slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Wykład 15 PowerPoint Presentation
Download Presentation
Wykład 15

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 22

Wykład 15 - PowerPoint PPT Presentation


  • 125 Views
  • Uploaded on

Wykład 15. 5.5 Moment pędu bryły sztywnej - Moment bezwładności. 5.5.1 Moment pędu ciała rotacyjnie symetrycznego. 5.5.2 Twierdzenie Steinera. 5.6 Dynamika ruchu bryły sztywnej. 5.6.1 Energia kinetyczna bryły sztywnej. 5.6.2 Główne osie bezwładności. . m j. r j.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Wykład 15' - wilmer


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Wykład 15

5.5 Moment pędu bryły sztywnej - Moment bezwładności

5.5.1 Moment pędu ciała rotacyjnie symetrycznego

5.5.2 Twierdzenie Steinera

5.6 Dynamika ruchu bryły sztywnej

5.6.1 Energia kinetyczna bryły sztywnej

5.6.2 Główne osie bezwładności

Reinhard Kulessa

slide2

mj

rj

5.5 Moment pędu bryły sztywnej -

Moment bezwładności

Rotujące ciało sztywne charakteryzuje się tym, że wszystkie jego części poruszają się ze stałą prędkością kątową wokół osi obrotu.

Weźmy płytę płaskorównoległą i rozważmy jej obrót dookoła osi prostopadłej.

Pamiętamy, że

.

Pamiętamy, że dla każdego układu cząstek definicja momentu pędu jest następująca:

Reinhard Kulessa

slide3

czyli

.

Drugi składnik równania jest z oczywistych względów równy zeru. Mamy więc

(5.12)

.

(5.13)

Współczynnik I definiuje moment bezwładności dla płyty z ostatniego rysunku względem wybranej osi.

Reinhard Kulessa

slide4

ri

Ri

S

m’i

mi

r’i

5.5.1 Moment pędu ciała rotacyjnie symetrycznego

Mamy więc:

,

co uwzględnia wkład od obydwu mi mas do momentu pędu.

Sumując po wszystkich

Elementach mas, mamy:

(5.14)

Reinhard Kulessa

slide5

dr

r0

l

5.5.2 Twierdzenie Steinera

W ogólnym przypadku ciągłego rozkładu masy, moment bezwładności musimy liczyć przechodząc od sumowania do całkowania.

5.15)

.

Obliczmy dla przykładu moment bezwładności pełnego walca względem jego osi.

Masa walca jest równa M = r02 l.

Reinhard Kulessa

slide6

Ri

h

O

S

RiS

Moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez środek masy ciała jest związany z momentem bezwładności względem dowolnej osi.

Zależność podaje twierdzenie Steinera.

(5.16)

Sprawdźmy, czy tak rzeczywiście jest.

.

Reinhard Kulessa

slide7

.

Środkowe równanie znika ze względu na definicję środka masy w układzie środka masy.

Reinhard Kulessa

slide8

5.6 Dynamika ruchu bryły sztywnej

Pamiętamy z wzoru (5.3), że moment pędu może zostać zmieniony tylko przez działanie zewnętrznego momentu siły.

.

(5.17)

W przypadku braku sił zewnętrznych Li = Lfi wtedy

.

Rozważmy sobie jako przykład wahadło fizyczne.

Reinhard Kulessa

slide9

O

rsin

S

r

Mg

Mamy więc równanie

.

Dla małych wychyleń sin   , wtedy

otrzymujemy równanie oscylatora harmonicznego z 2=Mgr/I, z rozwiązaniem

.

Reinhard Kulessa

slide11

5.6.1 Energia kinetyczna bryły sztywnej

Wyprowadźmy jeszcze wyrażenie na energię bryły sztywnej. Da się ona rozłożyć na energię ruchu postępowego środka masy i energię ruchu obrotowego wokół środka masy.

Dla i-tego elementu masy danego ciała możemy napisać;

Sumując po wszystkich punktach otrzymujemy;

(5.18)

.

Reinhard Kulessa

slide12

mi

riS

S

ri

RS

Ostatnie równanie możemy również zapisać jako;

.

Jeśli bryła wykonuje równocześnie ruch postępowy i obrotowy, to energia kinetyczna tej bryły jest równa;

.

Równanie to możemy sobie łatwo

wyprowadzić

.

Reinhard Kulessa

slide13

Dalej otrzymujemy,

.

Spełnione są następujące zależności;

, więc

(5.20)

.

Reinhard Kulessa

slide14

5.6.2 Główne osie bezwładności

Dotychczas określaliśmy moment bezwładności ciała dookoła bliżej nieokreślonych osi obrotu. Istnieją osie obrotu, dla których moment bezwładności przyjmuje wartości ekstremalne.

Osie te nazywamy głównymi osiami bezwładności, a odpowiadające im momenty bezwładności, głównymi momentami bezwładności.

Do tej pory rozważaliśmy zawsze takie przypadki, że r  ,

.

Dla ogólnego przypadku możemy napisać;

.

(5.21)

Reinhard Kulessa

slide15

Dla ciągłych rozkładów mas otrzymamy;

Rozważmy postać wyrażenia na energię kinetyczną w układzie kartezjańskim umieszczonym w środku masy bryły.

W układzie tym ciało spoczywa.

Jeśli zauważymy, że

,

Reinhard Kulessa

slide16

oraz

,

to znajdziemy, że energię kinetyczną możemy napisać jako;

.

Przy czym

.

(5.22)

Reinhard Kulessa

slide17

Dla nieciągłego rozkładu masy, całki zastępujemy przez sumy.

itd.

Wyrażenia Ixx, Iyy, Izz są to momenty bezwładności dla rotacji względem osi układu współrzędnychx, y i z .

Wielkości Ixy, Ixz, Iyznazywamy momentami zboczenia.

Widać, że

Możemy więc powiedzieć, że moment bezwładności względem środka masy jest tensorem o następujących składowych

.

Reinhard Kulessa

slide18

W ogólnym przypadku moment bezwładności ma złożoną strukturę.

Jeśli za układ współrzędnych obierzemy główne osie bezwładności, I1, I2 i I3 , to znikają momenty zboczenia, i energia kinetyczna staje się równa;

.

(5.23)

Analogiczne rozważania możemy przeprowadzić dla momentu pędu. Pamiętamy, że;

.

Reinhard Kulessa

slide19

W rozdziale (5.5) podaliśmy to wyrażenie dla pręta wirującego

dookoła osi prostopadłej do pręta

W oparciu o poprzednie równanie otrzymujemy;

.

W przypadku rotującego pręta druga część wzoru znikała.

Rozpiszmy obecnie pełne równanie na składowe.

Reinhard Kulessa

slide20

Pamiętając poprzednie oznaczenia (wzór (5.22) ) możemy ostatni układ równań zapisać jako:

(5.24)

.

Zapisując powyższe równania wektorowo mamy;

.

Inaczej

.

Reinhard Kulessa

slide21



r

 

Tylko w przypadku rotacji względem osi głównych momentu bezwładności   L .

Rozważmy ogólny przypadek.

Pamiętamy, że

.

Zachodzi więc;

,

.

Reinhard Kulessa

slide22



L

I  

I

 

Moment bezwładności względem osi równoległej do osi do

dysku jest równy , gdzie r jest promieniem

dysku, a względem osi do niej prostopadłej, czyli leżącej

wzdłuż średnicy dysku .

Widzimy, że przy obrocie względem dowolnej osi

moment pędu nie jest równoległy do prędkości kątowej.

Reinhard Kulessa