§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-5 关于弯曲理论的基本假设 §5-6 提高弯曲强度的措施

1. 第五章 弯曲应力 §5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-5 关于弯曲理论的基本假设 §5-6 提高弯曲强度的措施

2. §5-1 纯弯曲 CD段剪力为零，弯矩为常量，该段梁的变形称为纯弯曲。 AC、BD段梁的内力既有弯矩又有剪力，该段梁的变形称为横力弯曲。

3. 梁的纯弯曲实验 实验现象：横向线(a b）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，仍垂直于变形后的梁轴线。

4. 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。 假设 ②纵向纤维间无正应力 ①平面假设

5. 对称轴 m2 m1 e2 z x O1 O2 中性层 o y y 中性轴 e1 a1 a2 n1 n2 y dx O曲率中心 dq r m2 sy x M e2 M m2 m1 y sL O1 e1 O2 y dq n2 a1 a2 a2' n1 n2 dl dx §5-2 纯弯曲时的正应力 1.变形几何关系

6. smin M smax smin M smax 2.物理关系（胡克定律)

7. z(中性轴) M O x dA sdA y z y 3.静力关系 中性轴通过截面形心

8. 4.纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力)： ①距中性层y处的应力 ②梁的上、下边缘处，弯曲正应力取得最大值，分别为： —抗弯截面模量。

9. 5.三种典型截面对中性轴的惯性矩 矩形截面： 实心圆截面 截面为外径D、内径d(a=d/D)的空心圆:

10. §5-3 横力弯曲时的正应力 弯曲正应力分布 弹性力学精确分析表明，当跨度 l与横截面高度 h之比 l / h > 5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。 横力弯曲最大正应力

11. 弯曲正应力公式适用范围： ① 线弹性范围—正应力小于比例极限sp； ② 精确适用于纯弯曲梁； ③ 对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。

12. 3.变截面梁要综合考虑与 弯曲正应力强度条件 1.弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑

13. 强度校核: 截面设计: 确定梁的许可荷载: 根据强度条件可进行：

14. q=60kN/m 120 30 K 180 z C 1m l = 3m FAY y FBY 90kN FS M A B x x 90kN x 例：求图示梁（1）C 截面上K点正应力；（2）C 截面上最大正应力；（3）全梁上最大正应力；（4）已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ 1. 求支反力 解：

15. （压应力） 2. C 截面最大正应力 C 截面弯矩 C 截面惯性矩

16. 3. 全梁最大正应力 最大弯矩

17. 4. C 截面曲率半径ρ C 截面弯矩 C 截面惯性矩

18. 例：某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重 ，起重量 ，跨度 ，材料的许用应力 。试选择工字钢的型号。

19. 计算 （3）根据 解： （1）计算简图 （2）绘弯矩图 （4）选择工字钢型号 36c工字钢 （5）讨论

20. 例5-3-3：已知16号工字钢Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m，[]=160MPa，E=210GPa，在梁的下边缘C点沿轴向贴一应变片，测得C点轴向线应变 ，求F并校核梁正应力强度。 F A B C NO.16

21. F A B C

22. 例5-3-4：T型截面铸铁梁，截面尺寸如图, ,试校核梁的强度。

23. z1 52 z y 解： （1）求截面形心 （2）求截面对中性轴z的惯性矩

24. （3）作弯矩图 （4）B截面校核

25. （3）作弯矩图 （4）B截面校核 （5）C截面要不要校核？

26. (a) (b) 例 ：图a所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁，该截面对于中性轴z 的惯性矩Iz=5493×104 mm4。已知图a中，b=2 m。铸铁的许用拉应力[t]=30 MPa，许用压应力[c]=90 MPa 。试求梁的许可荷载[F]。

27. 解：最大负弯矩所在B截面处，若截面的上边缘处最大拉应力st,max达到[st]，则下边缘处最大压应力sc,max为解：最大负弯矩所在B截面处，若截面的上边缘处最大拉应力st,max达到[st]，则下边缘处最大压应力sc,max为 根据 可知此sc,max并未达到许用压应力[sc]，也就是说，就B截面而言，梁的强度由最大拉应力控制。

28. 第四章 弯曲应力 B截面： C截面： 显然，B截面上的最大拉应力控制了梁的强度。

29. 第四章 弯曲应力 于是由B截面上最大拉应力不得超过铸铁的许用拉应力[st]的条件来求该梁的许可荷载[F]： 由此得F≤19200 N，亦即该梁的许可荷载为[F]=19.2 kN。 当然，这个许可荷载是在未考虑梁的自重的情况下得出的，但即使考虑自重，许可荷载也不会减少很多。

30. 解： 讨论：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。 由此得

31. x dx 1 2 1' 1 FS FS e2 m m' M+dM M x z t' y y m n x e1 e1 s+ds s A n' m' dx 1' 1 2 1 m y n 1 2 dx A b t' ty 1' §5-4 弯曲切应力 一、矩形梁横截面上的切应力 1、公式推导：

32. b Fs(x)+dFs(x) M(x) Fs(x) dx M(x)+d M(x) z t’ x t s1 s2 由剪应力互等 y

33. Fs t方向：与横截面上剪力方向相同； t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。 最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。

34. 其中Fs为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩； Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。 二、其它截面梁横截面上的剪应力 1、研究方法与矩形截面同；剪应力的计算公式亦为：

35. 2、工字形截面梁的剪应力 翼缘 在腹板上： 腹板

36. 在翼缘上，有平行于Fs的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。在翼缘上，有平行于Fs的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。 在翼缘上，还有垂直于Fs方向的剪应力分量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。 腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。

37. 3、圆截面梁的剪应力 下面求最大剪应力：

38. 三、弯曲剪应力强度条件

39. q=3.6kN/m A B L=3m Fs – + x M + x 例：矩形(bh=120180mm2)截面木梁如图，[]=7MPa，[]=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。 解：画内力图求危面内力

40. 求最大应力并校核强度 应力之比

41. 40 yc 10 40 10 C A B 例：T形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知[s]c=100MPa，[s]t=50MPa，[t]=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左侧截面E点的正应力、切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度条件。

42. 40 yc 10 40 C A B 1 M 10 0.25 + FS _ (kN) 0.75 0.5 _ (kN.m) + 0.25 1）求支座反力： 2）作梁的Fs和M图

43. 该梁满足强度要求

44. 该梁满足强度要求

45. 例：悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为[胶]=0.34MPa，木材的[]=10MPa，[]=1MPa，求许可载荷。例：悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为[胶]=0.34MPa，木材的[]=10MPa，[]=1MPa，求许可载荷。

46. 解： 1.画梁的剪力图和弯矩图 2.按正应力强度条件计算许可载荷 3.按切应力强度条件计算许可载荷

47. 4.按胶合面强度条件计算许可载荷 5.梁的许可载荷为

48. §5-5 关于弯曲理论的基本假设 在导出纯弯曲正应力的计算公式时，引用了两个假设：（1）平面假设；（2）纵向纤维间无正应力假设 。假设材料仍是线弹性的，对于横力弯曲问题，按纯弯曲正应力的计算公式将会导致计算误差。 可见上、下表面无切应变，中性层最大。切应变沿高度方向呈抛物线变化，可见这势必使横截面不能保持平面，而引起翘曲。

49. 理论分析表明：当截面高度h远小于跨度l的梁，上述偏差是非常小的；而h远远小于跨度l，却正是杆件的几何特征。理论分析表明：当截面高度h远小于跨度l的梁，上述偏差是非常小的；而h远远小于跨度l，却正是杆件的几何特征。

50. q(x) Fs+dFs Fs y s z t r s F’s+dF’s p r F’s r p y n dx 理论分析表明：h远远小于跨度l，y是可以忽略的，这正是假设纵向纤维间无正应力的根据