第 2 章補足 Ⅱ 2 項分布と正規分布についての補足

1. 第2章補足Ⅱ2項分布と正規分布についての補足第2章補足Ⅱ2項分布と正規分布についての補足 統計学　2006年度

2. 確率変数　－　とりうる値（連続変数の場合にはその値を含む微小な区間）のそれぞれにある確率が対応している変数確率変数　－　とりうる値（連続変数の場合にはその値を含む微小な区間）のそれぞれにある確率が対応している変数 • 確率分布　－　確率変数のとりうる値（連続変数の場合にはその値を含む微小な区間）と確率との対応関係 • 確率分布は、いくつかの種類に分類することができる。 • 離散型確率分布 2項分布、ポアソン分布、負の2項分布、超幾何分布、・・・ • 連続型確率分布 正規分布、t分布、カイ2乗分布、・・・

3. d) 2項分布 [定義]　起こりうる結果がAかBかという2つの結果しか起こらない試行† をn回繰り返したとき、Aという結果がx回おこったとする。このxの確率分布を2項分布という。 • このような試行をベルヌーイ試行という [分布関数]Aが起こる確率をp、Bが起こる確率をq(=1-p)とすると、2項分布は p(x)=nCxpxqn-x 　 という式であらわすことができる。この式を2項分布の分布関数という。 [期待値と分散] 2項分布の期待値（平均）は E(x)=np 　　　　　　　　　分散は　　　　　　 V(x)=npq 　となる。

4. (例)　サイコロを3回振る実験では、A（1の目が出る）かB（1の目が出ない）かという2つの結果しか起こらない試行をn（=3）回繰り返したとき、A （1の目が出る）という結果がx回おこった。このxの確率分布は2項分布(にしたがう)といわれる。 • この例では、　　　　　　　　　であるので、分布関数にあてはめると、 　　　　　　　　　となる。 • xのとりうる値は0,1,2,3の4つであるので、この分布関数は次のような関係を表している。

5. 　ｎCxについて • ｎCxはn個の中からx個を選ぶ組み合わせの数であり、次のように定義される。 • ここで、！は階乗を表す記号であり、次のようなものである。 n! = n ×(n-1)×・・・×2×1 　よって、ｎCxは次のように計算できる。 x個 x個

6. たとえば、５人の班の中から2人の委員を選ぶ組み合わせはたとえば、５人の班の中から2人の委員を選ぶ組み合わせは となる。 • サイコロを3回振る実験において、1の目が1回出るパターンは、 ○××, ×○×, ××○の3通りあるが、これはサイコロを振る3回のうち、何回目に1の目が出るかを考えたものであり、 である。 • また、nC0は定義のように計算できないので、 nC0＝１と特別に定義する。

7. 3C0=1, 3C1=3, 3C2=3, 3C3=1 であることから、サイコロを3回振る実験の分布関数は次のように表すことができる。 • 離散型確率変数の期待値は、一般に　　　　　　　　　　によって求めることができるので、 　　となる。

8. 確率変数が2項分布にしたがう場合、期待値は　　　　　　　として求めることができる。すなわち、すべてのとりうる値と対応する確率が得られなくても、期待値が計算できるのである。確率変数が2項分布にしたがう場合、期待値は　　　　　　　として求めることができる。すなわち、すべてのとりうる値と対応する確率が得られなくても、期待値が計算できるのである。 • この例の場合　　　　　　　　　　　　　となる。 • また、2項分布にしたがう確率変数の分散は　　　　　　　　として求めることができる。 • この例の場合　　　　　　　　　　　　　となる。

9. e) 正規分布 • 2項分布において、nを大きくしていくと、左右対称のつりがね型の正規分布といわれる分布に近づく。 • 2項分布は離散型確率変数の分布であるが、nを無限に大きくしたとき、xのとりうる値は無限に大きくなる。すなわちｘは連続型確率変数として扱われる。

10. 正規分布は平均μ、分散σ2の値によって、中心の位置や山の高さが変わってくる。正規分布は平均μ、分散σ2の値によって、中心の位置や山の高さが変わってくる。 ＜平均の異なる正規分布＞

11. ＜分散の異なる正規分布＞ • これらの正規分布は、中心の位置を移動させたり、目盛りの幅を変える（横に伸ばしたり、縮めたりする）ことによって、全て同じ正規分布となる。

12. ※　標準化と標準正規分布 • 正規分布にしたがう変数は、平均・分散をそろえることによって、比較することが可能である。 • さまざまな正規分布における値を、標準正規分布における相対的な位置に変換し、比較する。