§3.3 拉普拉斯反变换

1. 为 的有理函数时，一般形式可表示为 §3.3 拉普拉斯反变换 拉普拉斯反变换是将象函数 变换为原函数 的运 算。可以利用复变函数理论中的围线积分和留数定理求 反变换。但当象函数为有理函数时，更简便的是代数方 法，这种方法称为“部分分式法”。 式中 为正整数。 为实常数，

2. 部分分式法的实质是利用拉氏变换的线性特性，即先将部分分式法的实质是利用拉氏变换的线性特性，即先将 分解为若干如表3-1所示的简单函数之和，再分别对 这些简单象函数求原函数。 将分母多项式表示为便于分解的形式 式中 是 的根，也称 的极点。 同样分子多项式也可以表示为 式中 是 的根，也称 的零点。

3. 既可以是各不相同的单极点，也可能出现 有相同的极点即有重极点；分母多项式的阶次一般高于 ，但也有可能 分子多项式 。下面分 几种具体情况讨论 分解的不同形式。 1. 均为单极点 式中 为不同数值的单极点。

4. 可分解为 （3-32) 则 现在的任务就是要快速、准确地确定系数 在(3-32)式两边乘以 (3-34)

5. 再令 ，则(3-34)式右边除 外，其余各项均为 零，由此得到第一个系数 同样,在(3-34)式两边同乘 ，然后令 可得第二个系数 以此类推，任一极点 对应的系数 为

6. 例3-9：已知象函数 ，求原函数。 解

7. 均为单极点 2. 当 时，利用长除法将分子多项式的高次项提出， 对余下的 部分处理同上。对提取的 部分 （ ），利用微分性质： …

8. 例3-10已知象函数 ，求原函数。 解

9. 例3-11 已知象函数 ，求原函数 。 解： 一般共轭复根可将分母配成二次项的平方，作为 整体考虑。

10. 有重极点 3. 可展开为 式中 是展开式中与极点 无关的部分。 设： 是 其中 的 阶极点。

11. 与前面求系数的方法相同，先在 等式两边同乘 当 项，其余各项为零。所以 时，右边只剩 面对(3.3-13)式，现在的任务是如何确定系数 ，有

12. 个系 个系数不能再用此法，为了求解剩下的 其余各项系数是否还能如法炮制？例如我们求 当 ，所以剩下的 时，等式右边第一项 数，引入函数

13. 对上式两边求导 再令 ，上式右边除了第一项外，其余各项均为0， 所以： 同理对上式再求导，可得

14. 再令上式的 得： 类推一般项系数 无关的 与极点 若均为单极点，用前面单极点 的处理方法展开，如还有重极点可用上面的方法处理。

15. 重极点反变换式中一般项为 L 所以最后 L + L

16. ，求原函数 例3.3-4已知 。 解：

18. 利用MATLAB程序可以减少计算，例3-10MATLAB程序 及结果为 b=[1 5 9 7];%分子系数 a=[0 1 3 2];%分母系数 [r,p,k]=residue(b,a)%r是系数，p是极点，k是直接项 答案 r =-1 2 p =-2 -1 k =1 2

19. 例3-12 MATLAB程序及结果为 b=[0 0 0 1 -2]; %分子系数 a=[1 3 3 1 0]; %分母系数 [r,p,k]=residue(b,a) %r是系数，p是极点，k是直接项 答案 r = 2.0000 2.0000 3.0000 -2.0000 p =-1.0000 -1.0000 -1.0000 0

20. §3.4线性系统的拉氏变换分析法 一、用拉氏变换求解线性微分方程 用拉氏变换求解线性微分方程，可以把对时域求解微分 方程的过程，转变为在复频域中求解代数方程的过程， 再经拉氏反变换得到响应的时域解。 ，求 。 例3-13：已知 ， 解：对方程两边取L (注意单边的)，且

21. 代入 值，合并同类项 其中： L

22. 4) 求出 L 由解此题过程可见 (1)时域中的微分方程求解在复频域中为代数方程求解。 (2)初始条件在变换中自动引入,其解为微分方程的完全解。 用拉氏变换求解线性微分方程的具体步骤： 1) 由具体电路列出微积分方程(组)； 2) 对微积分方程(组)取拉氏变换； ； 或 3) 用代数方法解出

23. 例3-14：已知 求响应 、 。 且 ， ， ， 解：

25. 所以

26. 或：

27. 2、S域的网路模型——运算电路法 根据元件上的电压、电流关系列写电路系统的微,积分 方程,然后对方程取拉氏变换的方法,在分析电路响应时 有许多优点,但是对比较复杂的网络(多网孔、节点),以 及对初始条件的处理（需要标准化或等效）还有许多 不便之处,我们可以用类似频域电路的方法，简化获得 网络拉氏变换方程的过程, 并且将初始条件“自动”引入， 充分体现拉氏变换优越性，这种方法称为S域的网路模 型法或运算电路法。

28. (1) 元件的域模型 首先讨论无初始条件电阻、电感、电容的域模型。此时 元件的时域电压电流关系为 （3.4-4） （3.4-5） 分别对上式进行拉氏变换，得到

29. 由上三式可见，如果认为 是复频域阻抗， 的电压电流关系满足复频域 则在 域对 + - + + - - （广义）的欧姆定律。这样就可以将原来的微、积分运 算关系变为代数运算关系。以上三式所表示的电压电流 关系，可以用如图3-7所示的s域网络模型表示。

30. 再考虑电感、电容具有初始条件的s域模型，此时时域再考虑电感、电容具有初始条件的s域模型，此时时域 模型如图3-8所示。 + - - - + + 其电压电流关系为 分别对上式进行拉氏变换，得到

31. 分别对上式进行拉氏变换，得到 上式所表示的电压电流关系，可以用如图3.4-3所示的s 域网络模型表示。 - - + + - - + +

32. 由上两式还可解出： 所对应的s域网络模型如图3.4-4所示 - + - +

33. 2、网络域等效模型及其响应求解 将网络中激励、响应以及所有元件用以上s域等效模型表 示后，得到网络s域等效模型 (运算电路)。利用网络的s 域等效模型，可以用与解直流电路相似的方法求解s域的 响应问题，最后再经反变换得到所需的时域结果。举例 说明用s域等效模型求解系统响应的方法。

34. ，响应为 例3-15电路如图3-11所示，激励为 ， 求s域等效模型及响应的s域方程。 + + - -

35. 解： s域等效模型（运算等效电路）如图3-12所示。 - + + + - - 列网孔方程:

36. 其中: 为s域等效阻抗 解出 由此例可见, 应用广义电路定律,列s域电路方程与直流 电路类似，使得求解响应的过程大大简化。尤其是与 用微分方程求解相比，初始条件自动引入，不必再将 初始条件标准化。

37. + - + - 例3-16已知电路如图3-13所示,求 。 其中：

38. 解s域等效模型如图3-14所示。 - + + + - - 列网孔方程式：

39. 由行列式求解 为 当激励为零时 等于此时的 ，所以

40. ， 例3-17电路如图3-15，已知 ， 。 求 ； + - + -

41. 解：例3-17电路的s域等效模型如图3-16所示。 - + + + - - 列网孔方程式：

42. 是全响应

43. 若要分别计算零状态、零输入响应，可以分别绘出与输若要分别计算零状态、零输入响应，可以分别绘出与输 入及初始状态有关的s域等效模型如图3-17a、b所示， 由图列出方程。 (1)零状态情况如图3-17a所示。 + - a

45. (2)零输入情况如图3-17b所示。 + - + - b

47. §3.5系统函数与零极点分析法 输入、输出关系是系统分析的重要组成部分，系统函数 体现的正是这种关系。在s域分析中，系统函数的作用 举足轻重，由它确定的零、极点集中的反映了系统的时 域与频域特性；它除了可以分析系统的时域特性；划分 自然、受迫、瞬态、稳态响应分量外；还可以分析系统 的频率响应特性、系统稳定等实际问题以及作系统模拟 （仿真）。

48. 1、系统函数 系统函数在零状态下定义为 系统函数也称转移函数、传输函数、传递函数。 由上式可得系统零状态响应象函数为 得到系统的零状态响应 L =L

49. 特别的，激励为 时，系统零状态响应是单位冲激响应 是一对拉氏变换对。 上式表明系统函数与单位冲激响应 除了由 可以求得系统函数外，由系统的不同表示形 式，也可以得到系统函数。

50. 系统为零状态且为 因果信号时，对方程两边取变换， 1、由微分方程 n阶系统微分方程的一般形式为 可得：