利用二分法求方程的近似解

利用二分法求方程的近似解

把函数的图像与 轴交点的横坐标称为该函数的零点. 即函数的零点就是方程的解。结论: 方程有实数根函数的图像与轴有交点函数有零点复习与引入： 1. 什么是函数的零点？

若函数在闭区间 上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反，即 , 则在区间内, 函数至少有一个零点，即相应的方程在区间内至少有一个实数解。 y y y b o a b x o a b x o a x 2.判断零点存在的方法:

“幸运52”有奖竞猜

问题情境： “幸运52” 有奖竞猜请同学们猜一猜某物品的价格某手机的价格在400~1000元之间，猜猜它的价格，每次主持人会给出多了还是少了的提示，当误差不超过10元时算猜中。

问题当确定函数在区间[a, b]内存在一个零点, 如何求出这个零点? y a x o b e d c 通过取中点, 不断把函数的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到函数的零点或零点的近似值, 这样的方法称为二分法.

例1：不解方程，如何求方程 的一个正的近似解（精度为0.1）? 解: 令 y x1 x2 x 0 3 2 -1 1 从图像上可以发现方程的一个根在区间(-1,0)内，另一个根在区间(2, 3)内. 根据图像，，，因此方程在区间(2, 3)内有唯一正解 .

简述上述求方程近似解的过程 设 2.5 0.25 (2, 2.5) 2.25 正 0.5 负 -0.4375 (2.25, 2.5) 负 -0.2351 正 0.25 2.375 (2.375, 2.5) 负 0.105 正 0.125 2.4375 (2.375, 2.4375) 0.0625 ∵|2.4375-2.375|<0.1 ∴x2≈2.4

1．确定区间，精确度； 2．求区间　　　的中点　　　　　　； 3．计算（1）若　　　　，则　就是函数的零点，计算终止；（2）若　　　　　，则令　　（此时零点　　　　）（3）若　　　　　　则令　　（此时零点） 4．判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值为内任意一值；否则重复2~4。用二分法求函数零点的近似值的步骤是：

y 2 1 0 1 2 3 4 x 解: 在同一坐标系内作函数和图像, 从图像上可以发现方程有唯一根, 记为，且。例2.求方程的近似解（精度为0.1）

设用计算器计算，可得 1.5 -0.3239 (1.5, 2) 1.75 负正 0.5 -0.0696 (1.75, 2) 1.875 负 0.1480 正 0.25 1.8125 负正 0.125 (1.75, 1.875) 0.0707 (1.75, 1.8125) 0.0625 ∵|1.8125-1. 75|<0.1 ∴x1≈1.8

练习： y y x 0 0 x 0 x (A) (C) (B) y 0 x (D) 1.下列函数中能用二分法求函数零点的是（） D y 2.函数y=2x-3的零点所在的区间是（） A.(-1,0) B. (0,1) C.(1,2) D.(2,3) C

思考？ 问题1用二分法只能求函数零点的“近似值”吗？问题2有哪些特点的函数适合用二分法求其零点的近似解？ (1)函数在零点附近区间上的图像是连续的 (2)区间端点的函数值异号

口诀 定区间，找中点，中值计算两边看. 同号去，异号算，零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.

选定初始区间 取区间的中点中点函数值为零是否 M 否 N 是 P 结束抽象概括：利用二分法求方程实数解的过程 1. 初始区间是一个两端函数值反号的区间； 2. “M”的含义是: 取新区间，一个端点是原区间的中点，另一个端点是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号； 3. “N”的含义是: 方程解满足要求的精度； 4. “P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解。

小结： 1. 二分法的思想。 2. 如何利用二分法求方程的近似解。 3. 二分法适用的范围。作业： P119页 A组 1，3

解: , 例求函数在区间[0,4]内的零点. 由上表计算可知,就是所求函数的一个零点.

利用二分法求方程的 近似解