値渡しのゲームの圏における 深さ優先戦略について

1. 値渡しのゲームの圏における深さ優先戦略について値渡しのゲームの圏における深さ優先戦略について 産業技術総合研究所 システム検証研究ラボ 松岡聡

2. ゲーム意味論とは(歴史） • もともとは線型論理の意味論 (Blass, Abramsky & Jagadeesan) • 高階のプログラミング言語についての意味論 (Abramsky一派、Hyland & Ong)

3. 値渡しゲームの圏CBV • 本田と吉田による • Hyland & Ong のポインター・名前渡しゲームの圏の変種

4. 値渡しゲームの圏の重要性 • C言語は値渡しである • ソフトウェア検証に応用を持つ １階のプログラムならばプログラムを正確に意味を保存しつつオートマトンに変換できる • 合成で閉じている(プログラムモジュールごとに検証可能）

5. 例 int succ(int x) { return x+1; } 値渡しゲームの圏における意味 私 敵 私 私はsuccにいる int nを渡す nをもらってn+1を返す

6. 例２ int foo (int bar(int)) { return succ(bar(5)); } 値渡しゲームの圏における意味 私 敵 私 敵 私 barにいる 5を敵に渡す succ(bar(5))を返す fooにいる bar(5) を返す

7. アリーナ（ゲーム盤） 例 nat= ω nat nat->nat = nat nat=>nat ここでnat=>natはsingleton {*}

8. アリーナ(ゲーム盤） nat nat nat nat nat nat nat nat nat nat=>nat nat nat=>nat nat (nat=>nat)=>nat nat=>nat nat=>nat (nat=>nat)=>nat=>nat nat=>nat (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat nat (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat ((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat (((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat)=>nat

9. ポラリティ nat nat nat nat nat nat nat nat nat nat=>nat nat nat=>nat nat (nat=>nat)=>nat nat=>nat nat=>nat (nat=>nat)=>nat=>nat nat=>nat (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat nat (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat ((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat (((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat)=>nat

10. プルーフネット 例 nat nat nat nat nat nat nat nat nat nat=>nat nat nat=>nat nat (nat=>nat)=>nat nat=>nat nat=>nat (nat=>nat)=>nat=>nat nat=>nat (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat nat (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat ((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat (((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat)=>nat

11. 戦略τ（その１） nat nat 13 nat 12 nat nat nat 8 nat nat 10 nat 11 nat=>nat nat nat=>nat 7 nat 9 (nat=>nat)=>nat nat=>nat 6 nat=>nat (nat=>nat)=>nat=>nat 5 nat=>nat 4 (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat nat (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat 3 ((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 2 (((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat)=>nat 1

12. 戦略τ（その２） nat nat nat nat nat nat nat 17 nat nat nat=>nat nat 16 nat=>nat nat (nat=>nat)=>nat nat=>nat nat=>nat 15 (nat=>nat)=>nat=>nat nat=>nat (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 14 nat (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat 3 ((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 2 (((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat)=>nat 1

13. 戦略τ（その３） nat 21 nat nat nat 20 nat nat nat nat nat nat=>nat 19 nat nat=>nat nat (nat=>nat)=>nat 18 nat=>nat nat=>nat 15 (nat=>nat)=>nat=>nat nat=>nat (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 14 nat (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat 3 ((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 2 (((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat)=>nat 1

14. 戦略τ（その４） nat nat nat nat nat 22 nat nat nat nat nat=>nat 19 nat nat=>nat nat (nat=>nat)=>nat 18 nat=>nat nat=>nat 15 (nat=>nat)=>nat=>nat nat=>nat (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 14 nat 23 (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat 3 ((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 2 (((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat)=>nat 1

15. 別のアリーナ（ゲーム盤） 例 nat nat nat nat nat nat nat=>nat nat nat nat=>nat nat=>nat nat nat nat (nat=>nat)=>nat (nat=>nat)=>nat=>nat nat=>nat nat=>nat (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat ((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat

16. ポラリティ 例 nat nat nat nat nat nat nat=>nat nat nat nat=>nat nat=>nat nat nat nat (nat=>nat)=>nat (nat=>nat)=>nat=>nat nat=>nat nat=>nat (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat ((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat

17. プルーフ・ネット 例 3 nat nat nat nat nat nat nat->nat nat nat nat=>nat nat->nat nat nat nat (nat=>nat)=>nat (nat->nat)->nat->nat nat=>nat nat->nat (nat->nat)->(nat->nat)->nat (nat->nat)->(nat->nat)->nat->nat ((nat->nat)->(nat->nat)->nat->nat)->(nat->nat)->(nat->nat)->nat

18. 戦略σ1（ｐλ(-)を使った）（その１） nat nat nat nat nat nat nat=>nat nat 10 nat nat=>nat 19 nat=>nat nat 17 nat 9 nat 16 (nat=>nat)=>nat 18 (nat=>nat)=>nat=>nat nat=>nat 15 nat=>nat 4 (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 14 (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat 3 ((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 2

19. 戦略σ1（ｐλ(-)を使った）（その２） nat nat 12 nat 21 nat nat 11 nat 20 nat=>nat nat nat nat=>nat 19 nat=>nat 6 nat nat nat (nat=>nat)=>nat 18 (nat=>nat)=>nat=>nat 5 nat=>nat 15 nat=>nat 4 (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 14 (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat 3 ((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 2

20. 戦略σ1（ｐλ(-)を使った）（その３） nat 13 nat nat nat8 nat nat nat 22 nat=>nat 7 nat nat=>nat 19 nat=>nat 6 nat nat nat (nat=>nat)=>nat 18 (nat=>nat)=>nat=>nat 5 nat=>nat 15 nat=>nat 4 (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 14 (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat 3 ((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 2

21. 戦略σ2（ｐλ’(-)を使った）（その１） nat nat nat nat nat nat nat=>nat nat 10 nat nat=>nat nat=>nat nat 17 nat 9 nat 16 (nat=>nat)=>nat (nat=>nat)=>nat=>nat nat=>nat 15 nat=>nat 4 (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 14 (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat 3 ((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 2

22. 戦略σ2（ｐλ’(-)を使った）（その２） nat nat 12 nat 21 nat ｎat11 nat20 nat=>nat nat nat nat=>nat19 nat=>nat 6 nat nat nat (nat=>nat)=>nat 18 (nat=>nat)=>nat=>nat 5 nat=>nat 15 nat=>nat 4 (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 14 (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat 3 ((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 2

23. 戦略σ2（ｐλ’(-)を使った）（その３） nat 13 nat nat nat 8 ｎat nat nat 22 nat=>nat 7 nat nat=>nat 19 nat=>nat 6 nat nat nat (nat=>nat)=>nat 18 (nat=>nat)=>nat=>nat 5 nat=>nat 15 nat=>nat 4 (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 14 (nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat 3 ((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 2

24. ゲームのプレー σ1とτによるプレー σ2とτによるプレー

25. いままでわかったこと • pλ(-)を使った戦略は通常の値渡しの戦略であるが、pλ’(-) を使った戦略も、ある種の値渡しの戦略に対応している