optimasi non linier n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Optimasi Non-Linier PowerPoint Presentation
Download Presentation
Optimasi Non-Linier

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 25

Optimasi Non-Linier - PowerPoint PPT Presentation


  • 342 Views
  • Uploaded on

Optimasi Non-Linier. Sumber : Pengantar Optimasi Non-Linier Ir. Djoko Luknanto , M.Sc., Ph.D. Pendahuluan. Suatu permasalahan optimasi disebut nonlinier jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk nonlinier pada salah satu atau keduanya , contohnya adalah sebagai berikut :

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Optimasi Non-Linier' - william-blevins


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
optimasi non linier

Optimasi Non-Linier

Sumber:

PengantarOptimasi Non-Linier

Ir. DjokoLuknanto, M.Sc., Ph.D.

pendahuluan
Pendahuluan
  • Suatupermasalahanoptimasidisebutnonlinierjikafungsitujuandan kendalanya mempunyai bentuk nonlinier pada salah satu atau keduanya, contohnyaadalahsebagaiberikut:
  • Metode Optimasi Analitis
    • Satu Variabel tanpa Kendala
    • Multi Variabel Tanpa Kendala
    • Multi Variabel dengan Kendala Persamaan
    • Multi Variabel dengan Kendala Pertidak-samaan
  • MetodeOptimasiNumerikSatuDimensi
    • TeknikEliminasi
    • TeknikPendekatan
satu variable tanpa kendala 1
Satu variable tanpakendala (1)
  • Dimisalkanx adalahvariabelpenentudan f(x) adalahfungsitujuandari suatu masalah. Metode optimasi menyelesaikan masalah:
  • Untuk menyelesaikan permasalahan seperti tertera di atas digunakankalkulusdiferensial yang dinyatakansepertidibawahini:
  • Misalkanf adalahfungsi yang menerusdalaminterval tertutup [a,b] dandapatdiderivasikanpada interval terbuka (a,b).
    • (i) Jikaf’(x) > 0 untukseluruh x dalam(a,b), maka f adalah menanjak pada [a,b].
    • (ii) Jikaf’(x) < 0 untukseluruh x dalam(a,b), maka f adalah menurun pada [a,b].
satu variable tanpa kendala 2
Satu variable tanpakendala (2)
  • Test derivasipertama: Misalkanf adalahfungsi yang menerusdalaminterval tertutup [a,b] dandapatdiderivasikanpada interval terbuka (a,b) kecualimungkindititikc yang beradadidalam (a,b).
    • (i) Jikaf’(x) > 0 untuk a < x < c dan f’(x) < 0 untuk c < x < b, maka f(c) adalahsebuah maximum lokaldarif.
    • (ii) Jikaf’(x) < 0 untuk a < x < c dan f’(x) > 0 untuk c < x < b, maka f(c) adalahsebuahminimum lokaldarif.
    • (iii) Jikaf’(x) < 0 atau f’(x) > 0 untuksetiap x dalam (a,b) kecuali x = c, maka f(c) BUKAN sebuahnilaiekstrim.
satu variable tanpa kendala 3
Satu variable tanpakendala (3)
  • Test derivasikedua: Misalkanf adalahfungsi yang dapatdiderivasikanpada interval terbuka yang berisititik c dan f’(c) = 0,
    • (i) Jikaf”(c) < 0, maka f(c) adalahsebuahmaximum lokaldarif.
    • (ii) Jikaf”(c) > 0, maka f(c) adalahsebuahminimum lokaldarif.
satu variable tanpa kendala 4
Satu variable tanpakendala (4)
  • Contoh 1:

Sebuahperusahaan catering (makananringan yang menyediakankonsumsiuntuksuatupenatarandi JTE FT UMY berusahamengurangipengeluaranuntukkeperluanpembungkus. BungkustersebutterbuatdarikertaskartonsepertitampakpadaGambardisamping. Keempatpojoknyaakandipotongsegiempatsamasisisedemikianrupasehinggavolumenyamenjadimaksimum.

satu variable tanpa kendala 5
Satu variable tanpakendala (5)
  • Dari contohdiatastampakbahwadengancaraanalitiskalkulusdiferensialnilaix yang memberikannilai f maximum dapatdicaritanpamengetahuinilaidarif itusendiri.
  • Untukmelengkapiteoremaoptimasinonliniersatuvariabel yang telahdijelaskandiatasdisajikanteorema yang dapatdigunakanuntukmenentukantitik-titikekstremdarisuatufungsisatuvariabel.
  • Teorema:
    • Misalkanf’(c) = f”(c) = … = f(n-1)(c) = 0, tetapif(n)(c) ≠ 0. Maka f(c) adalah:
      • (i) nilai minimum darif(x), jika f(n)(c) > 0 dan n adalah bilangan genap,
      • (ii) nilai maximum dari f(x), jika f(n) (c) < 0 dan n adalah bilangan genap,
      • (iii) bukan minimum dan maximum jika n adalahbilangangasal.
satu variable tanpa kendala 6
Satu variable tanpakendala (6)
  • Contoh 2.

Tentukan maximum dan minimum darifungsidibawahini

  • Penyelesaian:
multi variable tanpa kendala 1
Multi variable tanpakendala (1)
  • Cara analitis yang diterapkanpadapermasalahanoptimasisatuvariabeldapat pula diterapkankepadapermasalahan multi variabel.
    • Secaraumumteknik yang digunakanpadaoptimasisatudimensidapatdigunakan dalam optimasi multi variabel.
  • Definisidansimbol-simbol yang digunakan:
multi variable tanpa kendala 2
Multi variable tanpakendala (2)
  • Teorema:
    • Jikaf(X) mempunyaisebuahtitikekstrem(minimum maupun maximum) pada X = X* dan jika derivasi pertama dari f(X) mempunyai nilai pada titik X*, maka ∇f(X*) = 0
    • PERHATIAN: Kebalikannyabelumtentubenaryaitujika ∇f(X*) = 0 maka X*adalahtitikekstrem.
multi variable tanpa kendala 3
Multi variable tanpakendala (3)
  • Teorema:
    • TitikX*disebuttitikmaksimumlokaldarif(X) jikadanhanyajika:
      • (i) ∇f(X*) = 0
      • (ii) H(X*) < 0 definitnegatifdengan H = matrikHessian yang didefinisikansebagai:
multi variable tanpa kendala 4
Multi variable tanpakendala (4)
  • Teorema:
    • TitikX*disebuttitik minimum lokaldarif(X) jikadanhanyajika:
      • (i) ∇f(X*) = 0
      • (ii) H(X*) > 0 definit positif atau |H|j > 0 untukj = 1,2,…,n
multi variable tanpa kendala 5
Multi variable tanpakendala (5)

SyaratMaksimumlokal

Syarat Minimum lokal

multi variable tanpa kendala 6
Multi variable tanpakendala (6)
  • Contoh 3:
    • Tentukantitik-titikekstrimdarifungsi:
multi variable dengan kendala persamaan 1
Multi variable denganKendalaPersamaan (1)
  • Pada bagian ini akan didiskusikan teknik optimasi multi variabel dengankendalapersamaan yang mempunyaibentukumumsebagaiberikut:
  • disinim ≤ n, jikaterjadibahwa m > n, makabiasanyatidakdapatdiselesaikan
  • Untukmenyelesaikanpermasalahanoptimasidiatas, digunakanmetodepengaliLagrange, yaitu:
multi variable dengan kendala persamaan 2
Multi variable denganKendalaPersamaan (2)
  • Teorema:
    • Syaratperlubagisebuahfungsif(X) dengankendalagj(X) = 0, dengan j = 1, 2, …, m agar mempunyai minimum relatif pada titik X* adalah derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikansebagaiL = L(x1,x2,…,xn, λ1,λ2,…,λn) terhadapsetiapargumennyamempunyainilainol.
  • Teorema:
    • Syaratharusbagisebuahfungsif(X) agar mempunyai minimum (atau maximum) relatifpadatitikX* adalahjikafungsikuadrat, Q, yang didefinisikansebagai

dievaluasipadaX = X*harusdefinitpositif(ataunegatif) untuksetiapnilaidX yang memenuhisemuakendala.

multi variable dengan kendala persamaan 3
Multi variable denganKendalaPersamaan (3)
  • Syaratperlu agar

menjadidefinitpositif (ataunegatif) untuksetiapvariasinilaidXadalahsetiapakardaripolinomial, zi, yang didapat dari determinan persamaan di bawah ini harus positif (atau negatif).

multi variable dengan kendala persamaan 4
Multi variable denganKendalaPersamaan (4)
  • Contoh: Sebuahperusahaanpelumasinginmembuatkalengpelumasdariseng. Kaleng berbentuk silinder dengan bahan yang terpakai seluas A0 = 24π. Berapa maximum volume kaleng yang dapatdibuatdaribahanyang tersedia?
multi variable dengan kendala pertidak samaan 1
Multi variable denganKendalaPertidak-samaan (1)
  • Pada bab ini akan didiskusikan teknik optimasi multi variabel dengankendalapertidak-samaan yang mempunyaibentukumumsebagaiberikut:
multi variable dengan kendala pertidak samaan 2
Multi variable denganKendalaPertidak-samaan (2)
  • Kuncidaripenangananpermasalahandiatasadalahmerubahkendalapertidak-samaanmenjadipersamaandenganmenambahvariabelslack. Jadipermasalahanoptimasidiatasdapatdituliskembalisebagai:
  • Permasalahaninidapatdiselesaikanmetodepengali Lagrange. Untukitu, dibentukfungsi Lagrange sebagaiberikut:
multi variable dengan kendala pertidak samaan 3
Multi variable denganKendalaPertidak-samaan (3)
  • Syaratperluuntuksuatupenyelesaian optimum pers.1.17 diperolehdaripenyelesaiansistempersamaandibawahini.
multi variable dengan kendala pertidak samaan 4
Multi variable denganKendalaPertidak-samaan (4)
  • Syaratperlu agar persamaanoptimasi, mencapaititikminimumnyadapat pula dicaridengansyarat Kuhn-Tucker. Syaratiniperlutetapisecaraumumbukanmerupakansyaratcukupuntukmencapai minimum. Tetapiuntukproblemajeniskonvex, syarat Kuhn-Tucker menjadisyaratperludancukupuntuksebuah minimum global.
multi variable dengan kendala pertidak samaan 5
Multi variable denganKendalaPertidak-samaan (5)
  • PERHATIAN:
    • Jikapermasalahannyaadalahmemaksimumkan {bukanmeminimumkanseperticontoh}, makaλj ≤ 0 dalamPers.(1.21d).
    • Jikakendalanyaadalahgj ≥ 0, makaλj ≤ 0 dalam Pers.(1.21d).
    • Jikapermasalahannyaadalahmemaksimumkandanjikakendalanyaadalahgj ≥ 0, makaλj ≥ 0 dalam Pers.(1.21d).
multi variable dengan kendala pertidak samaan 6
Multi variable denganKendalaPertidak-samaan (6)
  • Contoh: Sebuahperusahaanpembuatkomputermendapatkontrakuntukmenyediakan 50 unit komputer pada akhir bulan pertama, 50 unit komputerpadaakhirbulankedua, dan 50 unit komputerpadaakhirbulanketiga. Biayaproduksix buahkomputertiapbulannyaadalah x2. Perusahaan inidapatmemproduksikomputerlebihdari yang dipesandanmenyimpannyadigudanguntukdiserahkanpadabulanberikutnya. Biayagudangadalahsebesar 20 satuanhargauntuktiapkomputer yang disimpandaribulan yang lalukebulanberikutnya. Diandaikanbahwapadapermulaanpesanandigudangtidakterdapatpersediaankomputer. Tentukanjumlahproduksikomputertiapbulannya agar biayapembuatannyaminimum.