ความน่าจะเป็น

1. ความน่าจะเป็น F M B N นายศิวาภัทร ทองราช ครูชำนาญการโรงเรียนสิรินธรราชวิทยาลัย นครปฐม

2. ความน่าจะเป็น F M B N กฏเกณฑ์การนับเบื้องต้น การทดลองสุ่ม สารบัญเนื้อหา แซมเปิลสเปซ เหตุการณ์ ความน่าจะเป็น

3. ความน่าจะเป็น F M B N กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ กฏข้อที่ ในการทำงานอย่างหนึ่ง ซึ่งต้องมีการทำงานย่อย ๆ ที่ต่อเนื่องกัน 2 อย่าง โดยที่ งานย่อยที่ 1 เลือกทำได้ n1 วิธี ในแต่ละวิธีของงานย่อยที่ 1 เลือกทำงานย่อยที่2 ได้ n2 วิธี • จะมีวิธีทำงานให้เสร็จสมบูรณ์ได้ทั้งหมด n1n2 วิธี 1 ถ้าใช้วิธีการนี้ก็ไม่จำเป็นต้องเขียนแผนภาพต้นไม้เพื่อหาวิธีทั้งหมด

4. ความน่าจะเป็น F M B N กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ มีเรือข้ามฟากอยู่ 3 ลำ ถ้าผู้โดยสารคนหนึ่งต้องการข้ามฟาก โดยที่เที่ยวไปและเที่ยวกลับต้องไม่นั่งเรือลำเดิม จะมีวิธีข้ามฟากทั้งหมดกี่วิธี ตัวอย่าง วิธีทำ วิธีการข้ามฟากทั้งหมด เที่ยวไป เที่ยวกลับ วิธี

5. ความน่าจะเป็น F M B N กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ ในการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ และทอดลูกเต๋า 1 ลูก อย่างละครั้ง ผลลัพธ์ที่ได้จะมีกี่อย่าง ตัวอย่าง วิธีทำ H T ผลลัพธ์ที่ได้ทั้งหมด อย่าง

6. ความน่าจะเป็น F M B N กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ ในการทำงานอย่างหนึ่ง ซึ่งต้องมีการทำงานย่อย ๆ ที่ต่อเนื่องกัน k อย่าง โดยที่ กฏข้อที่ งานย่อยที่ 1 เลือกทำได้ n1 วิธี ในแต่ละวิธีของงานย่อยที่ 1 เลือกทำงานย่อยที่2 ได้ n2 วิธี ในแต่ละวิธีของงานย่อยที่ 2 เลือกทำงานย่อยที่3 ได้ n3 วิธี 2 งานย่อยที่ k หรืองานย่อยสุดท้ายเลือกทำงานได้ nk วิธี • จะมีวิธีทำงานให้เสร็จสมบูรณ์ได้ทั้งหมด n1n2n3...nk วิธี

7. ความน่าจะเป็น F M B N กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ ต้องการทำป้ายเพื่อแสดง แบบ สี และขนาด ของรองเท้ากีฬา 6 แบบ แต่ละแบบมี 3 สี และแต่ละสีมี 5 ขนาด จะต้องจัดทำป้ายที่แตกต่างกันทั้งหมดกี่ป้ายจึงจะครบทุกแบบ สี และขนาด ตัวอย่าง วิธีทำ จากโจทย์จะได้ว่า การทำงานนี้มีข้อมูลย่อย ๆ อยู่ 3 อย่าง ได้แก่ แบบของรองเท้ากีฬา แบบ 2 สีของรองเท้าแต่ละแบบ สี 1 ขนาดของรองเท้าแต่ละสี ขนาด 3 ดังนั้น จะต้องทำป้ายที่แตกต่างกันทั้งหมด แบบ

8. ความน่าจะเป็น F M B N กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ จำนวนคู่บวกซึ่งมีสามหลักมีทั้งหมดกี่จำนวน ตัวอย่าง เลขสามหลักที่เป็นจำนวนคู่ จะต้องประกอบด้วยหลักต่าง ๆ ได้แก่ วิธีทำ หลักหน่วย หลักสิบ หลักร้อย ดังนั้น จำนวนคู่บวกสามหลักมีทั้งหมด จำนวน

9. ความน่าจะเป็น F M B N กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ ถ้าการกำหนดรหัสประจำตัวพนักงานจะต้องขึ้นต้นด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษ 1 ตัว และตามด้วยเลขโดด 3 ตัว จงหาว่ารหัสประจำตัวพนักงานที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีกี่รหัส โดยที่ ตัวอย่าง วิธีทำ รหัสประจำตัวพนักงานต้องไม่มีเลขโดดที่ซ้ำกัน รหัสประจำตัวพนักงานมีเลขโดดที่ซ้ำกันได้ 2 1 รูปแบบรหัสประจำตัวพนักงานจะต้องประกอบด้วย ตัวอักษร เลขหลักที่ 1 เลขหลักที่ 2 เลขหลักที่ 3

10. ความน่าจะเป็น F M B N กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ ถ้าการกำหนดรหัสประจำตัวพนักงานจะต้องขึ้นต้นด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษ 1 ตัว และตามด้วยเลขโดด 3 ตัว จงหาว่ารหัสประจำตัวพนักงานที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีกี่รหัส โดยที่ ตัวอย่าง วิธีทำ รหัสประจำตัวพนักงานต้องไม่มีเลขโดดที่ซ้ำกัน ตัวอักษร เลขหลักที่ 1 เลขหลักที่ 2 เลขหลักที่ 3 1 ดังนั้น รหัสประจำตัวพนักงานทั้งหมด รหัส

11. ความน่าจะเป็น F M B N กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ ถ้าการกำหนดรหัสประจำตัวพนักงานจะต้องขึ้นต้นด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษ 1 ตัว และตามด้วยเลขโดด 3 ตัว จงหาว่ารหัสประจำตัวพนักงานที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีกี่รหัส โดยที่ ตัวอย่าง วิธีทำ รหัสประจำตัวพนักงานมีเลขโดดที่ซ้ำกันได้ ตัวอักษร เลขหลักที่ 1 เลขหลักที่ 2 เลขหลักที่ 3 2 ดังนั้น รหัสประจำตัวพนักงานทั้งหมด รหัส

12. ความน่าจะเป็น F M B N ความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็น คือ โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งที่เราให้ความสนใจ โดยจะระบุค่าเป็นตัวเลขทศนิยมหรือเศษส่วน สิ่งที่ต้องทราบ การทดลองสุ่ม 2 1 แซมเปิลสเปซ เหตุการณ์ 3

13. ความน่าจะเป็น F M B N การทดลองสุ่ม การทดลองสุ่ม คือ การทดลองหรือการกระทำที่สามารถบอกผลลัพธ์เป็นไปได้ทั้งหมด แต่ไม่สามารถระบุชี้ชัดลงไปได้อย่างแน่นอนว่าผลลัพธ์จะเกิดขึ้นในครั้งนั้น ๆ เป็นอะไร

14. ความน่าจะเป็น F M B N แซมเปิลสเปซ ตัวอย่าง แซมเปิลสเปซ คือ เซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่ม เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ S วิธีทำ จงเขียนแซมเปิลสเปซของการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ได้แก่ ดังนั้น แซมเปิลสเปซ คือ

15. ความน่าจะเป็น F M B N แซมเปิลสเปซ จงเขียนแซมเปิลสเปซของการทอดลูกเต๋า 1 ลูก และเหรียญบาท 1 เหรียญ พร้อมกัน 1 ครั้ง ตัวอย่าง H 1 T 1 วิธีทำ H 2 T 2 H H T 3 3 T H 4 4 T T H 5 5 H 6 T 6 ดังนั้น แซมเปิลสเปซ คือ

16. ความน่าจะเป็น F M B N เหตุการณ์ เหตุการณ์ คือ เซตของผลลัพธ์ที่สนใจของการทดลองสุ่ม เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ E การเขียนเหตุการณ์ เขียนแซมเปิลสเปซ 2 1 จากแซมเปิลสเปซที่ได้ ให้เลือกเฉพาะสมาชิกที่เราสนใจ นำสมาชิกที่ได้มาเขียนไว้ใน { } ซึ่งคั่นด้วย , 3

17. ความน่าจะเป็น F M B N เหตุการณ์ จากการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง จงเขียนเหตุการณ์ต่อไปนี้ ตัวอย่าง ลูกเต๋าขึ้นแต้มคู่ ลูกเต๋าขึ้นแต้มน้อยกว่า 4 ลูกเต๋าขึ้นแต้มไม่เกิน 6 ลูกเต๋าขึ้นแต้มมากกว่า 6 4 2 ลูกเต๋าขึ้นแต้มเป็นจำนวนเฉพาะหรือเลขเป็นเลขคี่ 1 5 ลูกเต๋าขึ้นแต้มเป็นเลขคี่และน้อยกว่า 4 3 6

18. ความน่าจะเป็น F M B N เหตุการณ์ จากการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง จงเขียนเหตุการณ์ต่อไปนี้ ตัวอย่าง เขียนแซมเปิลสเปซ จะได้ วิธีทำ ลูกเต๋าขึ้นแต้มคู่ 2 1 ลูกเต๋าขึ้นแต้มน้อยกว่า 4

19. ความน่าจะเป็น F M B N เหตุการณ์ จากการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง จงเขียนเหตุการณ์ต่อไปนี้ ตัวอย่าง เขียนแซมเปิลสเปซ จะได้ วิธีทำ ลูกเต๋าขึ้นแต้มไม่เกิน 6 4 ลูกเต๋าขึ้นแต้มมากกว่า 6 3

20. ความน่าจะเป็น F M B N เหตุการณ์ จากการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง จงเขียนเหตุการณ์ต่อไปนี้ ตัวอย่าง เขียนแซมเปิลสเปซ จะได้ วิธีทำ ลูกเต๋าขึ้นแต้มเป็นจำนวนเฉพาะหรือเลขเป็นเลขคี่ ลูกเต๋าขึ้นแต้มเป็นเลขคี่และน้อยกว่า 4 5 6

21. ความน่าจะเป็น F M B N เหตุการณ์ จากการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ และทอดลูกเต๋า 1 ลูก พร้อมกัน จงเขียนเหตุการณ์ที่ ตัวอย่าง ลูกเต๋าขึ้นแต้มคู่ วิธีทำ เหรียญขึ้นก้อย ลูกเต๋าขึ้นแต้มคี่และเหรียญบาทขึ้นหัว 4 2 เหรียญบาทขึ้นก้อยหรือลูกเต๋าขึ้นแต้มน้อยกว่า 4 1 เขียนแซมเปิลสเปซ จะได้ 3

22. ความน่าจะเป็น F M B N เหตุการณ์ จากการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ และทอดลูกเต๋า 1 ลูก พร้อมกัน จงเขียนเหตุการณ์ที่ ตัวอย่าง ลูกเต๋าขึ้นแต้มคู่ วิธีทำ 2 เหรียญขึ้นก้อย 1

23. ความน่าจะเป็น F M B N เหตุการณ์ จากการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ และทอดลูกเต๋า 1 ลูก พร้อมกัน จงเขียนเหตุการณ์ที่ ตัวอย่าง ลูกเต๋าขึ้นแต้มคี่และเหรียญบาทขึ้นหัว วิธีทำ 4 เหรียญบาทขึ้นก้อยหรือลูกเต๋าขึ้นแต้มน้อยกว่า 4 3

24. ความน่าจะเป็น F M B N แฟกทอเรียล หมายถึง ผลคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n แฟกทอเรียลn เขียนแทนด้วย n! นั่นคือ n! = n(n-1)(n-2)(n-3)… 3x2x1 ตัวอย่าง

25. ความน่าจะเป็น F M B N การเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) 1. การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น 1. ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยน = n!

26. ความน่าจะเป็น F M B N 2. ถ้ามีสิ่งของ m ชุดที่แตกต่างกันและชุดละ n สิ่งโดยสลับทีละ k (kหารnลงตัว) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยน = m!(n!)m Ex2. นักเรียนชาย 5 คน และนักเรียนหญิง 5 คน ถ้านำมายืนเข้าแถวเป็นเส้นตรงจะจัดได้กี่แบบ 2.1 ถ้าไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 2.2 ชายหญิงยืนสลับกัน

27. ความน่าจะเป็น F M B N วิธีทำ 2.1 ใช้สูตรที่ 1 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยน = 10! วิธีทำ 2.2 ใช้สูตรที่ 2 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยน = 2!(5!)2 วิธีทำ 2.2 ถ้าไม่ใช้สูตร ญญญญญ ชชชชช สลับได้ 5! สลับได้ 5! สลับได้ 2! ดังนั้นจำนวนวิธี = 2!5!5!

28. ความน่าจะเป็น F M B N 3. ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันโดยนำมา r สิ่ง เขียนแทนด้วย Pn,rดังนั้นจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนคือ

29. ความน่าจะเป็น F M B N การเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม 1. เรียงเป็นวงกลมแบบพลิกไม่ได้ 2. เรียงเป็นวงกลมแบบพลิกได้ จำนวนวิธี วิธี จำนวนวิธี วิธี

30. ความน่าจะเป็น F M B N การจัดหมู่ (Combination) การจัดหมู่ เป็นวิธีการจัดสิ่งของโดยไม่ถือความสำคัญของลำดับ พิจารณาการเรียง อักษร 3 ตัว ก ข ค โดยจัดทีละ 2 ตัวจะจัดได้ดังนี้ กข, กค, ขก, ขค, คก, คข

31. ความน่าจะเป็น F M B N ซึ่งถ้าเราพิจารณา การเรียงอักษร จะเห็นว่า กข เหมือนกันกับ ขก กค เหมือนกันกับ คก ขค เหมือนกันกับ คข ดังนั้น การจัดอักษร 3 ตัว โดยจัดทีละ 2 ตัว เป็นหมวดหมู่ได้ดังนี้ คือ กขกค และ ขค

32. ความน่าจะเป็น F M B N สมบัติเกี่ยวกับการเรียงสับเปลี่ยนและ การจัดหมู่ (Permutation and Combination) 1. 2. เช่น

33. ความน่าจะเป็น F M B N 4. 3. 5. 6.

34. ความน่าจะเป็น F M B N ความน่าจะเป็น พิจารณาการกระทำดังต่อไปนี้ หัว ก้อย หัว เป็น โอกาสที่เหรียญจะขึ้น ใน ก้อย เป็น โอกาสที่เหรียญจะขึ้น ใน

35. ความน่าจะเป็น F M B N ความน่าจะเป็น พิจารณาการกระทำดังต่อไปนี้ เป็น โอกาสที่เหรียญจะขึ้นแต้ม ใน 4 4 2 เป็น 1 1 โอกาสที่เหรียญจะขึ้นแต้ม ใน 5 3 คู่ เป็น โอกาสที่เหรียญจะขึ้นแต้ม ใน 6

36. ความน่าจะเป็น F M B N ความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E หาได้จากสูตร n(E) P(E) = n(S) P(E) คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E เมื่อ n(E) คือ จำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E n(S) คือ จำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซ

37. ความน่าจะเป็น F M B N ความน่าจะเป็น จากการทอดลูกเต๋า 1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ ตัวอย่าง ลูกเต๋าขึ้นแต้มคู่ ลูกเต๋าขึ้นแต้มมากกว่า 6 วิธีทำ ลูกเต๋าขึ้นแต้มไม่เกิน 6 เขียนแซมเปิลสเปซ พร้อมนับจำนวนสมาชิก 2 1 จะได้ 3

38. ความน่าจะเป็น F M B N ความน่าจะเป็น จากการทอดลูกเต๋า 1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ ตัวอย่าง วิธีทำ ลูกเต๋าขึ้นแต้มคู่ 1 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะขึ้นแต้มคู่ เท่ากับ

39. ความน่าจะเป็น F M B N ความน่าจะเป็น จากการทอดลูกเต๋า 1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ ตัวอย่าง วิธีทำ ลูกเต๋าขึ้นแต้มมากกว่า 6 2 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะขึ้นแต้มมากว่า 6 เท่ากับ

40. ความน่าจะเป็น F M B N ความน่าจะเป็น จากการทอดลูกเต๋า 1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ ตัวอย่าง วิธีทำ ลูกเต๋าขึ้นแต้มไม่เกิน 6 3 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะขึ้นแต้มไม่เกิน 6 เท่ากับ