en un graphe G’ de la façon suivante :

G

G’

G

G’

Cours de graphes 5 - Intranet

slide63

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Théorème :
    • Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K !

3,3

5

Cours de graphes 5 - Intranet

slide64

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Théorème :
    • Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K !

3,3

5

Planaire

ou non ?

Cours de graphes 5 - Intranet

slide65

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Théorème :
    • Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K !

3,3

5

Planaire

ou non ?

Sous-graphe !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide66

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Théorème :
    • Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K !

3,3

5

Planaire

ou non ?

Sous-graphe !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide67

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Théorème :
    • Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K !

3,3

5

Planaire

ou non ?

Contraction !

Sous-graphe !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide68

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Théorème :
    • Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K !

3,3

5

Planaire

ou non ?

NON !

K

3,3

Sous-graphe !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide69

Les graphes planaires-----------------------------------------------------------------

  • Attention :
    • Nous n’avons pas encore dit comment il faut faire concrètement pour trouver une représentation planaire d’un graphe qui l’est !
  • Applications :
    • Organisation de circuits électroniques !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide70

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

C O L O R I A G E

D E S

S O M M E T S ! ! !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide71

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1

Cours de graphes 5 - Intranet

slide72

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1

Une clique est un sous-ensemble

de sommets qui sont voisins 2 à 2.

Cours de graphes 5 - Intranet

slide73

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1

Une clique est un sous-ensemble

de sommets qui sont voisins 2 à 2.

Les sommets d’une clique doivent

tous avoir des couleurs différentes !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide74

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1

Une clique est un sous-ensemble

de sommets qui sont voisins 2 à 2.

Les sommets d’une clique doivent

tous avoir des couleurs différentes !

Le nombre chromatique du graphe

est au moins aussi grand que la

taille de la plus grande clique !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide75

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1

Il est clair que D ( G ) + 1

couleurs suffisent !

Nous pouvons trouver une

couleur pour tout sommet,

même si tous ses voisins ont

déjà des couleurs et que

celles-ci sont toutes différentes !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide76

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1

Cours de graphes 5 - Intranet

slide77

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

=

=

taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1

Cours de graphes 5 - Intranet

slide78

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

=

=

taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1

Cours de graphes 5 - Intranet

slide79

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

=

<<

taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1

Cours de graphes 5 - Intranet

slide80

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

=

<<

taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1

Cours de graphes 5 - Intranet

slide81

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

<

=

taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1

Cours de graphes 5 - Intranet

slide82

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

<

=

taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1

En construction !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide83

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

<

=

taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1

En construction !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide84

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

<

=

taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1

En construction !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide85

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

<

=

taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1

Le voilà !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide86

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

<

=

taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1

Le voilà !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide87

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

<

=

taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1

Le voilà !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide88

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

<

=

taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1

Le voilà !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide89

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

<

=

taille_clique_max ( G ) <= c ( G ) <= D ( G ) + 1

Le voilà !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide90

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

  • La question de savoir si

un graphe « G » peut être colorié à l’aide de « k » couleurs au plus

est NP-complète ! ! !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide91

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

  • La question de savoir si

un graphe « G » peut être colorié à l’aide de « k » couleurs au plus

est NP-complète ! ! !

  • Le problème de

minimiser le nombre de couleurs pour colorier un graphe « G »

est NP-difficile ! ! !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide92

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

  • Une politique locale ne convient pas !
    • Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !
    • Une minimisation locale veut que « u » soit « rouge » ! ! !

u

Cours de graphes 5 - Intranet

slide93

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

  • Une politique locale ne convient pas !
    • Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !
    • Une minimisation locale veut que « u » soit « rouge » ! ! !

u

Cours de graphes 5 - Intranet

slide94

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

  • Une politique locale ne convient pas !
    • Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !
    • Une minimisation locale veut que « u » soit « rouge » ! ! !

u

Cours de graphes 5 - Intranet

slide95

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

  • Une politique locale ne convient pas !
    • Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !
    • Une minimisation locale veut que « u » soit « rouge » ! ! !

u

Cours de graphes 5 - Intranet

slide96

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

  • Une politique locale ne convient pas !
    • Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !
    • Une minimisation locale veut que « u » soit « rouge » ! ! !

5 couleurs !

u

Cours de graphes 5 - Intranet

slide97

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

  • Une politique locale ne convient pas !
    • Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !
    • Il fallait une nouvelle couleur pour « u » : « bleu » ! ! !

u

Cours de graphes 5 - Intranet

slide98

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

  • Une politique locale ne convient pas !
    • Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !
    • Il fallait une nouvelle couleur pour « u » : « bleu » ! ! !

u

Cours de graphes 5 - Intranet

slide99

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

  • Une politique locale ne convient pas !
    • Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !
    • Il fallait une nouvelle couleur pour « u » : « bleu » ! ! !

3 couleurs !

u

Cours de graphes 5 - Intranet

slide100

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

  • Une politique locale ne convient pas !
    • Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !
    • Il fallait une nouvelle couleur pour « u » : « bleu » ! ! !

3 couleurs !

u

Une roue avec un nombre impair de

sommets et un rayon qui manque !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide101

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

  • Principe d’une énumération complète !
    • Nous avons une solution avec « m » couleurs, D( G ) + 1 au début !
    • Certains sommets ont déjà des couleurs !
    • « C » est l’ensemble des couleurs déjà utilisées !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide102

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

  • Principe d’une énumération complète !
    • Nous avons une solution avec « m » couleurs, D( G ) + 1 au début !
    • Certains sommets ont déjà des couleurs !
    • « C » est l’ensemble des couleurs déjà utilisées !
  • Nous back-trackons pour un sommet « u » en
    • explorant pour « u » le choix de toutes les couleurs de « C » qui ne sont pas prises par un de ses voisins,

Cours de graphes 5 - Intranet

slide103

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

  • Principe d’une énumération complète !
    • Nous avons une solution avec « m » couleurs, D( G ) + 1 au début !
    • Certains sommets ont déjà des couleurs !
    • « C » est l’ensemble des couleurs déjà utilisées !
  • Nous back-trackons pour un sommet « u » en
    • explorant pour « u » le choix de toutes les couleurs de « C » qui ne sont pas prises par un de ses voisins,
    • en attribuant une nouvelle couleur à « u », à moins que ceci ne nous amène à utiliser plus que « m » couleurs !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide104

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

  • Heuristique de coloriage !
    • Nous renonçons à la solution optimale et nous nous contentons d’une solution pas trop mauvaise trouvée de manière gloutonne !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide105

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

  • Heuristique de coloriage !
    • Nous renonçons à la solution optimale et nous nous contentons d’une solution pas trop mauvaise trouvée de manière gloutonne !
  • Nous considérons les sommets dans un ordre pré-défini :
    • aléatoire,
    • plus grand degré d’abord,
    • plus au centre d’abord,
    • . . .

Cours de graphes 5 - Intranet

slide106

Coloriage des sommets-----------------------------------------------------------------

  • Heuristique de coloriage !
    • Nous renonçons à la solution optimale et nous nous contentons d’une solution pas trop mauvaise trouvée de manière gloutonne !
  • Nous considérons les sommets dans un ordre pré-défini :
    • aléatoire,
    • plus grand degré d’abord,
    • plus au centre d’abord,
    • . . .
  • Le sommet va rejoindre un ensemble de sommets de la même couleur que lui, si c’est possible (sinon, nous créons une nouvelle couleur) :
    • aléatoire,
    • l’ensemble le plus grand ( largest independent set ),
    • l’ensemble le plus petit ( utilisation équilibrée des couleurs),
    • . . .

Cours de graphes 5 - Intranet

slide107

Graphes bi-partis-----------------------------------------------------------------

G R A P H E S

B I – P A R T I S ! ! !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide108

Graphes bi-partis-----------------------------------------------------------------

  • Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à l’aide de deux couleurs seulement !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide109

Graphes bi-partis-----------------------------------------------------------------

  • Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à l’aide de deux couleurs seulement !

Aucun sommet n’est relié à un

autre sommet de même couleur !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide110

Graphes bi-partis-----------------------------------------------------------------

  • Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à l’aide de deux couleurs seulement !
  • Les arbres sont des graphes bi-partis !

Aucun sommet n’est relié à un

autre sommet de même couleur !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide111

Graphes bi-partis-----------------------------------------------------------------

  • Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à l’aide de deux couleurs seulement !
  • Les arbres sont des graphes bi-partis !

Aucun sommet n’est relié à un

autre sommet de même couleur !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide112

Graphes bi-partis-----------------------------------------------------------------

  • Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à l’aide de deux couleurs seulement !
  • Les arbres sont des graphes bi-partis !
  • Théorème ( TD ) : Un graphe est bi-parti si et seulement si tous ses cycles sont de longueurs paires !

Aucun sommet n’est relié à un

autre sommet de même couleur !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide113

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

C O L O R I A G E

D E S

A R E T E S ! ! !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide114

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Minimisation des couleurs !
    • Il faut au moins D ( G ) couleurs !
    • En effet, il existe un sommet dans « G » avec « D( G ) » voisins !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide115

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Minimisation des couleurs !
    • Il faut au moins D ( G ) couleurs !
    • En effet, il existe un sommet dans « G » avec « D( G ) » voisins !
  • Maximisation des couleurs !
    • D ( G ) + 1 couleurs suffisent ! ! !
    • Théorème de Vizing (1964) !
    • L’algorithme de coloriage est en Q( | E | ) !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide116

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Minimisation des couleurs !
    • Il faut au moins D ( G ) couleurs !
    • En effet, il existe un sommet dans « G » avec « D( G ) » voisins !
  • Maximisation des couleurs !
    • D ( G ) + 1 couleurs suffisent ! ! !
    • Théorème de Vizing (1964) !
    • L’algorithme de coloriage est en Q( | E | ) !

Est-ce D ( G ) ou D ( G ) + 1 ? ? ?

Cours de graphes 5 - Intranet

slide117

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Minimisation des couleurs !
    • Il faut au moins D ( G ) couleurs !
    • En effet, il existe un sommet dans « G » avec « D( G ) » voisins !
  • Maximisation des couleurs !
    • D ( G ) + 1 couleurs suffisent ! ! !
    • Théorème de Vizing (1964) !
    • L’algorithme de coloriage est en Q( | E | ) !

Est-ce D ( G ) ou D ( G ) + 1 ? ? ?

C'est N P - c o m p l e t ! ! !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide118

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

T H E O R E M E

D E

V I Z I N G ! ! !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide119

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Coloriage de G = ( V , { e , . . . , e } ) avec D( G ) + 1 couleurs !

1

m

Cours de graphes 5 - Intranet

slide120

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Coloriage de G = ( V , { e , . . . , e } ) avec D( G ) + 1 couleurs !
  • L’hypothèse :
    • G = ( V , { e , . . . , e } ) est colorié !

1

m

i-1

1

i-1

Cours de graphes 5 - Intranet

slide121

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Coloriage de G = ( V , { e , . . . , e } ) avec D( G ) + 1 couleurs !
  • L’hypothèse :
    • G = ( V , { e , . . . , e } ) est colorié !
  • Nous étendons ce coloriage vers G en coloriant e !

1

m

i-1

1

i-1

i

i

Cours de graphes 5 - Intranet

slide122

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Coloriage de G = ( V , { e , . . . , e } ) avec D( G ) + 1 couleurs !
  • L’hypothèse :
    • G = ( V , { e , . . . , e } ) est colorié !
  • Nous étendons ce coloriage vers G en coloriant e !
  • Notation :
    • Abs( u ) est l’ensemble des couleurs absentes du sommet « u » !
    • Abs( u ) n’est jamais vide ! ! !

1

m

i-1

1

i-1

i

i

Cours de graphes 5 - Intranet

slide123

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

v

1

  • Soit e = ( v , w ) !

i

1

w

Cours de graphes 5 - Intranet

slide124

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

v

1

  • Soit e = ( v , w ) !
  • Premier cas, favorable :
    • Il existe une couleur « c » avec c e Abs( v ) Abs( w ) !
    • Utilisons donc cette couleur ! ! !

i

1

w

v

1

Cours de graphes 5 - Intranet

slide125

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

v

1

  • Soit e = ( v , w ) !
  • Premier cas, favorable :
    • Il existe une couleur « c » avec c e Abs( v ) Abs( w ) !
    • Utilisons donc cette couleur ! ! !
  • Deuxième cas, défavorable :
    • Abs( v ) Abs( w ) est vide !

i

1

w

v

1

v

1

v

1

?

w

Cours de graphes 5 - Intranet

slide126

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

v

1

  • Soit e = ( v , w ) !
  • Premier cas, favorable :
    • Il existe une couleur « c » avec c e Abs( v ) Abs( w ) !
    • Utilisons donc cette couleur ! ! !
  • Deuxième cas, défavorable :
    • Abs( v ) Abs( w ) est vide !
    • Soit c e Abs( v ) !

i

1

w

v

1

Sans c

v

1

1

v

1

?

1

1

w

Cours de graphes 5 - Intranet

slide127

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

v

1

  • Soit e = ( v , w ) !
  • Premier cas, favorable :
    • Il existe une couleur « c » avec c e Abs( v ) Abs( w ) !
    • Utilisons donc cette couleur ! ! !
  • Deuxième cas, défavorable :
    • Abs( v ) Abs( w ) est vide !
    • Soit c e Abs( v ) !
    • Donc, c e Abs ( w ) !

i

1

w

v

1

Sans c

v

1

1

v

1

?

1

1

w

/

1

Cours de graphes 5 - Intranet

slide128

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

v

1

  • Soit e = ( v , w ) !
  • Premier cas, favorable :
    • Il existe une couleur « c » avec c e Abs( v ) Abs( w ) !
    • Utilisons donc cette couleur ! ! !
  • Deuxième cas, défavorable :
    • Abs( v ) Abs( w ) est vide !
    • Soit c e Abs( v ) !
    • Donc, c e Abs ( w ) !
    • Il existe v tel que ( v , w )ait la couleur c !

i

1

w

v

1

Sans c

v

1

v

1

2

v

1

?

c

1

1

1

w

/

1

2

2

1

Cours de graphes 5 - Intranet

slide129

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

Sans c

v

1

v

  • Que faire ? ? ?

1

2

?

c

1

w

Cours de graphes 5 - Intranet

slide130

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

Sans c

v

1

v

  • Que faire ? ? ?
  • Nous essayons de
    • trouver une couleur « c » avec c e Abs( v ) Abs( w ) !

1

2

?

c

1

w

v

2

Cours de graphes 5 - Intranet

slide131

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

Sans c

v

1

v

  • Que faire ? ? ?
  • Nous essayons de
    • trouver une couleur « c » avec c e Abs( v ) Abs( w ) !
    • Nous utilisons cette couleur à la place de c ! ! !

1

2

c

?

c

XX

1

w

v

2

1

Cours de graphes 5 - Intranet

slide132

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

Sans c

v

1

v

  • Que faire ? ? ?
  • Nous essayons de
    • trouver une couleur « c » avec c e Abs( v ) Abs( w ) !
    • Nous utilisons cette couleur à la place de c ! ! !
    • c peut être utilisée pour ( v , w ) ! ! !

1

2

c

c

1

c

XX

1

w

v

2

1

1

1

Cours de graphes 5 - Intranet

slide133

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

Sans c

v

1

v

  • Que faire ? ? ?
  • Nous essayons de
    • trouver une couleur « c » avec c e Abs( v ) Abs( w ) !
    • Nous utilisons cette couleur à la place de c ! ! !
    • c peut être utilisée pour ( v , w ) ! ! !

1

2

c

c

1

c

XX

1

w

v

2

1

1

1

Sans c

Sans c

v

v

1

1

v

v

1

1

2

2

c

devient

?

c

1

c

c

XX

1

1

w

w

c

Cours de graphes 5 - Intranet

slide134

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

Sans c

v

1

v

  • Que faire ? ? ?
  • Nous essayons de
    • trouver une couleur « c » avec c e Abs( v ) Abs( w ) !
    • Nous utilisons cette couleur à la place de c ! ! !
    • c peut être utilisée pour ( v , w ) ! ! !

1

Parfait si "c" existe ! ! !

2

c

c

1

c

XX

1

w

v

2

1

1

1

Sans c

Sans c

v

v

1

1

v

v

1

1

2

2

c

devient

?

c

1

c

c

XX

1

1

w

w

c

Cours de graphes 5 - Intranet

slide135

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Que faire si
    • Abs( v ) Abs( w ) est vide ?

v

2

Sans c

v

1

v

1

2

?

c

1

w

Cours de graphes 5 - Intranet

slide136

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Que faire si
    • Abs( v ) Abs( w ) est vide ?
    • Soit c e Abs( v ) !

v

2

2

2

Sans c

2

Sans c

v

1

v

1

2

?

c

1

w

Cours de graphes 5 - Intranet

slide137

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Que faire si
    • Abs( v ) Abs( w ) est vide ?
    • Soit c e Abs( v ) !
    • Donc, c e Abs ( w ) !
    • Il existe v tel que ( v , w )ait la couleur c !

v

2

2

2

/

2

3

3

2

Sans c

2

Sans c

v

1

v

1

2

?

c

1

w

v

3

c

2

Cours de graphes 5 - Intranet

slide138

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Que faire si
    • Abs( v ) Abs( w ) est vide ?
    • Soit c e Abs( v ) !
    • Donc, c e Abs ( w ) !
    • Il existe v tel que ( v , w )ait la couleur c !

v

2

2

2

/

2

3

3

2

Sans c

2

Sans c

v

1

v

1

2

Nous cherchons . . .

?

c

1

w

v

3

c

2

Cours de graphes 5 - Intranet

slide139

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

Sommes-nous

toujours à même

de trouver ? ? ?

  • Que faire si
    • Abs( v ) Abs( w ) est vide ?
    • Soit c e Abs( v ) !
    • Donc, c e Abs ( w ) !
    • Il existe v tel que ( v , w )ait la couleur c !

v

2

2

2

/

2

3

3

2

Sans c

2

Sans c

v

1

v

1

2

Nous cherchons . . .

?

c

1

w

v

3

c

2

Cours de graphes 5 - Intranet

slide140

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • La pire des situations . . .

Sans c

v

1

1

?

w

Cours de graphes 5 - Intranet

slide141

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • La pire des situations . . .

Sans c

2

Sans c

v

1

v

1

2

?

c

1

w

Cours de graphes 5 - Intranet

slide142

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • La pire des situations . . .

Sans c

2

Sans c

v

1

v

1

2

?

c

1

c

w

1

v

3

c

2

Sans c

3

Cours de graphes 5 - Intranet

slide143

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • La pire des situations . . .

Sans c

2

Sans c

v

1

v

1

2

?

c

1

c

w

1

v

3

c

2

Sans c

3

c

3

c

1

v

4

c

2

Cours de graphes 5 - Intranet

slide144

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • La pire des situations . . .

Sans c

2

Sans c

v

1

v

1

2

?

c

1

c

etc, etc, . . .

w

1

v

3

c

2

Sans c

3

c

3

c

1

v

4

c

2

Cours de graphes 5 - Intranet

slide145

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • La pire des situations . . .

Sans c

2

Sans c

v

1

v

1

2

?

c

1

c

etc, etc, . . .

w

1

v

3

c

2

Sans c

3

Justement

pas ! ! !

c

3

c

1

v

4

c

2

Cours de graphes 5 - Intranet

slide146

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • La pire des situations . . .

L'arité

des

sommets

est

limitée ! ! !

Sans c

2

Sans c

v

1

v

1

2

?

c

1

c

etc, etc, . . .

w

1

v

3

c

2

Sans c

3

Justement

pas ! ! !

c

3

c

1

v

4

c

2

Cours de graphes 5 - Intranet

slide147

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs différentes :

1

h

1

h-1

Sans c

1

Sans c

2

v

v

1

2

?

c

1

c

w

1

v

3

c

2

Sans c

3

c

3

c

1

v

4

c

2

Cours de graphes 5 - Intranet

slide148

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs différentes :

1

h

1

h-1

( C1 ) : 1 <= j <= h-1 :

c e Abs( v ) et

( v , w ) de couleur c

Sans c

1

Sans c

2

v

v

j

j

1

2

j

j+1

?

c

1

c

w

1

v

3

c

2

Sans c

3

c

3

c

1

v

4

c

2

Cours de graphes 5 - Intranet

slide149

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs différentes :

1

h

1

h-1

( C1 ) : 1 <= j <= h-1 :

c e Abs( v ) et

( v , w ) de couleur c

Sans c

1

Sans c

2

v

v

j

j

1

2

j

j+1

?

c

1

c

w

1

v

3

c

2

Sans c

3

c

3

c

1

v

4

c

2

Cours de graphes 5 - Intranet

slide150

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs différentes :

1

h

1

h-1

( C1 ) : 1 <= j <= h-1 :

c e Abs( v ) et

( v , w ) de couleur c

Sans c

1

Sans c

2

v

v

j

j

1

2

j

j+1

?

c

1

c

w

1

v

3

c

2

Sans c

3

c

3

c

1

v

4

c

2

Cours de graphes 5 - Intranet

slide151

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs différentes :

1

h

1

h-1

( C1 ) : 1 <= j <= h-1 :

c e Abs( v ) et

( v , w ) de couleur c

Sans c

1

Sans c

2

v

v

j

j

1

2

j

j+1

?

c

1

c

w

1

( C2 ) : 1 <= j <= h-1 :

Abs( v ) Abs( w ) est vide

v

3

c

2

Sans c

v

j

3

c

3

c

1

v

4

c

2

Cours de graphes 5 - Intranet

slide152

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs différentes :

1

h

1

h-1

( C1 ) : 1 <= j <= h-1 :

c e Abs( v ) et

( v , w ) de couleur c

Sans c

1

Sans c

2

v

v

j

j

1

2

j

j+1

?

c

1

c

w

1

( C2 ) : 1 <= j <= h-1 :

Abs( v ) Abs( w ) est vide

v

3

c

2

Sans c

v

j

3

c

3

( C3 ) : 2 <= j <= h-1 :

{ c , . . . , c } Abs( v ) est vide

c

1

v

v

1

j-1

j

4

c

2

Cours de graphes 5 - Intranet

slide153

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs différentes :

1

h

1

h-1

( C1 ) : 1 <= j <= h-1 :

c e Abs( v ) et

( v , w ) de couleur c

Sans c

1

Sans c

2

v

v

j

j

1

2

j

j+1

?

c

1

c

w

1

( C2 ) : 1 <= j <= h-1 :

Abs( v ) Abs( w ) est vide

v

3

c

2

Sans c

v

j

3

c

3

( C3 ) : 2 <= j <= h-1 :

{ c , . . . , c } Abs( v ) est vide

c

1

v

v

1

j-1

j

4

c

2

Cours de graphes 5 - Intranet

slide154

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs différentes :

1

h

1

h-1

( C1 ) : 1 <= j <= h-1 :

c e Abs( v ) et

( v , w ) de couleur c

Sans c

1

Sans c

2

v

v

j

j

1

2

j

j+1

?

c

1

c

w

1

( C2 ) : 1 <= j <= h-1 :

Abs( v ) Abs( w ) est vide

v

3

c

2

Sans c

v

j

3

c

3

( C3 ) : 2 <= j <= h-1 :

{ c , . . . , c } Abs( v ) est vide

c

1

v

v

1

j-1

j

4

c

2

Cours de graphes 5 - Intranet

slide155

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs différentes :

1

h

1

h-1

( C1 ) : 1 <= j <= h-1 :

c e Abs( v ) et

( v , w ) de couleur c

Sans c

1

Sans c

2

v

v

j

j

1

2

j

j+1

?

c

1

c

w

1

( C2 ) : 1 <= j <= h-1 :

Abs( v ) Abs( w ) est vide

v

3

c

2

Sans c

v

j

3

c

3

( C3 ) : 2 <= j <= h-1 :

{ c , . . . , c } Abs( v ) est vide

c

1

v

v

1

j-1

j

4

c

2

Cours de graphes 5 - Intranet

slide156

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs différentes :

1

h

1

h-1

( C1 ) : 1 <= j <= h-1 :

c e Abs( v ) et

( v , w ) de couleur c

Sans c

1

Sans c

2

v

v

j

j

1

2

j

j+1

?

c

1

c

w

1

( C2 ) : 1 <= j <= h-1 :

Abs( v ) Abs( w ) est vide

v

3

c

2

Sans c

v

j

3

c

3

( C3 ) : 2 <= j <= h-1 :

{ c , . . . , c } Abs( v ) est vide

c

1

v

v

1

j-1

j

4

c

2

Et pour v ? ? ?

h

Cours de graphes 5 - Intranet

slide157

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que . . .

h

h+1

Cours de graphes 5 - Intranet

slide158

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que . . .
  • Or, l’arité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou ( C3 ) ne seront plus vérifiées !

h

h+1

i

Cours de graphes 5 - Intranet

slide159

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que . . .
  • Or, l’arité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou ( C3 ) ne seront plus vérifiées !
  • Cas A, la négation de ( C2 ), facile :
    • Il existe c telle que c e Abs( v ) Abs( w )

h

h+1

i

v

0

0

h

Cours de graphes 5 - Intranet

slide160

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que . . .
  • Or, l’arité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou ( C3 ) ne seront plus vérifiées !
  • Cas A, la négation de ( C2 ), facile :
    • Il existe c telle que c e Abs( v ) Abs( w )

h

h+1

i

v

0

0

h

v

v

v

v

1

1

2

2

. . .

. . .

?

?

devient

c

c

1

1

w

w

v

v

h

h

c

c

h-1

h-1

c

0

Cours de graphes 5 - Intranet

slide161

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) et il existera v tel que . . .
  • Or, l’arité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou ( C3 ) ne seront plus vérifiées !
  • Cas A, la négation de ( C2 ), facile :
    • Il existe c telle que c e Abs( v ) Abs( w )

h

h+1

i

v

0

0

h

v

v

v

v

1

1

2

2

. . .

. . .

?

?

devient

c

c

1

1

w

w

v

v

h

h

c

c

h-1

h-1

c pour ( v , w ) et c pour ( v , w ) , 1 <= i < h.

0

h

i

i

c

0

Cours de graphes 5 - Intranet

slide162

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

Cours de graphes 5 - Intranet

slide163

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

v

v

1

. . .

s+1

. . .

?

c

s

w

v

Pas d’arête

rouge !

h

c

h-1

Cours de graphes 5 - Intranet

slide164

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

v

v

Soit

c e Abs( w )

1

. . .

s+1

0

. . .

?

c

s

w

v

Sans c

Pas d’arête

rouge !

h

c

0

h-1

Cours de graphes 5 - Intranet

slide165

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

v

v

Soit

c e Abs( w )

1

. . .

s+1

0

. . .

?

c

s

w

v

Sans c

Pas d’arête

rouge !

h

c

0

h-1

Soit P = { v , u , . . . , u } le chemin le plus long

constitué d’arêtes de couleurs c et c !

s

1

t

0

s

Cours de graphes 5 - Intranet

slide166

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

v

s

c

s-1

v

. . .

v

Soit

c e Abs( w )

1

s+1

0

. . .

?

c

s

w

v

Sans c

Pas d’arête

rouge !

h

c

0

h-1

Soit P = { v , u , . . . , u } le chemin le plus long

constitué d’arêtes de couleurs c et c !

s

1

t

0

s

Cours de graphes 5 - Intranet

slide167

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

. . .

v

u

u

s

1

t

c

c

c

0

s

s-1

v

. . .

v

Soit

c e Abs( w )

1

s+1

0

. . .

?

c

s

w

v

Sans c

Pas d’arête

rouge !

h

c

0

h-1

Soit P = { v , u , . . . , u } le chemin le plus long

constitué d’arêtes de couleurs c et c !

s

1

t

0

s

Cours de graphes 5 - Intranet

slide168

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

. . .

v

u

u

s

1

t

c

c

c

0

s

s-1

v

. . .

v

Soit

c e Abs( w )

1

s+1

0

. . .

?

c

s

w

v

Sans c

Pas d’arête

rouge !

h

c

0

h-1

P n’est pas vide, simple et de longueur finie ! ! !

Cours de graphes 5 - Intranet

slide169

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

Sans c

. . .

s

v

u

u

s

1

t

c

c

c

0

s

s-1

v

. . .

v

Soit

c e Abs( w )

1

s+1

0

. . .

?

c

s

w

v

Sans c

Pas d’arête

rouge !

h

c

0

h-1

P n’est pas vide, simple et de longueur finie ! ! !

Ce n’est pas un cycle : v = u ! ! !

/

s

t

Cours de graphes 5 - Intranet

slide170

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

Sans c

. . .

s

v

u

u

s

1

t

c

c

c

0

s

s-1

v

. . .

v

Soit

c e Abs( w )

1

s+1

0

. . .

?

c

s

w

v

Sans c

Pas d’arête

rouge !

h

c

0

h-1

P n’est pas vide, simple et de longueur finie ! ! !

Ce n’est pas un cycle : v = u ! ! !

/

s

t

w = u , . . . , w = u , car c e Abs( w ) ! ! !

/

/

1

t-1

0

Cours de graphes 5 - Intranet

slide171

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

Sans c

. . .

s

v

u

u

s

1

t

c

c

c

0

s

s-1

v

. . .

v

Soit

c e Abs( w )

1

s+1

0

. . .

?

c

s

/

w

w = u

w = u

v

Sans c

Pas d’arête

rouge !

h

c

0

t

t

h-1

P n’est pas vide, simple et de longueur finie ! ! !

Ce n’est pas un cycle : v = u ! ! !

/

s

t

w = u , . . . , w = u , car c e Abs( w ) ! ! !

/

/

1

t-1

0

Cours de graphes 5 - Intranet

slide172

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

Sans c

. . .

s

v

u

u

s

1

t

c

c

c

0

s

s-1

v

. . .

v

Soit

c e Abs( w )

1

s+1

0

. . .

?

c

s

/

w

w = u

v

Sans c

Pas d’arête

rouge !

h

c

0

t

h-1

( Cas a )

Cours de graphes 5 - Intranet

slide173

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

Sans c

. . .

s

v

u

u

s

1

t

c

c

c

0

s

s-1

v

. . .

v

Notons que u peut

être égal à v .

Soit

c e Abs( w )

1

t

s+1

h

0

. . .

?

c

s

/

w

w = u

v

Sans c

Pas d’arête

rouge !

h

c

0

t

h-1

( Cas a )

Cours de graphes 5 - Intranet

slide174

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

Sans c

. . .

s

v

u

u

s

1

t

c

c

c

0

s

s-1

v

. . .

v

Notons que u peut

être égal à v .

Soit

c e Abs( w )

1

t

s+1

h

0

. . .

?

c

s

/

w

w = u

v

Sans c

Pas d’arête

rouge !

h

c

0

t

h-1

Echangeons les couleurs c et c le long de P !

0

s

( Cas a )

Cours de graphes 5 - Intranet

slide175

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

Sans c

. . .

s

v

u

u

s

1

t

c

c

c

s

0

s-1

v

. . .

v

Notons que u peut

être égal à v .

Soit

c e Abs( w )

1

t

s+1

h

0

. . .

?

c

s

/

w

w = u

v

Sans c

Pas d’arête

rouge !

h

c

0

t

h-1

Echangeons les couleurs c et c le long de P !

0

s

( Cas a )

Cours de graphes 5 - Intranet

slide176

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

Sans c

. . .

s

v

u

u

s

1

t

c

c

c

s

0

s-1

v

c

. . .

v

Notons que u peut

être égal à v .

Soit

c e Abs( w )

1

t

s+1

0

h

0

. . .

?

c

s

/

w

w = u

v

Sans c

Pas d’arête

rouge !

h

c

0

t

h-1

Echangeons les couleurs c et c le long de P !

0

s

( Cas a )

Utilisons c pour ( v , w ) et décalons les autres !

s

0

Cours de graphes 5 - Intranet

slide177

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

Sans c

. . .

s

v

u

u

s

1

t

c

c

c

0

s

s-1

v

. . .

v

Soit

c e Abs( w )

1

s+1

0

. . .

?

c

s

w

w = u

v

Sans c

Pas d’arête

rouge !

h

c

0

t

h-1

( Cas b )

Cours de graphes 5 - Intranet

slide178

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

Sans c

s

v

u

s

1

c

c

0

. . .

s-1

v

. . .

v = u

Soit

c e Abs( w )

1

s+1 t-1

0

. . .

?

c

s

u = w

w = u

t

v

Pas d’arête

rouge !

h

c

t

h-1

( Cas b )

Cours de graphes 5 - Intranet

slide179

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

Sans c

s

v

u

s

1

c

c

0

. . .

s-1

v

. . .

v = u

Soit

c e Abs( w )

1

s+1 t-1

0

. . .

?

c

s

u = w

w = u

t

v

Pas d’arête

rouge !

h

c

t

h-1

Soit P’ = { v , u’ , . . . , u’ } le chemin le plus

long constitué d’arêtes de couleurs c et c !

1

h

t’

( Cas b )

s

0

Cours de graphes 5 - Intranet

slide180

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

Sans c

s

v

u

s

1

c

c

0

. . .

s-1

v

. . .

v = u

Soit

c e Abs( w )

1

s+1 t-1

. . .

u’

u’

0

. . .

?

1

t’

c

c

c

s

0

s

u = w

w = u

t

v

Pas d’arête

rouge !

h

c

t

h-1

Soit P’ = { v , u’ , . . . , u’ } le chemin le plus

long constitué d’arêtes de couleurs c et c !

1

h

t’

( Cas b )

s

0

Cours de graphes 5 - Intranet

slide181

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

Sans c

s

v

u

s

1

c

c

0

. . .

s-1

v

. . .

v = u

Soit

c e Abs( w )

1

s+1 t-1

. . .

u’

u’

0

. . .

?

1

t’

c

c

c

s

0

s

u = w

w = u

t

v

Pas d’arête

rouge !

h

c

t

h-1

Soit P’ = { v , u’ , . . . , u’ } le chemin le plus

long constitué d’arêtes de couleurs c et c !

1

h

t’

( Cas b )

s

0

Maintenant, w = u’ et nous avons le cas a !

/

t’

Cours de graphes 5 - Intranet

slide182

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

Sans c

s

v

u

Echange !

s

1

c

c

0

. . .

s-1

v

. . .

v = u

Soit

c e Abs( w )

1

s+1 t-1

. . .

u’

u’

0

. . .

?

1

t’

c

c

c

s

s

0

u = w

w = u

t

v

Pas d’arête

rouge !

h

c

t

h-1

Soit P’ = { v , u’ , . . . , u’ } le chemin le plus

long constitué d’arêtes de couleurs c et c !

1

h

t’

( Cas b )

s

0

Maintenant, w = u’ et nous avons le cas a !

/

t’

Cours de graphes 5 - Intranet

slide183

Coloriage des arêtes-----------------------------------------------------------------

  • Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :
    • Il existe c , 1 <= s < h-1 , telle que c e Abs( v )

s

s

h

Sans c

Décalage !

s

v

u

Echange !

s

1

c

c

0

. . .

s-1

v

. . .

v = u

Soit

c e Abs( w )

1

s+1 t-1

. . .

u’

u’

0

. . .

?

1

t’

c

c

c

s

s

0

u = w

w = u

t

v

Pas d’arête

rouge !

h

c

t

h-1

c

0

Soit P’ = { v , u’ , . . . , u’ } le chemin le plus

long constitué d’arêtes de couleurs c et c !

1

h

t’

( Cas b )

s

0

Maintenant, w = u’ et nous avons le cas a !

/

t’

Cours de graphes 5 - Intranet

slide184

Synthèse-----------------------------------------------------------------Synthèse-----------------------------------------------------------------

  • Coloriage de graphes.
  • Problème des 4 couleurs, graphes planaires.
  • Théorème de Vizing.
  • Applications.

Cours de graphes 5 - Intranet

slide185

m E r C i e T

b O n N e J o U r N é E ! ! !

N ‘ o U b L i E z P a S d E

p R é P a R e R v O s

T D ! ! !

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