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割补法求多面体体积

割补法求多面体体积. 解： 过点 B 作 BD AC ，连 CD ，过 D 作 DD 1 BB 1 ，连 B 1 D 1 ， C 1 D 1. C. A. B. C 1. A 1. B 1. 所以三棱柱 V ABC-A 1 B 1 C 1 = aS. 例 1 ．已知斜三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的一个侧面 ABB 1 A 1 面积为 S ，它与所对棱 CC 1 的距离为 a, 求这个三棱柱的体积。. D. 得 S △BCD =S △ABC.

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割补法求多面体体积

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Presentation Transcript

  1. 割补法求多面体体积

  2. 解：过点B作BD AC，连CD，过D作DD1 BB1，连B1D1，C1D1 C A B C1 A1 B1 所以三棱柱VABC-A1B1C1= aS 例1．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的一个侧面ABB1A1面积为S，它与所对棱CC1的距离为a,求这个三棱柱的体积。 D 得 S△BCD=S△ABC 故 VABC-A1B1C1=VBCD-B1C1D1 S 把面ABB1A1看作底面，CC1到面ABB1A1的距离看作高 则平行六面体ABB1A1-CDD1C1的体积为aS D1

  3. C 则VC-A1B1C1= VABC-A1B1C1, A B 所以 VC-ABB1A1= VABC-A1B1C1 又 VC-ABB1A1= aS C1 所以 VABC-A1B1C1= aS A1 B1 例1．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的一个侧面ABB1A1面积为S，它与所对棱CC1的距离为a,求这个三棱柱的体积。 解： 连CA1,CB1,

  4. D1 C1 A1 B1 C D B A 例2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a, 求三棱锥B1-AD1C的体积。

  5. D1 C1 D A1 B1 C D B 问：四面体ABCD中，三组对棱分别 相等，且分别为BD=AC= , AD=BC = ,AB=CD=5,求三棱锥B-ADC的体积。 B C A A 问：ABCD-A1B1C1D1为长方体,AB=4, BC=2,BB1=3 求三棱锥B1-AD1C的体积。

  6. E F C D A B 例3.如图所示ABCD为边长为3的正方形，EF到面ABCD的距离h为2，面EAD⊥面ABCD且EF//AB，EF=3/2，求此多面体体积。 H G

  7. F E C D A B 例3.如图所示ABCD为边长为3的正方形，EF到面ABCD的距离h为2，面EAD⊥面ABCD且EF//AB，EF=3/2，求此多面体体积。 G

  8. 问：EF作如图水平移动时，此多面体的体积如何变化？问：EF作如图水平移动时，此多面体的体积如何变化？

  9. （三）小结 1、有关的计算公式无法直接运用 2、条件中的已知元素彼此离散 通 过 1、斜棱柱割补成直棱柱； 2、三棱柱补成平行六面体； 3、三棱锥补成长方体或三棱柱或平行六面体； 4、多面体切割成锥体特别是三棱锥。 达 到 1、未知的转化为已知; 2、陌生的转化为熟悉; 3、复杂的转化为简单; 4、离散的转化为集中;

  10. P PA⊥BC,ED⊥BC,PA∩ED=E BC⊥面PAD E = *SΔPAD*BD+ *SΔPAD*CD C A = SΔPAD*BC D B = * *PA*ED*BC = a2h 例2:三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC,PA=BC=a ,ED⊥PA ED⊥BC,ED=h,求三棱锥的体积。 解：连PD、AD VP-ABC=VB-PAD+VC-PAD

  11. 例2.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的直截面DEF的面积为 S，侧棱长为L,则此三棱柱的体积为多少？

  12. A D B C M 故 VN-MAB1= S△MAB1*a= a3 A1 D1 N 故 VA-MB1ND= 2VA-MB1N=2 VN-MAB1= a3 易得：S△MB1ND= a2 B1 C1 故 点A到面MB1ND的距离 a 例3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别是棱AA1、CC1的中点，求点A到面MB1ND的距离。 连MN,则VA-MB1ND=VA-MB1N+VA-MND 解: 又S△MB1N=S△MND 故 VA-MB1N=VA-MND 所以 VA-MB1ND=2VA-MB1N 又 VA-MB1N=VN-MAB1 设N到面AB1的距离为h,则h=a,

  13. F E C D A B 例4.如图所示的容器中，ABCD为边长为3的正方形，EF到面ABCD的距离为2，EF//AB，EF=3/2，顶点F、B、C处各有一小孔，若用此容器盛水，最多可盛多少液体？（容器放置方式可调节） 解:当B、F、C所在平面为液面时，盛水最多，由题意，只须求该多面体体积即可。 连FA、FD、DB，则VEF-ABCD=VE-AFD+VF-ABCD 又S△BAF=2S△AFE故 VD-BAF=2VD-AFE 又VE-AFD=VD-AFE ,VD-BAF=VF-ABD 故 VEF-ABCD=VD-AFE+VF-ABCD =1/2VD-BAF+VF-ABCD=1/2VF-ABD+VF-ABCD =1/2*1/3*S△ABD*h+1/3*S△ABCD*h =1.5+6 =7.5

  14. P N M B C T R A 练习： 1.过三棱锥P-ABC的PA,PB,AC的中点,MNTR截面把该 棱锥的体积二等分.

  15. A1 C1 B1 C A B 2.如图正三棱锥S-ABC被平行于底面的平面A1B1C1 所截得的多面体如图，其上下底面边长之比为2:3,连AB1,BC1把这个三棱台分成三个棱锥以C1-A1AB1,C1-ABB1,A-BCC1,求这三个棱锥的体积比。

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