1 / 56

Рекурсия

Рекурсия. Рекурсивные алгоритмы. Рекурсивные типы данных. Рекурсивные алгоритмы. Определение и примеры. Объект называется рекурсивным , если он содержит сам себя или определен с помощью самого себя. < Имя > ::= < Буква >|< Имя >< Буква >|< Имя >< Цифра > Дерево это О – пустое дерево

willis
Download Presentation

Рекурсия

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Рекурсия Рекурсивные алгоритмы. Рекурсивные типы данных.

  2. Рекурсивные алгоритмы.

  3. Определение и примеры • Объект называется рекурсивным, если он содержит сам себя или определен с помощью самого себя. • <Имя>::=<Буква>|<Имя><Буква>|<Имя><Цифра> • Дерево это • О – пустое дерево • Если T1и T2 – деревья, тотоже есть дерево. • Факториал:

  4. Формальное представление • Пусть: P – рекурсивная процедура; Si – базовые операторы, не содержащие P; P – композиция операторов; • Тогда: P = P[Si,P] • Средством создания рекурсивных программ является описание функций (процедур, под-программ), т.к. оно позволяет присвоить оператору имя, с помощью которого он может быть вызван.

  5. Классификация Прямо рекурсивная Косвенно рекурсивная P = P[Si,Q] Q = Q[Si,P] • P = P[Si,P] Набор локальных объектов, определенных внутри рекурсивной функции, создается заново при каждом вызове такой функции. Идентификаторы всегда ссылаются на множество переменных, созданное последним.

  6. N.B. • Проблема окончания работы. P = P[Si,if!B then P] Наиболее надежный способ окончания работы – связать с Р параметр n и рекурсивно вызывать Р с параметром n-1: P(n) = P[Si,if n>0 then P(n-1)] • Глубина рекурсии. Следует убедиться, что она не только конечна, но и достаточно мала.

  7. Поиск пути в лабиринте Пример рекурсивной программы

  8. Вид файла данных Первая строка: N – количество сток M – количество символовв строке Вторая строка и далее: N строк, со словами из алфавита {#,.,E} . – проходимая клетка # - непроходимая клетка Е – конечная клетка • 20 24 • ........................# • ..................#...#. • .................#...#.. • ................#...#... • ...............#...#.... • ..............#...#..... • .............#...#...... • ............#...#....... • ...........#...#........ • ..........#...#......... • .........#...#.......... • ........#...#........... • .......#...#............ • ......#...#............. • .....#...#.............. • ....#...#............... • ...#...#................ • ..#...#................. • .#...#.................E • #........................

  9. Файлы заголовков и глобальные переменные #include <iostream.h> #include <stdio.h> int N,M,F=0,X,Y; char** A; int** B;

  10. Создание динамических массивов void array(int n,int m) { A = new char*[n];// план лабиринта B = new int*[n];// ранг полей лабиринта while (n--) { A[n] = new char[m]; B[n] = new int [m]; } }

  11. Рекурсивное построение пути void next(intn,intm,int l) { if( n<0 || m<0 || n>=N || m>=M) return; if( A[n][m]=='.' && (!B[n][m] || l<B[n][m]) ) { B[n][m]=l; next(n-1,m,l+1); next(n,m+1,l+1); next(n+1,m,l+1); next(n,m-1,l+1); } else if( A[n][m]=='E' && (!B[n][m] || l<B[n][m]) ) { B[n][m]=l; F++; X=n; Y=m; } return; }

  12. Основная программа void main(intargv, char** argn){ FILE *pole; int n=0,m; if ((pole = fopen(argn[1], "r")) == NULL){ fprintf(stderr, "Cannot open input file .\n"); return;} fscanf(pole,"%d %d",&N,&M); array(N,M); while (!feof(pole)) fscanf(pole,"%s",A[n++]); fclose(pole); if(n!=N) { fprintf(stderr,"Error in data file\n"); return; }

  13. Основная программа for(n=0;n<N;n++) for(m=0;m<M;m++) B[n][m]=0; next(0,0,1); if(!F) cout << "No way\n "; elseprint_way(X,Y,B[X][Y]); for(n=0;n<N;n++) cout << A[n] << endl; } Демонстрация

  14. Печать найденного пути void print_way(intn,intm,int l) { cout << n << ' ' << m << endl; A[n][m]=‘*'; if(!--l) return; if(n && B[n-1][m]==l) n--; else if(n+1<N && B[n+1][m]==l) n++; else if(m && B[n][m-1]==l) m--; else m++; print_way(n,m,l); }

  15. Или о том, что рекурсию следует использовать весьма осмотрительно… Числа фибоначчи

  16. Вычисление чисел Фибоначчи • Итеративный long F(int n) { long a=1,b=1; do{a+=b;b=a-b;} while(--n>2); return a; } • Рекурсивный long F(int n){ return n<3?1:F(n-1)+F(n-2); } void main() {int n; cout << "Input n="; cin >> n; start = clock(); cout << " F(" << n << ")= " << F(n) << '\t'; end = clock(); cout << “Time was: " << (end - start) / CLK_TCK << " s\n";} F(40)= 102334155Time was: 0 s F(45)= 1134903170The time was: 0 s F(40)= 102334155 Time was: 5.10989 s F(45)= 1134903170Time was: 55.714286 s

  17. Или о том, когда рекурсию не следует использовать вообще… Функция Аккермана

  18. Функция Аккермана #include <iostream.h> int A(intm,int n) {return !m?n+1: !n?A(m-1,1): A(m-1,A(m,n-1)); } void main() {intn,m; cout << "Input m="; cin >> m;cout << "Input n="; cin >> n; cout << "A(" << m << ',' << n << «)= " << A(m,n) << endl;}

  19. Дерево вычисления функции А(2,2) А(2,2)=7 Количество вершин дерева - 27 Демонстрация

  20. Линейные наборы данных Древовидные структуры Динамические информационные структуры

  21. Указатели • Динамическое распределение памяти – выделение памяти для отдельных компонент в тот момент, во время выполнения программы, когда они появляются. • Компилятор во время трансляции выделяет фиксированный объём памяти для хранения адреса (указатель) динамически размеща-емой компоненты.

  22. ЛИНЕЙНЫЕ НАБОРЫ ДАННЫХ • Каждый элемент содержит только одну ссылку, связывающую его со следующим элементом списка: template <class T> struct Item {T n;Item* next; }; • Указатель на список: Item<Myclass> *top; • <ЛНД> ::= Ø| Item | Item <ЛНД>

  23. СПИСОК, ОЧЕРЕДЬ, СТЕК • Очередь FIFO – First In First Out • Стек LIFO – Last In First Out • Список Casual In Casual Out

  24. Организация стека на основе массива #include <iostream.h> #include <stdlib.h> void ERR(char c) { switch (c) { case 'f': cout << "Steak is Full!\n"; break; case 'e': cout << "Steak is Empty\n"; break; default: cerr << "E R R O R case !\n";} exit(1); }

  25. Описание шаблона типа данных template <class T> class steak { int N, sp; T *a; public: steak(int size) { a=new T[N=size]; sp=0; } int full() { return sp==N-1; } int empty() { return !sp;} void Push(T b) { if( full() ) ERR('f'); a[sp++]=b; } void Push(T* b) { while(*b) Push(*b++); } T Pop(void) { if( empty() ) ERR('e'); return a[--sp]; } ~steak() { delete a; }};

  26. Организация очереди на основе массива template <class T> class queue { intN,qp,k; T *a; public: queue(int R) { a=new T[N=R]; qp=N-5; k=0; } int full() { return k==N; } int empty() { return !k;} void Put(T b) { if( full() ) ERR('f'); k++; a[qp++]=b; if(qp==N) qp=0; } void Put(T* b) { while(*b) Put(*b++); } T Get(void) { if( empty() ) ERR('e'); return a[qp+(qp<k?N:0)-k--]; } ~queue() { delete a; } };

  27. Пример void main() { steak<char> A(100); steak<int> B(50); queue<char> C(15); queue<int> D(15); char *a="Hello world!"; int b[]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}; A.Push(a); B.Push(b); C.Put(a); D.Put(b); while(!A.empty()) cout <<A.Pop(); cout << endl; while(!B.empty()) cout <<B.Pop(); cout << endl; while(!C.empty()) cout <<C.Get(); cout << endl; while(!D.empty()) cout <<D.Get(); cout << endl;}

  28. Организация стека на основе использования указателей template <class T> struct Item { T n; Item* next; }; template <class T> class steak { Item<T> *Top; public: steak() { Top=NULL; } void push(T k) { Item<T> *ptr=new Item<T>; ptr->n=k;ptr->next=Top; Top=ptr; } T pop() { if(!Top) { cerr << "Steak is empty\n"; exit(1); } Item<T> k=*Top; delete (Top); Top=k.next; return k.n;} int empty() { return Top==NULL?1:0; }};

  29. Организация очереди на основе использования указателей • Top template <class T> class queue { Item<T> *Top,*Bot; public: queue() { Top=Bot=NULL; } void push(T k) { if(Bot!=NULL) { Bot->next=new Item<T>; Bot=Bot->next; } else Top=Bot=new Item<T>; Bot->next=NULL; Bot->n=k; } T pop() { if(Top==NULL) {cerr << "Steak is empty\n"; exit(1); } Item<T> k=*Top; delete (Top); Top=k.next; if(Top==NULL) Bot=NULL; return k.n;} int empty() { return Top==NULL?1:0; } }; • 1 • 2 • 3 • Bot • 3 • Bot

  30. Включение в списокнового элемента • После текущего Item<…> *q = new Item<…>; q->n = … q->next = p->next; p->next = q; • Перед текущим Item<…> *g = new Item <…>; *g = *p; p->next = g; p->n = …

  31. Исключение элемента из списка • Следующего за текущим p->next=p->next->next; • Текущего *p=*p->next;

  32. Организация списка template <class T> class list { Item<T> *Top; public: list() { Top=NULL; } Item<T>* find(Item<T>* &F, T k) { if(Top==NULL) return (F=NULL); Item<T> *ptr=F=Top; if(Top->n==k) return NULL; while((F=ptr->next)!=NULL) { if(F->n==k) break; ptr=F; } return ptr; } void put(T k,T n = 0) { Item<T> *b,*c; b=find(c,n); if(b==NULL) { Top=new Item<T>; Top->n=k; Top->next=c; } else { b->next=new Item<T>; b->next->n=k; b->next->next=c;}} void del(T k) { Item<T> *b,*c; b=find(c,k); if(c==NULL) return; if(b==NULL) { Top=Top->next; delete (c); } else { b->next=c->next; delete(c); }} void print() { Item<T> *ptr=Top; while(ptr) { cout << ptr->n << '\t'; ptr=ptr->next; }cout << '\n'; } };

  33. Пример void main() { steak<char> A; queue<char> B; list<int> C; char* a="Hello world!\n"; while(*a) { B.push(*a); A.push(*a++); } while(!A.empty()) cout << A.pop(); cout << endl; while(!B.empty()) cout << B.pop(); cout << endl; C.put(0); for(inti=1;i<4;i++) { C.put(i); C.put(i+3,100); } C.del(6); C.del(1); C.del(0); C.print();}

  34. Древовидные структуры • Дерево ::= Ø|Item ¤ *Item ¤ … ¤ *Item • Список – вырожденное дерево. • Терминология: • А – корень дерева; • С предок G или G потомок C; • Корень на уровне 1; • Максимальный уровень – это высота или глубина дерева • Число ребер, которые нужно пройти от корня до узла x, называют длиной пути к x.

  35. Древовидные структуры Корень имеет длину пути 1, его непосредственные потомки – 2, узлы на уровне i имеют длину пути i. • Элементы D,E,F,G,H – терминальные узлы. Не терминальные элементы называются внутренними узлами. • Число непосредственных потомков внутреннего узла называют его степенью. • Степень дерева – максимальная степень среди всех его узлов.

  36. (a+b/c)*(d-e*f)

  37. Бинарные деревья Struct Item {int n; Item*left, *right;}; • Построение дерева с n узлами минимальной высоты. • Взять один узел в качестве корня дерева; • Построить левое поддерево с nl=n/2 узлами; • Построить правое поддерево с nr=n-nl-1 узлами. • Item* tree(int n) { Item *ptr; intnl=n/2, nr=n-nl-1; if(!n) return null; ptr=new(Item); ptr->n=rand(); ptr->left=tree(nl); ptr->right=tree(nr); return ptr; }

  38. Бинарное дерево • Печать бинарного дерева void printtree(Item* ptr,int n=0) { if(!ptr) return; printtree(ptr->right,n+1); for(inti=0;i<n;i++) cout << '\t'; cout << ptr->n << endl; printtree(ptr->left,n+1); }

  39. Бинарное дерево • Обход дерева: • Сверху вниз: T,L,R • Слева направо: L,T,R • Снизу вверх: L,R,T • Дерево поиска: NL<NT<NR Здесь NL – все ключи левого поддерева, NR – все ключи правого поддерева • T • L • R

  40. (a+b/c)*(d-e*f) TLR: *+a/bc-d*ef – префиксная запись LTR: a+b/c*d-e*f – инфиксная запись LRT: abc/+def*-* - постфисная запись

  41. Бинарное дерево • Поик по ключу Item* loc(Item* ptr, int key) { while( ptr ) if(ptr->n==key) return ptr; else if(ptr->n>key) ptr=ptr->left; else ptr=ptr->right; return NULL; } NB: Чем меньше высота дерева – тем быстрее поиск.

  42. Бинарное дерево • Идеально сбалансированное дерево – это дерево, у которого для каждого его узла количества узлов в левом и правом поддеревьях различаются не более чем на 1.

  43. Идеально сбалансированное дерево

  44. Бинарное дерево • Идеально сбалансированное дерево – это дерево, у которого для каждого его узла количества узлов в левом и правом поддеревьях различаются не более чем на 1. • Сбалансированное дерево – это дерево, у которого для каждого его узла высоты левого и правого поддеревьев различаются не более чем на 1.Другое их название - АВЛ-деревья(по фамилиям их изобретателей Адельсон-Вельский и Ландис). hИСД ≤h≤hДФ

  45. Теорема Адельсон-Вельского и Ландиса log(n+1) ≤ h(n) < 1,4404 * log(n+2) – 0,328 Построение АВЛ дерева высоты h с минимальным количеством вершин T0 – пустое дерево T1 – дерево, состоящее из одной вершины T2 = T1 ¤ T0

  46. Деревья Фибоначчи Nh= Nh-1+ Nh-2+1; N0=0; N1=1 T4 T3 T2

  47. Включение в АВЛ деревоключа K<NT

  48. Включение левого корня левого поддерева

  49. Включение правого корня левого поддерева

  50. Построение АВЛ дерева #include <iostream.h> int h=0; struct Item { int n; char b; Item *left, *right; }; void printtree(Item *ptr, inti=0) { if(ptr==NULL) return; printtree(ptr->right,i+1); for(int k=0;k<i;k++) cout << '\t'; cout << ptr->n << '(' << int(ptr->b) << ')' << endl; printtree(ptr->left,i+1); }

More Related