Cusul 5 Transformari pe sp. v. euclidiene

1. Cusul 5Transformari pe sp. v. euclidiene Fie V şi W două R-spaţii vectoriale euclidiene. Vom nota produsele scalare pe cele două spaţii vectoriale cu acelaşi simbol < , > . Definiţia 1.O transformare liniară T: VWse numeşte transformare liniară ortogonală dacă aceasta conserva produsul scalar, adică < T x, T y> = < x,y > . Teorema 1.Transformarea liniară T : VWeste ortogonală dacă şi numai dacă păstrează norma, adică|| T x||= || x || , xV.(dem.) Consecinţa 1.O transformarea ortogonală T : VWeste o tr.l. injectivă.Consecinţa 2.O transformare ortogonală T: VV , păstrează distanţa euclidiană şi are ca punct fix originea T (0) = 0. Fie T : VnWm , bazele orton. B ={e1, e2, …, en}Vnsi B’={f1, f2, …, fm}Wm < ei, ej > = δij , i, j =1,n şi < fk, fh> =δkh , k, h =1,m, atuci < T (ei), T (ej)> =

2. Teorema 2.În raport cu bazele ortonormate B Vn şi  Wm, transformarea liniară T: VnWmeste ortogonală dacă şi numai dacă matricea asociată satisface condiţia tAA = In . Consecinţa 3.O transformare T:VnVnortogonalăeste caracterizată, în raport cu o bază ortonormată B Vn, de o matrice ortogonală, A-1 = tA si reciproc. Obs. SO (n, R)  GO (n, R). Definitia 2.Transformarea liniaratT : W  V definită de  tTy,x V=  y, Tx W pentru  x  V,  y  W se numeste transpusa transformării liniare T. Transformarea liniara T: V  V se numeste simetrică dacătT=T (tA=A) antisimetrică dacătT= -T (tA= -A) Teorema 3.Valorile proprii corespunzatoare unei transformari liniaresimetrice T: VnVnsunt reale ( dem.) Teorema 4.dim S = mi  T simetrica este diagonalizabila

3. Transformari izometrice pe spatii punctual euclidiene Fie E=(E,V,) un spaţiu punctual euclidian ; E este mulţimea suport, V spaţiul vectorial director iar  este funcţia de structură afină. Definiţia 3. O corespondenţă bijectivă f : E  E se numeşte transformare a mulţimii E sau permutare a mulţimii E. E inzestrata cu o anume structura geometrica  f – transformare geometrica ( E ,• ) – grupul tr. , ( E, G) – spatiu geometric, figura geometrica Dacă E = (E,V,) şi E’ = (E’,V ,’) sunt două spaţii afine,atunci o transformare afină t : EEeste unic determinată de perechea de puncte AE, respectivAE şi de o transformare liniară T : V  V, numita transformare liniara asociata Să considerăm spaţiul punctual euclidian al vectorilor liberi E3 = (E3,V3 ,) şi R un reper cartezian .

4. Exemple: simetria axiala, simetria centrala, translatia, rotatia (tr. izometrica)O tr.afina poate fi interpretata ca o schimbare de repere afine.Ce transformari afine nu deformeaza forma figurilor?O transformare afină t : E3 E3 , f(M) = M’ realizează corespondenţa M(x1,x2,x3)  M’(x1’,x2’,x3’) caracterizată de relaţiile: Definiţia 4.Se numeşte izometrie pe spaţiul punctual euclidian E3 = (E3,V 3 ,) o aplicaţie f : E3 E3 cu proprietatea ( f(A),f(B) ) = (A,B) ,A,BE3 Transformarea liniarăT : V V , asociată lui f, este data de Teorema 5.O aplicatie afina f: EE este o transformare izometrica daca si numai daca aplicatia liniara asociata T: V V este o transformare ortogonala. Teorema 6.Orice izometrie f : E E este produsul unei translaţii cu o izometrie cu un puinct fix , f = t g .

5. Grupul Izo E3 , Izo E2 : Izometriile T : E3 E3 , T(x1,x2,x3) = (y1,y2,y3) , cu A = ( aij ) – matrice ortogonala (unghiurile lui Euler)