一、曲面积分的概念与性质

1. 一、曲面积分的概念与性质 第一型曲面积分的概念 第二型曲面积分的概念 二、曲面积分的计算 第一型曲面积分的计算 第二型曲面积分的计算 三、两类曲面积分之间的联系

2. 为分割 的细度，即为诸 中的最大直径. 一、第一型曲面积分的概念 类似第一型曲线积分, 当质量分布在某一曲面块S， 且密度函数在 S上连续时，曲面块 S的质 量为极限 其中 为曲面块的分割， 表 中任意一点， 的面积， 示小曲面块 为

3. 定义1设 S 是空间中可求面积的曲面,为 定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T, 它把 S 分成 n 个小曲面块 记小曲面块 在 的面积, 分割 T 的细度 上任取一点 若存在极限 且与分割 无关, 则称此极限为 上的第一型曲面积分, 的取法 记为

4. 第二型曲面积分的概念 • 有向曲面 • 通常我们遇到的曲面都是双侧的 • 例如 由方程zz(xy)表示的曲面分为上侧与下侧 设n(coscos cos)为曲面上的法向量 当cos0时 n所指的一侧是上侧 当cos0时 n所指的一侧是下侧

5. 第二型曲面积分的概念 • 有向曲面 • 通常我们遇到的曲面都是双侧的 • 例如 由方程zz(xy)表示的曲面分为上侧与下侧 设n(coscos cos)为曲面上的法向量 当cos0时 n所指的一侧是上侧 当cos0时 n所指的一侧是下侧 类似地 如果曲面的方程为yy(zx) 则曲面分为左侧与右侧 在曲面的右侧cos0在曲面的左侧cos0 如果曲面的方程为xx(yz)则曲面分为前侧与后侧 在曲面的前侧cos0在曲面的后侧cos0 闭曲面有内侧与外侧之分

6. 曲面在坐标面上的投影 在有向曲面上取一小块曲面S用()xy表示S在xOy面上的投影区域的面积 假定S上各点处的法向量与z轴的夹角的余弦cos有相同的符号(即cos都是正的或都是负的) 我们规定S在xOy面上的投影(S)xy为 类似地可以定义S在yOz面及在zOx面上的投影(S)yz及(S)zx

7. 流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由 v(xyz)(P(xyz) Q(xyz) R(xyz)) 给出是速度场中的一片有向曲面 函数v(xyz)在上连续 求在单位时间内流向指定侧的流体的质量 即流量 • 把曲面分成n小块S1S2Sn(Si也代表曲面面积) • 在Si上任取一点(iii) • 通过流向指定侧的流量近似为 >>> 提示 通过Si流向指定侧的流量近似为 viniSi  >>>

8. 总存在 则称此极限为函数R(xyz)在有向曲面上对坐标x、 • 第二型曲面积分的定义 设为光滑的有向曲面 函数R(xyz)在上有界 把任意分成n块小曲面S1S2Sn(Si也代表曲面面积) Si在xOy面上的投影为(Si)xy (i, i, i)是Si上任意取定的一点 如果当各小块曲面的直径的最大值0时 极限 类似地 可定义对坐标y、z的曲面积分和对坐标z、x的曲面积分

9. 函数R(xyz)在有向曲面上对坐标x、y的曲面积分函数R(xyz)在有向曲面上对坐标x、y的曲面积分 • 函数P(xyz)在有向曲面上对坐标y、z的曲面积分 • 函数Q(xyz)在有向曲面上对坐标z、x的曲面积分 上述曲面积分也称为第二类曲面积分 其中P、Q、R叫做被积函数叫做积分曲面

10. 第二型曲面积分的简写形式 在应用上出现较多的是 为简便起见 这种合起来的形式简记为 说明 如果是分片光滑的有向曲面 我们规定函数在上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和

11. 曲面积分的性质 对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质 (1)如果把S分成S1和S2则 (2)设S是有向曲面S表示与S取相反侧的有向曲面则

12. 二、曲面积分的计算 设积分曲面由方程zz(xy)给出的在xOy面上的投影区域为Dxy函数zz(xy)在Dxy上具有一阶连续偏导数 被积函数R(xyz)在上连续 则有 >>> 其中当取上侧时 积分前取“” 当取下侧时 积分前取“” 讨论 如何把其它两个对坐标的曲面积分化为二重积分？ >>> 应注意的问题: (1)曲面S用什么方程表示; (2)向哪个坐标面投影; (3)曲面S取哪一侧. (4)积分前取什么符号.

13. 方体的整个表面的外侧{(xyz)|0xa 0yb 0zc} 把的上下面分别记为1和2前后面分别记为3和4左右面分别记为5和6 解 除3、4外 其余四片曲面在yOz面上的投影为零 因此

14. 方体的整个表面的外侧{(xyz)|0xa 0yb 0zc} 把的上下面分别记为1和2前后面分别记为3和4左右面分别记为5和6 解 除3、4外 其余四片曲面在yOz面上的投影为零 因此 a2bc 类似地可得 于是所求曲面积分为(abc)abc

15. 外侧在x0y0的部分 把有向曲面分成上下两部分 解 1和2在xOy面上的投影区域都是 Dxyx2y21(x0y0) >>>

16. 三、两类曲面积分之间的联系 设cosa、cosb、cosg是有向曲面上点(x y z)处的法向量的方向余弦 则 两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式 其中A(PQR)n(cos cos cos)是有向曲面上点(xyz)处的单位法向量dSndS(dydzdzdxdxdy)称为有向曲面元An为向量A在向量n上的投影

17. 解 由两类曲面积分之间的关系 可得 • 提示: • 提示 曲面上向下的法向量为(zxzy1)(xy1)所以

18. 解 由两类曲面积分之间的关系 可得 • 提示

19. 解 由两类曲面积分之间的关系 可得